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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,概述,第,1,章绪论,数制与码制,本章小结,主要要求：,了解数字电路的特点和分类。,了解脉冲波形的主要参数。,1.1,概述,模拟电路,电子电路分类,数字电路,传递、加工和,处理模拟信号,传递,、,加工和,处理数字信号,数字信号,时间上和幅度上都,断续,变化的信号,模拟信号,时间上和幅度上都,连续,变化的信号,数字电路中典型信号波形,一、数字电路与数字信号,输出信号与输入信号之间的对应逻辑关系,逻辑代数,只有高电平和低电平两个取值,导通,(,开,),、截止,(,关,),便于高度集成化、工作可靠性高、,数字信息便于保存、抗干扰能力,强、保密性好等,研究对象,分析工具,信,号,电子器件工作状态,主要优点,二、数字电路特点,将晶体管、电阻、电容等元器件用导线在线路板上连接起来的电路。,将上述元器件和导线通过半导体制造工艺做在一块硅片上而成为一个不可分割的整体电路。,根据电路结构不同分,分立元件电路,集 成 电 路,根据半导体的导电类型不同分,双极型数字集成电路,单极型数字集成电路,以双极型晶体管作为基本器件,以单极型晶体管作为基本器件,例如,CMOS,例如,TTL,、,ECL,三、数字电路的分类,集成电路,分 类,集 成 度,电路规模与范围,小规模集成,电路,SSI,1 10,门,/,片或,10 100,个元件,/,片,逻辑单元电路,包括：逻辑门电路、集成触发器,中规模集成,电路,MSI,10 100,门,/,片或,100 1000,个元件,/,片,逻辑部件,包括：计数器、译码器、编码器、数据选择器、寄存器、算术运算器、比较器、转换电路等,大规模集成电路,LSI,100,1000,门,/,片或,1000,100000,个元件,/,片,数字逻辑系统,包括：中央控制器、存储器、各种接口电路等,超大规模集 成电路,VLSI,大于,1000,门,/,片或大于,10,万个元件,/,片,高集成度的数字逻辑系统,例如：各种型号的单片机，即在一片 硅片上集成一个完整的微型计算机,根据集成密度不同分,U,m,t,r,t,f,T,t,w,脉 冲 幅 度,U,m,：,脉冲上升时间,t,r,：,脉冲下降时间,t,f,：,脉 冲 宽 度,t,w,：,脉 冲 周 期,T,：,脉 冲 频 率,f,：,占 空 比,q,：,脉冲电压变化的最大值,脉冲波形从,0.1,U,m,上升到,0.9,U,m,所需的时间,脉冲上升沿,0.5,U,m,到下降沿,0.5,U,m,所需的时间,脉冲波形从,0.9,U,m,下降到,0.1,U,m,所需的时间,周期脉冲中相邻两个波形重复出现所需的时间,1,秒内脉冲出现的次数,f,=1/,T,脉冲宽度,t,w,与脉冲周期,T,的比值,q,=,t,w,/,T,四、脉冲波形的主要参数,理解,BCD,码的含义，,掌握,8421BCD,码，,了解其他常用,BCD,码。,主要要求：,掌握二进制、十进制、八进制和十六进制数及其相互转换。,1.2,数,制和码制,计数的方法,(,一,),十进制,(,Decimal,),(xxx),10,或,(xxx),D,例如,(,3176.54,),10,或,(,3176.54,),D,数码：,0,、,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,、,7,、,8,、,9,1,10,1,1,10,0,5,10,-,1,1,10,-,2,权 权 权,权,数码所处位置不同时，所代表的数值不同,(,11.51,),10,进位规律：逢十进一，借一当十,10,i,称十进制的权,10,称为基数,0 9,十个数码称系数,数码与权的乘积，称为加权系数,十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式,(3176.54),10,=3,10,3,+1,10,2,+7,10,1,+6,10,0,+5,10,-,1,+4,10,-,2,一、数制,例如,0+1=1 1+1=10,11+1=100 10 1=1,(,二,),二进制,(,Binary,),(xxx),2,或,(xxx),B,例如,(1011.11),2,或,(1011.11),B,数码：,0,、,1,进位规律：逢二进一，借一当二,权：,2,i,基数：,2,系数：,0,、,1,按权展开式表示,(1011.11),2,=1,2,3,+0,2,2,+1,2,1,+1,2,0,+1,2,-,1,+1,2,-,2,将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数,。