可化为一元二次方程的分式方程和无理方程.doc

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第二单元 可化为一元二次方程
的分式方程和无理方程

一、教 法 建 议

抛砖引玉

本单元向同学们介绍了公式方程与无理方程.对分式方程（可化为一元一次方程的分式方程）同学已学过，并不陌生.因而，在教学中以其为突破口，自然地过渡到解可化为一元二次方程的分式方程.它的基本思想与可化为一元一次方程的分式方程基本相似，在教学中，紧紧地抓住“把分式方程‘转化’为整式方程”这条主线，研究“转化”的条件.结合具体实例，突出“转化”，突出解可化为一元二次方程的分式方程的步骤与解可化为一元一次方程的分式方程的步骤完全相同.再结合例题，剖析产生增根的原因，使学生深知验根的必要性和重要性及验根的方法.在本单元教学中，通过例2培养学生敏锐的观察力，使他们发现两个分式的分母、分子互相交换位置，可看作互为倒数，自然引到换元法上来，通过换元把此分式方程转化为一元二次方程，简捷，易解，激发他们对换元法的兴趣，抓住这一契机，进一步强调换元法应用的广泛性、重要性.
应用题教学应注意对题目中一些相等关系的分析，使他们在分析问题、解决问题的能力方面在原有基础上再提高一步.
无理方程对学生来说是新内容，在教学中结合实例使学生了解无理方程的概念，掌握其解法——乘方法及换元法.强调解无理议程验根的必要性及其方法步骤.

指点迷津

解可化为一元二次方程的分式方程，重点是抓住把分式方程“转化”为整式方程.因此，要注意“转化”的条件.要引导学生善于观察，捕捉习题的特点来选取转化的方法，通常（如课本P45例1）选取去分母法，也可采取换元法（如果方程的两项成倒数关系，二次项的底数与一次项底数相等，采取换元法为宜）.对于解分式方程最后一道“关”——检验，务必不能漏掉，必须向同学们进一步强调.
列方程解应用题尽管同学们多次接触，与以前学过列方程（整式方程）解应用题几乎完全相同，但找相等关系要比以前学过的复杂一些.只要强化对题目中的一些相等关系的分析，症结也可化解.
引出无理方程的概念后，指出以前学过的整式方程和分式方程统称有理方程，这样对代数方程有一个完整认识，再通过实例强调无理方程必须掌握乘方法及换元法，常规方法是乘方法.至于如何选取换元法，必须善于观察，若发现根号内外对应项系数成比例或两个根号内的两项互为倒数关系等，应果断选取换元法，无理方程的验根这一环也必须扣紧，来不得半点含糊.

二、学 海 导 航

思维基础

1. 方程叫分式方程，解分式方程一般是把方程两边同乘以 或用 法，使原方程转化为 去求解.
2. 方程叫无理方程.解无理方程一般是把方程两边同时 或 法，使原方程转化为 去求解.
3.解分式方程和无理方程的转化过程中，有可能产生 ，因此解这两种方程的最后必须进行 .
4.检验分式方程增根的一般方法是 .
5.检验无理方程增根的一般方法是 .

【学法指要】

例1 解方程：.
【思考】1.解分式方程通常使用哪两种方法？2.本例应用何种方法解之为宜？3.解分式方程应注意什么？4.分母为多项式首先应怎么办？如何去分母呢？
【思路分析】本例是一道分式方程.通常采用去分母法，因此首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式，如本例可分解因式为.待分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例为“”.用此整式去乘方程的每一项，便可约去分母，将分式方程转化为整式方程求解.在去分母的过程中要注意两点：（1）必须注意符号的变化规律（如本例“12-x”与“x-12”的关系）；（2）用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏.最后应检验，至此例可找到本例完整解答.
解：原方程就是
，
方程两边都乘以，约去分母，得
，
整理后，得
.
解这个方程，得
.
检验：，
∴ 均为原方程根.
例2 解方程：
（1）；
（2）.
【思考】1.解分式方程可用换元法，一是二次项与一次项相同，采取同底换元法；二是含未数的二项方程为一常数，呈倒数关系，可采取倒数换元法，你说对吗？2.对本例采取何方法解之？请你探索.
【思路分析】（1）观察方程（1）可发现二次项底数与一次项未知底数相同，因而，可考虑换元法为宜.
解：设.则原方程可化为
，
，
∴ .
当y1=-2时，即；
当y2=-3时，即.
∴ 均为原方程的根.
【思路分析】（2）观察方程（2）可发现这个方程左边两个分式中的与互为倒数，根据这个特点，可以用换元法来解.
解：设，那么，于是原方程变形为
，
去分母，得 ，
，
解得 y1=3/8,y2=1.
当 y=3/8时，.
去分母并整理，得
.
解得 .
当y=1时，即.
去分母并整理，得
.
检验：把分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根.
∴原方程根是：.
（2）的又一解法：
设，
于是有
这样根据课本P31“以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+x1·x2=0”，可找到思路.进而知以a，b为根的一元二次方程是.
∴ t1=3,t2=8.
即，
亦为.（下同原解法）
由此可以看出，解分式方程“转化”为整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基础方法，解分式方程应首先考虑用基本方法求解，然后再根据分式方程特点（如倒数关系式）考虑换元法，便可达到转化的目的，找到思路.对于解题过程的每一个步骤都不能疏忽，才能正确求解.
例3 解方程：.
【思考】1.解无理方程通常使用哪些方法？2.本例采用哪种解法好？
【思路分析】 本例是一道无理方程，应首先考虑用乘方法求解，然而，当我们观察原方程可发现，含根号的未知数项均在等号左边，立即采取乘法将会使求解陷入困境，此时把方程左边一项适时移到等号右边，再采取乘方法，将会走出困境，出现新的曙光.这也是解此类无理方程的技巧、方法.由此，采取乘方法本例便可很顺利了.
解：移项得 ，
两边平方，得 ，
整理，得 ，
两边再平方，得 ，
∴ .
∴ .
把x1=2，x2=3分别代入原方程，使得左边=右边，因此，x1=2，x2=3是原方程的根.
∴原方程的根是x1=2,x2=3.
例4 解方程：
（1）；
（2）.
【思考】1.解分式方程可采取换元法吗？如何进行换元？2.这两例各有什么特点？
【思路分析】（1）将（1）方程进行适当变形为