,=8+0+2+1+0.5+0.25,(1011.11),2,=(11.75),10,=11.75,(1011.11),2,=1,2,3,+0,2,2,+1,2,1,+1,2,0,+1,2,-,1,+1,2,-,2,(,三,),八进制和十六进制,进制,数的表示,计数规律,基数,权,数码,八进制,(,Octal,),(xxx),8,或,(xxx),O,逢八进一，借一当八,8,0 7,8,i,十六进制,(,Hexadecimal,),(xxx),16,或,(xxx),H,逢十六进一，借一当十六,16,0,9,、,A,、,B,、,C,、,D,、,E,、,F,16,i,例如,(437.25),8,=48,2,+38,1,+78,0,+28,-,1,+58,-,2,=256+24+7+0.25+0.078125,=(287.328125),10,例如,(3BE.C4),16,=316,2,+1116,1,+1416,0,+1216,-,1,+416,-,2,=768+176+14+0.75+0.015625,=(958.765625),10,二、不同数制间的关系与转换,对同一个数的不同计数方法,(,一,),不同数制间的关系,二、不同数制间的关系与转换,不同数制之间有关系吗？,十进制、二进制、八进制、十六进制对照表,7,7,0111,7,6,6,0110,6,5,5,0101,5,4,4,0100,4,3,3,0011,3,2,2,0010,2,1,1,0001,1,0,0,0000,0,十六,八,二,十,F,17,1111,15,E,16,1110,14,D,15,1101,13,C,14,1100,12,B,13,1011,11,A,12,1010,10,9,11,1001,9,8,10,1000,8,十六,八,二,十,1,.500,1,整数,0,.750,0,(,二,),不同数制间的转换,1.,各种数制转换成十进制,2.,十进制转换为其它进制,例 将十进制数,(26.375),10,转换成二进制数,26,6,1,3,0,1,1,0,1,2,(26 ),10,=(11010 ),2,2,2,1,.,000,1,.375,2,2,2,2,0.375,2,一直除到商为,0,为止,余数,13,0,按权展开求和,整数和小数分别转换,整数部分：除,N,取余法,小数部分：乘,N,取整法,读数顺序,读数顺序,.011,每位八进制数用三位二进制数代替，再按原顺序排列。,八进制二进制,3.,二进制与八进制间的相互转换,二进制八进制,(11100101.11101011),2,=(345.726),8,(,7,4,5,.,3,6,1,),8,=(,111,100,101,.,011,110,001,),2,补,0,(11100101.11101011),2,=(?),8,11100101.11101011,0,0,3,4,5,7,2,6,从小数点开始，整数部分向左,(,小数部分向右,),三位一组,，最后,不足三位的加,0,补足,三位，再按顺序写出各组对应的八进制数。,补,0,11,100,101,111,010,11,一位十六进制数对应四位二进制数，因此二进制数四位为一组。,4.,二进制和十六进制间的相互转换,(10011111011.111011),2,=(4FB.EC),16,(,3,B,E,5,.,9,7,D,),16,=(,11,1011,1110,0101,.,1001,0111,1101,),2,补,0,(10011111011.111011),2,=(?),16,10011111011.111011,0,0,4,F,B,E,C,0,十六进制二进制,:,每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺序排列。,二进制十六进制,:,从小数点开始，整数部分,向左,(,小数部分向右,),四位一组,，最后,不足四位的加,0,补足,四位，再按顺序写出各组对应的十六进制数。,补,0,100,1111,1011,1110,11,例如：用四位二进制数码表示十进制数,0 9,0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4,0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9,将若干个二进制数码,0,和,1,按一定规则排列起来表示某种特定含义的代码称为二进制代码，或称二进制码,。,用数码的特定组合表示特定信息的过程称编码,三、二进制代码,常用二进制代码,自然二进制码,二,-,十进制码,格雷码,奇偶检验码,ASCII,码,(,美国信息交换标准代码,),例如：用三位自然二进制码表示十进制数,0 7,：,000 0 001 1 010 2 011 3,100 4 101 5 110 6 111 7,(,一,),自然二进制码,按自然数顺序排列的二进制码,(,二,),二,-,十进制代码,表示十进制数,0,9,十个数码的二进制代码,(,又称,BCD,码,即,B,inary,C,oded,D,ecimal,),1,位十进制数需用,4,位二进制数表示，故,BCD,码为,4,位。,4,位二进制码有,16,种组合，表示,0,9,十个数,可有多种方案，所以,BCD,码有多种,。,常用二,-,十进制代码表,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,十进,制数,余,3,码,2421,(,B,),2421,(,A,),5421,码,8421,码,无权码,有 权 码,格雷 码,1001,1000,0111,0110,0101,0100,0011,0010,0001,0000,1111,1111,1100,1110,1110,1011,1101,0111,1010,1100,0110,1001,1011,0101,1000,0100,0100,0100,0011,0011,0011,0010,0010,0010,0001,0001,0001,0000,0000,0000,1100,1011,1010,1001,1000,0111,0110,0101,0100,0011,1000,1100,0100,0101,0111,0110,0010,0011,0001,0000,权为,8,、,4,、,2,、,1,比,8421BCD,码多余,3,取四位自然二进制数的前,10,种组合，去掉后,6,种组合,1010 1111,。,格雷码,(,Gray,码,，,又称循环码,),0,1,1,0,最低位以,0110,为循环节,次低位以,00111100,为循环节,第三位以,0000111111110000,为循环节,.,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,特点,:,相邻项或对称项只有,一位,不同,典型格雷码构成规则：,用,BCD,码表示十进制数举例,：,(36),10,=(),8421BCD,(4.79),10,=(),8421BCD,(01010000),8421BCD,=,(),10,注意区别,BCD,码与数制：,(150),10,=(000101010000),8421BCD,=(10010110),2,=(226),8,=(96),16,6 0110,3 0011,4.0100.,7 0111,9 1001,0101 5,0000 0,本章小结,数字电路,是传递、加工和处理数字信号的电子电路。它有分立元件电路和集成电路两大类，数字集成电路发展很快，目前多采用中大规模以上的集成电路。,数字电路的主要优点,是便于高度集成化、工,作可靠性高、数字信息便于保存、抗干扰,能力强、保密性好等。,数字电路中的,信号只有高电平和低电平两个取值，通常用,1,表示高电平，用,0,表示低电平，,正好与二进制数中,0,和,1,对应，因此，数字电路中主要采用二进制。,常用的计数进制有十进制、二进制、八进制和十六进制。,二进制数进位规律是逢二进一，借 一当二。,其基数为,2,；权为,2,i,。,二进制代码,指将若干个二进制数码,0,和,1,按一,定规则排列起来表示某种特定含义的代码，简,称二进制码。,二进制数十进制数,方法：按权展开后求和。,十进制数二进制数,方法,：整数“除,2,取余”法，,小数“乘,2,取整”法。,写出转换结果时需注意读数的顺序。,BCD,码指用以表示十进制数,0 9,十个数码的二进制代码,。,十进制数与,8421,码对照表,十进制数,8421,码,十进制数,8421,码,十进制数,8421,码,十进制数,8421,码,十进制数,8421,码,0,0000,2,0010,4,0100,6,0110,8,1000,1,0001,3,0011,5,0101,7,0111,9,1001,编码是用数码的特定组合表示特定信息的过程。,概述,第,2,章逻辑代数基础,逻辑函数及其,表示法,逻辑代数的基本定律和规则,逻辑函数的,代数化简法,逻辑函数的,卡诺图化简法,本章小结,主要要求：,理解逻辑值,1,和,0,的含义。,2.1,概 述,理解逻辑体制的含义。,用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数,(,Boole Algebra,),或开关代数。,逻辑指事物因果关系的规律。,逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数,称逻辑函数，变量称逻辑变量。,逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用,1,和,0,表示。,与普通代数比较,用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。,相似处,相异处,运算规律有很多不同。,一、,逻辑代数,逻辑代数中的,1,和,0,不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。