此时例可发现根号内外相同项的对应系数成比例，即3∶1=15∶5=3∶1，抓住这个特征，适时换元，便可打开思路.
解：设，则原方程可变成
3y2+2y-5=0，
(3y+5)(y-1)=0，
∴ .
当,无解；
当.
∴
∴ .
经检验都是原方程的根.
【思路分析】（2）观察方程左边两项，它们互为倒数，捕捉这一信息，便迅速作出换元的决策，思路自然畅通.
解：设.
∴ .
∴ .
余下步骤略.
通过对例3、例4的学习，我们体会到，如何能想到解题思路呢？只有认真审题，敏锐观察，抓住试题的特点，如倒数关系，根号内外对应项系数成比例等，便可立即采取换元法，不然便是乘方法，在初中只向同学们介绍了这两种最基础的方法，二者必居其一，只要按照课本所教的方法去探索，去观察，去分析，老师能想到的思路，同学们也同样想得到！
例5 某校学生甲、乙二人分别从A，B两地同向出发，甲经过B地后再走3小时12分钟在C地追地追上乙，这时二人共走了72千米，而C，A两地的距离等于乙走5小时的路程，求A，B两地的距离.
【思考】1.列方程解应用题通常有哪些步骤？2.对行程问题要抓住哪三者之间的关系？3.列分式方程解应用题还要检验吗？检验后还应注意什么？
【思路分析】要解决行程问题，迅速找到思路，首要条件是把实际问题用线段图清晰表示出来；其次抓住“速度、时间、距离”三者之间关系，列出代数式；再者找相等关系用代数式表示，便可列出方程，大功告成.然后求解，检验，答便接近尾声.抓住“首先、其次、再者”这三部曲，你自然能想到解行程问题思路.如本例.
解：一、画线段图
图代12-2-1

二、根据三者（υ，s，t）关系结合线段图列代数式：
乙从B走到C的距离是：千米，
甲从B走到C的距离亦是：千米，
甲从A走到C的距离是：千米.
乙的速度是：千米/小时.
甲的速度是：千米/小时.
三、找相等关系式，布列方程.
甲从A走到C的时间=乙从B走到C时间.

∴ .
∴ .
∴ ） （负值舍）.
∴ s=8（千米）.
经检验s=8是原方程根，且符合题意.
答：A，B两地距离是8千米.
由上可知，该道应用题十分复杂，尽管千头万绪，但对行程问题只要遵循“三部曲”，你自然能想到怎样解，而且能顺利找到思路.总之，对列方程解应用题要认真分析，采取画线段图、列表等手段辅助分析，列出代数式，最关键的是找准相等关系，一切拦路虎便可降服了.