,注意,例如：开关闭合为,1,晶体管导通为,1,电位高为,1,断开为,0,截止为,0,低为,0,二、逻辑体制,正逻辑体制,负逻辑体制,规定高电平为逻辑,1,、低电平为逻辑,0,规定低电平为逻辑,1,、高电平为逻辑,0,通常未加说明，则为正逻辑体制,主要要求：,掌握逻辑代数的常用运算,。,理解并,初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。,2.2,逻辑函数及其表示法,掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其相,互转换的方法。,一、基本逻辑函数及运算,基本逻辑函数,与逻辑,或逻辑,非逻辑,与运算,(,逻辑乘,),或,运算,(,逻辑加,),非运算,(,逻辑非,),1.,与逻辑,决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生,灭,断,断,亮,合,合,灭,断,合,灭,合,断,灯,Y,开关,B,开关,A,开关,A,、,B,都闭合时，灯,Y,才亮。,规定,:,开关闭合为逻辑,1,断开为逻辑,0,灯亮为逻辑,1,灯灭为逻辑,0,真值表,1,1 1,Y,A B,0,0 0,0,0 1,0,1 0,逻辑表达式,Y,=,A,B,或,Y,=,AB,与门,(,AND gate,),若有,0,出,0,；若全,1,出,1,开关,A,或,B,闭合或两者都闭合时，灯,Y,才亮。,2.,或逻辑,决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。,灭,断,断,亮,合,合,亮,断,合,亮,合,断,灯,Y,开关,B,开关,A,若有,1,出,1,若全,0,出,0,0,0 0,1,1 1,Y,A,B,1,0 1,1,1 0,逻辑表达式,Y,=,A,+,B,或门,(,OR gate,),1,3.,非逻辑,决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生,。,开关闭合时灯灭，,开关断开时灯亮。,A,Y,0,1,1,0,Y,=,A,1,非,门,(,NOT gate,),又称,“,反相器,”,二、几种导出的逻辑运算,由基本运算组合而成,与非,逻辑,(,NAND,),先与后非,若有,0,出,1,若全,1,出,0,1,0 0,0,1 1,Y,A,B,1,0 1,1,1 0,0,1 1,或非逻辑,(NOR),先或后非,若有,1,出,0,若全,0,出,1,1,0 0,Y,A,B,0,0 1,0,1 0,与或非逻辑,(,AND OR INVERT,),先与后或再非,异或逻辑,(,Exclusive OR,),若相异出,1,若相同出,0,同或逻辑,(,Exclusive-NOR,，即异或非,),若相同出,1,若相异出,0,0,0 0,0,1 1,Y,A B,1,0 1,1,1 0,1,0 0,1,1 1,Y,A B,0,0 1,0,1 0,注意,：异或和同或互为反函数，即,例,试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。,解：,Y,1,有,0,出,0,全,1,出,1,0 1 1 0 0 1 1 0,0 0 1 1 0 0 1 1,Y,2,Y,3,相同出,0,相异出,1,三、逻辑符号对照,国家标准,曾用标准,美国标准,四、逻辑函数及其表示方法,逻辑函数描述了某种逻辑关系。,常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。,1.,真值表,列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表。,列,真,值,表,方,法,(,1,),按,n,位二进制数递增的方式列,出输入变量的各种取值组合。,(,2,),分别求出各种组合对应的输出,逻辑值填入表格,。,0,0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,Y,D,C,B,A,输出变量,输 入 变 量,4,个输入变量有,2,4,=16,种取值组合。,2.,逻辑函数式,表示输出函数和输入变量逻辑关系的,表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。,逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。,(,1,),找出函数值为,1,的项。,(,2,),将这些项中输入变量取值为,1,的用原变量代替，,取值为,0,的用反变量代替，则得到一系列与项。,(,3,),将这些与项相加即得逻辑式。,真值表,逻辑式,例如,ABC,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,Y,C,B,A,0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,逻辑式为,3.,逻辑图,运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。,由逻辑符号及相应连线构成的电路图。,根据逻辑式画逻辑图的方法,:,将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。,例如 画 的逻辑图,反变量用非门实现,与项用与门实现,相加项用或门实现,例,图示为控制楼道照明的开关电路。两个单刀双掷开关,A,和,B,分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。,(,1,),分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表,1,1,Y,A B,0,0,0 0,1 1,0 1,1 0,(,2,),根据真值表写出逻辑式,解：,方法：,找出输入变量和输出函数，,对它们的取值作出逻辑规定，,然后根据逻辑关系列出真值表。,设开关,A,、,B,合向左侧时为,0,状态，合向右侧时为,1,状态；,Y,表示灯，灯亮时为,1,状态，灯灭时为,0,状态。则可列出真值表为,(,3,),画逻辑图,与或表达式,(,可用,2,个非门、,2,个与门和,1,个或门实现,),异或非表达式,(,可用,1,个异或门和,1,个非门实现,),=,B,设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。,2.3,逻辑代数的基本定律和规则,主要要求：,掌握逻辑代数的基本公式、基本定律,和重要规则。,一、基本公式,逻辑常量运算公式,逻辑变量与常量的运算公式,0,0,=,0,0,1,=,0,1,0,=,0,1,1,=,1,0,+,0,=,0,0,+,1,=,1,1,+,0,=,1,1,+,1,=,1,0 1,律,重迭律,互补律,还原律,0+,A,=,A,1+,A,=1,1,A,=,A,0,A,=0,A+A=A A A=A,二、基本定律,(,一,),与普通代数相似的定律,交换律,A,+,B,=,B,+,A A B,=,B A,结合律,(,A,+,B,)+,C,=,A,+(,B,+,C,)(,A B,),C,=,A,(,B C,),分配律,A,(,B,+,C,)=,AB,+,AC,A,+,BC,=(,A,+,B,)(,A,+,C,),普通代数没有！,利用真值表,逻辑等式的,证明方法,利用基本公式和基本定律,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,例,证明等式,A,+,BC,=(,A,+,B,)(,A,+,C,),解：,真值表法,公式法,右式,=(,A,+,B,)(,A,+,C,),用分配律展开,=,AA,+,AC,+,BA,+,BC,=,A,+,AC,+,AB,+,BC,=,A,(1+,C,+,B,)+,BC,=,A,1 +,BC,=,A,+,BC,0,0,0,0,A B C,A,+,BC,(,A,+,B,)(,A,+,C,),0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,=,左式,(,二,),逻辑代数的特殊定理,吸收律,A,+,A,B,=,A,A,+,A,B,=,A,(1+,B,),=,A,0,0,1 1,1,1,1 0,1,1,0 1,1,1,0 0,A,+,B,A,B,A,B,0,0,1 1,0,0,1 0,0,0,0 1,1,1,0 0,A,B,A,+,B,A,B,(,二,),逻辑代数的特殊定理,吸收律,A,+,A,B,=,A,推广公式：,思考：,(,1,),若已知,A,+,B,=,A,+,C,，则,B,=,C,吗？,(,2,),若已知,AB,=,AC,，则,B,=,C,吗？,推广公式：,摩根定律,(,又称反演律,),三、重要规则,(,一,),代入规则,A,A,A,A,均用 代替,A,均用 代替,B,均用,C,代替,利用代入规则能扩展基本定律的应用。,将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。,变换时注意：,(,1,),不能改变原来的运算顺序。,(,2,),反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变。,可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律。,原运算次序为,(,二,),反演规则,对任一个逻辑函数式,Y,，将“,”,换成,“,+”,，“,+,”,换成“,”,，“,0,”,换成“,1,”,，,“,1,”,换成“,0,”,，原变量换成反变量，反变量,换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数,。