思维体操

例：甲、乙二人自A，B两村骑自行车同时相向而行，相遇在离A村8公里处，相遇后两人继续按原方向前进，分别到达A和B后又立即返回，在离B村10公里处相遇，求两村间的距离.
【思考】1.行程问题可把总路程看作单位1吗？相同时间呢？2.对行程问题分析可采取列表法、画线段图法等，本例采取哪种方法好呢？
【思路分析】
依题意，画线段图如图代12-2-2，第一次相遇甲行8公里，乙行（s-8）公里；第二
图12-2-2
次相遇，甲共行了（s+10）公里，乙共行了（2s-10）公里.第一次相遇后至第二次相遇甲行了（s-8+10）=(s+2)公里，乙行了（8+s-10）公里.只要抓住“甲行走所用时间=乙行走所用时间”这一相等关系式，问题就能得到解决.
【扩散1】设两村的距离为s公里，甲速度为υ1公里/时，乙速度为υ2公里/时，则有

， ①
. ②
①②得 .
∴ .
∴ .
∵s≠0，∴s=14（公里）.
【扩散2】设法同扩散1，则有
….
【扩散3】设两村间的距离为s公里，第一次相遇时他们行了t小时，则有
.
∴ （s-8）(s+10)=8(2s-10).
∴ s2+2s-80=16s-80.
∴ s2-14s=0.
∵s≠0， ∴s=14（公里）.
【扩散4】设同扩散3，则有
….
【扩散5】设两村间的距离为s公里，两次相遇共用3t小时，则有
.
∴ 8（2s-10）=(s+10)(s-8).
∴ 16s-80=s2+10s-80.
∴ s2-14s=0.
∵s≠0, ∴s=14(公里).
【扩散6】设同扩散5,则有
.
【扩散7】设两村间的距离为s公里,第一次相遇后至第二次相遇所行时间为t小时,则有
.
【扩散8】设同扩散7,则有
.
【扩散9】设两村间的距离为s公里,第一次相遇两人行1单位时间,则甲的速度为8公里/1单位时间,乙的速度为(s-8)公里/1单位时间,于是得
.
∴ (s+10)(s-8)=8(2s-10).
∴ s2+2s-80=16s-80.
∴ s2-14s=0.
∵s≠0,∴s=14(公里).
【扩散10】设同扩散9,则有
.
【扩散11】设两村的距离为s公里,两次相遇共用1单位时间,则有
.
∴ 8(2s-10)=(s+10)(s-8).
∴ 16s-80=s2+2s-80.
∴ s2-14s=0.
∵s≠0,∴s=14(公里).
【扩散12】设法同扩散11,则有
.
【扩散13】设两村间的距离为s公里,第一次相遇后至第二次相遇共行了1单位时间,则有
.
∴ 8s-16=(s+2)(s-8)=s2-6s-16.
∴ s2-14s=0.
∵s≠0,∴s=14(公里).
【扩散14】设同扩散13,则有
.
.
【扩散15】设两村间的距离为s公里，甲、乙二人两次相遇共走3s公里，又知从出发到第一次相遇，甲、乙二人共走3s公里，其中甲共走8公里，由于速度不变，两次相遇甲共走（8×3）公里，同时又知甲共走（s+10）公里，于是有
（公里）.
根据“解法扩散15”可推广为解两次相遇问题的通法.如将原题中把“8公里”改为“a公里”，“10公里”改为“b公里”，根据“解法扩散15”分析可得下列关系式：
.
应用这一公式，解与例题相同的一类两次相遇问题十分简捷、迅速、易求，试举例.
清晨，甲、乙二人分别从A，B两地同时开始跑步锻炼，甲从A跑到B立刻再返回A，乙从B跑到A再立即返回B，在距离A 600米处第一次相遇，在距离B 400米处两人第二次相遇，假定甲、乙各自速度不变，则A，B两处的距离是 .
【思路分析】这里a=600米，b=400米.
由公式得 （米）.
故A，B两处距离为1 400米.
再举两例，供同学们练习：
1. 甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行，第一次相遇时离B地700米，两
人继续往前走，到达对方出发地立即返回，结果又在距离A地400米处相遇，求A，B两地的距离.（s=1 700米）
2. 甲、乙二人自A，B两地同时相向而行，在距B地5千米处相遇，各自到达对方出发
地立即返回，又在距A地1千米处相遇，求A，B两地的距离.（s=14千米）
“扩散1～15”从不同角度分析问题.“扩散1～2”增设速度，借“桥”过“河”，天
堑变通途.“扩散3～8”增设时间，借梯登楼视野开阔，“扩散9～14”借助单位1，简捷又明快.“扩散15”抓住甲、乙二人速度不变，找出“甲走的总路程=甲走的总路程”这一相等关系，抓住问题质，使这一类问题产生质的变化.

三、智 能 显 示

心中有数

分式方程、无理方程是代数方程的重要组成部分.解方程必然要学会解分式方程、解无理方程.对于解可化为一元二次方程的分式方程一定要驾驭去分母法、换元法.这种方法既基本又实用，也是解开这一类问题的常用方法，只要熟练掌握，遇到类似问题，你一定可想到好的解法，把分式方程转化为整式方程求解.无理方程的解法通常采取乘方法或换元法，根据无理方程的不同特点，灵活选取这两种方法，一定能奏效.
列方程解应用题，重点在分析，如画图、列表等辅助分析，进而再根据分析，找出相等关系，便可有新的突破，找到思路.
总之，对本单元的三大块知识要熟练掌握，它们之间既有区别又有联系，抓住它们的脉搏，才能卓有成效，收到好的学习效果.