,(,三,),对偶规则,对任一个逻辑函数式,Y,，将“,”,换成“,+”,，“,+”,换成“,”,，“,0,”,换成“,1,”,，“,1,”,换成“,0,”,，则得到原逻,辑函数式的对偶式,Y,。,对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。,应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。,变换时注意：,(,1,),变量不改变,(,2,),不能改变原来的运算顺序,A,+,AB,=,A,A,(,A,+,B,)=,A,主要要求：,了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。,掌握逻辑函数的代数化简法。,2.4,逻辑函数的代数化简法,理解,最简与,-,或式和最简与非式的标准。,逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。,一、,逻辑函数式的几种常见形式和变换,例如,与或表达式,或与表达式,与非,-,与非表达式,或非,-,或非表达式,与或非表达式,转换方法举例,与或式 与非式,用还原律,用摩根定律,或与式 或非式 与或非式,用还原律,用摩根定律,用摩根定律,二、逻辑函数式化简的意义与标准,化简意义,使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，,从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提,高系统可靠性。,不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取,最简与,-,或式，然后通过变换得到所需最简式。,最简与,-,或式标准,(,1,),乘积项,(,即与项,),的个数最少,(,2,),每个乘积项中的变量数最少,用与门个数最少,与门的输入端数最少,最简与非式标准,(,1,),非号个数最少,(,2,),每个非号中的变量数最少,用与非门个数最少,与非门的输入端数最少,三、代数化简法,运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。,并项法,运用 ，,将两项合并为一项，并消去一个变量。,吸收法,运用,A,+,AB,=,A,和 ，消去多余的与项。,消去法,运用吸收律,，消去多余因子。,配项法,通过乘 或加入零项,进行配项，然后再化简。,综合灵活运用上述方法,例,化简逻辑式,解：,应用,例,化简逻辑式,解：,应用,应用,AB,例,化简逻辑式,解：,应用,用摩根定律,主要要求：,理解,最小项的概念与编号方法，了解其主要性质。,掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。,理解,卡诺图的意义和构成原则。,掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中,的应用。,2.5,逻辑函数的卡诺图化简法,代数,化简法,优点：对变量个数没有限制。,缺点：需技巧，不易判断是否最简式。,卡诺图,化简法,优点：简单、直观，有一定的步骤和方法,易判断结果是否最简。,缺点：适合变量个数较少的情况。,一般用于四变量以下函数的化简。,一、代数化简法与卡诺图化简法的特点,n,个变量有,2,n,种组合，可对应写出,2,n,个乘积,项，这些乘积项均具有下列,特点：,包含全部变量，,且每个变量在该乘积项中,(,以原变量或反变量,),只,出现一次。,这样的乘积项称为这,n,个变量的最小,项，也称为,n,变量逻辑函数的最小项。,1.,最小项的定义和编号,(,一,),最小项的概念与性质,二、逻辑函数的最小项表达式,如何编号？,如何根据输入变量组,合写出相应最小项？,例如,3,变量逻辑函数的最小项有,2,3,=8,个,将输入变量取值为,1,的代以原变量，取值为,0,的代以反变量，则得相应最小项。,简记符号,例如,101,5,m,5,m,4,4,100,ABC,1 1 1,1 1 0,1 0 1,1 0 0,0 1 1,0 1 0,0 0 1,0 0 0,最小项,A B C,m,7,m,6,m,5,m,4,m,3,m,2,m,1,m,0,输入组合对应,的十进制数,7,6,5,4,3,2,1,0,2.,最小项的基本性质,(,1,),对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为,1,，而其余各种变量取值均使其值为,0,。,三,变,量,最,小,项,表,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1 1 1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1 1 0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1 0 1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1 0 0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0 1 1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0 1 0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0 0 1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0 0 0,ABC,m,7,m,6,m,5,m,4,m,3,m,2,m,1,m,0,A B C,(,2,),不同的最小项，使其值为,1,的那组变量取值也不同。,(,3,),对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为,0,。,(,4,),对于变量的任一组取值，全体最小项的和为,1,。,任何形式的逻辑式都可以转化为标准,与,-,或式，而且逻辑函数的标准与,-,或式,是唯一的。,(,二,),逻辑函数的最小项表达式,每一个与项都是最小项的与,-,或逻辑式,称为标准与,-,或式，又称最小项表达式。,如何将,逻辑,式转化为 标准与,-,或式呢,？,例,将逻辑式 化为标准与或式。,(,3,),利用,A,+,A,=,A,，合并掉相同的最小项。,0000,m,0,0001,m,1,1100,m,12,1101,m,13,1111,m,15,=,m,0,+,m,1,+,m,12,+,m,13,+,m,15,=,m,(0,1,12,13,15),解：,(,1,),利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。,AB,+,(,2,),利用配项法化为标准与或式。,(,一,),卡诺图的构成,三、逻辑函数的卡诺图表示法,1.,相邻最小项,两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。,相邻最小项重要特点,：,两个相邻最小项相加可合并为一项，消去互反变量，化简为相同变量相与。,例如,AB,C,+,AB,C,=,AB,将,n,变量的,2,n,个最小项用,2,n,个小方格表示，,并且,使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相,邻，,这样排列得到的方格图称为,n,个变量最小项,卡诺图，简称变量卡诺图。,2.,卡诺图及其构成方法,变量取,0,的代以反变量,取,1,的代以原变量,A,B,二,变,量,卡,诺,图,0,1,0 1,0 0,0 1,1 0,1 1,0 0,0 1,A,B,0,1,0 1,m,0,m,1,m,2,m,3,0,1,2,3,A,B,A,A,B,B,AB,AB,AB,AB,四,变,量,卡,诺,图,0,1,3,2,4,5,7,6,12,13,15,14,8,9,11,10,三,变,量,卡,诺,图,A,BC,0,1,00 01,11,10,m,6,m,7,m,4,m,2,m,3,000,m,0,m,5,001,m,1,6,7,5,4,2,3,1,0,AB,CD,00,01,11,10,00 01,11,10,以循环码排列以保证相邻性,变量取,0,的代以反变量,取,1,的代以原变量,AB,CD,00,01,11,10,00 01,11,10,0,1,3,2,4,5,7,6,12,13,15,14,8,9,11,10,AB,CD,相邻项,在几何位置,上也相邻,卡诺图特点：,循环相邻性,同一列最,上与最下,方格相邻,同一行最,左与最右,方格相邻,如何写出卡诺图方格对应的最小项？,已知最小项如何找相应小方格？,例如,原变量取,1,，反变量取,0,。,1,0,0,1,？,AB,CD,00,01,11,10,00 01 11 10,(,二,),用卡诺图表示逻辑函数,(,1,),求逻辑函数真值表或者标准与,-,或式或者与,-,或式。,(,2,),画出变量卡诺图。,(,3,),根据真值表或标准与,-,或式或与,-,或式填图。,基,本,步,骤,用卡诺图表示逻辑函数举例,已知,标准,与或,式画,函数,卡诺,图,例,试画出函数,Y,=,m,(0,1,12,13,15),的卡诺图,解：,(,1,),画出四变量卡诺图,(,2,),填图,逻辑式中的最小项,m,0,、,m,1,、,m,12,、,m,13,、,m,15,对,应的方格填,1,，其余不填。,AB,CD,00,01,11,10,00 01 11 10,0,1,3,2,4,5,7,6,12,13,15,14,8,9,11,10,1,1,1,1,1,已,知,真,值,表,画,函,数,卡,诺,图,例,已知逻辑函数,Y,的,真值表如下，试画,出,Y,的卡诺图。,解：,(,1,),画,3,变量卡诺图。,A B C,Y,0 0 0,1,0 0 1,0,0 1 0,1,0 1 1,0,1 0 0,1,1 0 1,0,1 1 0,1,1 1 1,0,A,BC,0,1,00 01,11,10,6,7,5,4,2,3,1,0,m,0,m,2,m,4,m,6,1,1,1,1,(,2,),找出真值表中,Y,=1,对应的最小项，在,卡诺图相应方格中,填,1,，其余不填。,已,知,一,般,表,达,式,画,函,数,卡,诺,图,解：,(,1,),将逻辑式转化为与或式,(,2,),作变量卡诺图,找出各与项所对应的最小项方格填,1,，其余不填。,例,已知 ，试画出,Y,的卡诺图。,AB,+,AB,CD,00,01,11,10,00 01 11 10,(,3,),根据与或式填图,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,AB,对应最小项为同时满足,A,=1,，,B,=1,的方格。,BCD,对应最小项为同时满足,B,=1,，,C,=0,，,D,=1,的方格,AD,对应最小项为同时满足,A,=0,，,D,=1,的方格。,四、用卡诺图化简逻辑函数,化简规律,2,个相邻,最小项有,1,个变量相异，相加可以,消去,这,1,个变量,，化简结果为相同变量的与；,4,个相邻,最小项有,2,个变量相异，相加可以消去这,2,个变量,，化简结果为相同变量的与；,8,个相邻最小项有,3,个变量相异，相加可以消去这,3,个变量，化简结果为相同变量的与；,2,n,个相邻,最小项有,n,个变量相异，相加可以,消去,这,n,个变量,，化简结果为相同变量的与。,消,异,存,同,AB,CD,00,01,11,10,00 01 11 10,1,1,例如,2,个相邻项合并消去,1,个变量，化简结果为相同变量相与。,AB,C,D,+,AB,C,D,=,ABD,AB,CD,00,01,11,10,00 01 11 10,1,1,例如,2,个相邻项合并消去,1,个变量，化简结果为相同变量相与。,AB,C,D,+,AB,C,D,=,ABD,AB,CD,00,01,11,10,00 01 11 10,例如,1,1,1,1,A,B,C,D,+,A,B,C,D,+,A,B,C,D,+,A,B,C,D,=,A,C,D,+,A,C,D,=,AD,4,个相邻项合并消去,2,个变量，,化简结果为相同变量相与。,8,个相邻项合并消去,3,个变量,A,1,1,1,1,1,1,1,1,画包围圈规则,包围圈必须包含,2,n,个相邻,1,方格，且必须成方形。,先圈小再圈大，圈越大越是好；,1,方格可重复圈，但,须每圈有新,1,；每个,“,1,”,格须圈到，孤立项也不能掉。,同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；,同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；,四个角上的,1,方格也循环相邻，可画圈。,注意,A,B,C,D,+,A,B,C,D,+,A,B,C,D,+,A,B,C,D,卡诺 图化 简法 步骤,画函数卡诺图,将各圈分别化简,对填,1,的相邻最小项方格画包围圈,将各圈化简结果逻辑加,m,15,m,9,m,7,m,6,m,5,m,4,m,2,m,0,解：,(,1,),画变量卡诺图,例,用卡诺图化简逻辑,函数,Y,(,A,B,C,D,)=,m,(0,2,4,5,6,7,9,15),AB,CD,00,01,11,10,00 01,11,10,(,2,),填卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(,3,),画包围圈,a,b,c,d,(,4,),将各图分别化简,圈,2,个可消去,1,个变量，化简为,3,个相同变量相与。,Y,b,=,BCD,圈,4,个可消去,2,个变量，化简为,2,个相同变量相与。,孤立项,Y,a,=,ABCD,Y,c,=,AB,循环相邻,Y,d,=,AD,(,5,),将各图化简结果逻辑加，得最简与或式,解：,(,1,),画变量卡诺图,例,用卡诺图化简逻辑,函数,Y,(,A,B,C,D,)=,m,(0,2,5,7,8,10,12,14,15),AB,CD,00,01,11,10,00 01,11,10,(,2,),填卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(,4,),求最简与或式,Y,=,1,消,1,个剩,3,个,(,3,),画圈,消,2,个剩,2,个,4,个角上的最小项循环相邻,找,AB,=11,C,=,1,的公共区域,找,A,=,1,CD,=,01,的公共区域,找,B,=,1,D,=,1,的公共区域,解：,(,1,),画变量卡诺图,AB,CD,00,01,11,10,00 01 11 10,(,2,),填图,1,1,(,4,),化简,(,3,),画圈,例,用卡诺图化简逻辑,函数,00