动手动脑

1. 解方程：.
2. 解方程：.
创新园地

解关于的方程：，
解之得.
请同学应用此题结论解方程（组）.
1.；
2.；
3.；
4.；
5.；
6.；
7.；
8.；
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

四、同 步 题 库

一、 填空题
1. 在方程中，若设，则原方程化为关于y的方程
是 .
2.当m= 时，关于x的分式方程没有实数解.
3.若关于x的方程有实数根，则a的取值范围是 .
4.用换元法解方程时，可设 =y,这时原方程变为 .
5.方程的根是 ；的根是 ；的根
是 .
6.无理方程的根为，则a的值为 .
7.若a，b都是正实数，且，则 .
8.若a+b=1，且a∶b=2∶5,则2a-b= .
9.当a= 时，方程无实数根.
10.若，则 .
二、 选择题
11.下列方程中既不是分式方程，也不是无理方程的有（ ）
A. B.
C. D.
E. F.
12．方程的最简公分母是（ ）
A.24（x+3）(x-3) B.(x+3)(x-3)2
C.24（x+3）(x-3)2 D.12（x+3）(x-3)2
13.观察下列方程，经分析判断得知有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
14.如果，那么的值是（ ）
A.1 B.-1 C.±1 D.4
15.方程的解是（ ）
A.0 B.2 C.0或2 D.
16.设y=x2+x+1,则方程可变形为（ ）
A.y2-y-2=0 B.y2+y+2=0
C.y2+y-2=0 D.y2-y+2=0
17.若，则a的取值范围是（ ）
A.全体实数 B.a≥0
C.a≥ D.A≤
18.已知，则相等关系成立的式子是（ ）
A. B.
C． D.
19.关于x的方程的根是（ ）
A.x=a B.x=-a
C.x1=a；x2=- D.x1=a；x2=
20.一个数和它的算术平方根的4倍相等，那么这个数是（ ）
A.0 B.16 C.0或16 D.4或16
三、 解下列方程
21.；
22.；
23.；
24.；
25.；
26.；
27.；
28.；
29..
30.关于x的方程，其中p是实数.
（1） 若方程没有实数根，求p的范围.
（2） 若p>0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根.
四、 解答题
31.已知直角三角形两条直角边之差为7，它的周长为30，求各边之长.
32.如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，D是圆上的点，BD交AC于E，已知AB=5，sin
∠CAB=.

图代12-2-3

（1） 设CE=m，DE/BE=k，试用含m的代数式表示k.
（2） 当AD∥OC时，求k的值.
（3） 当BE=6DE时，求DC的长（下列数据供选用：，
结果中保留π）.
33.甲、乙二人分别从A，B两地同时相向而行，相遇时甲比乙多走了6千米，相遇后
他们仍以原速度前进，甲经过小时到达B地，乙经过8小时到达A地，求A，B间的距离.
34.某校学生甲、乙二人分别从A，B两地同时同向行走，甲经过B地后再后3小时12
分钟在C地追上乙，这时二人共走了72公里，而C，A两地的距离等于乙走5小时的路程，求A，B两地的距离.
35.某校初三甲、乙两班同学向水灾地区捐款的总数为3 600元，已知甲班比乙班少5
人，但平均每人比乙班多捐5元，结果两班的捐款数相同，求甲、乙两班平均每人的捐款数.
36.已知一个矩形和一个正方形的面积相等，它们的周长之和为108，且矩形的长比宽
多18，求矩形的长和宽以及正方形的边长.
37.淮河上有A,B两地相距14千米,一只船在两地往返一趟需2小时24分,船在静水中
的速度是12千米/时,问一个漂流物从A地漂到B地需要多少时间?
38.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在
慢车前12千米，快车到达乙站时，慢车还差25千米没走完，快车和慢车每小时各走多少千米？若都提高速度50%，快慢车行这段各节省多少时间？
39.一项工程甲队独完成比乙队单独完成少用15天，现甲队先做10天后，再由乙队单
独做15天就完成了这项工作的，求甲、乙两队单独完成这项工程的天数.

参 考 答 案

动脑动手
1. 解法1：由原方程去分母，得

.
展开后，得

.
合并，得
.
∴ .
∴ .
经检验，都是原方程的根.
解法2：将原方程变形，得
.
∴ .
去分母，得
4（x+2）(x-4)(x+3)+(x+5)(x+4)(x+3)
=3(x+5)(x+2)(x+3)+2(x+5)(x+2)(x+4).
展开后，得

.
合并，化简，得
.
解法3：同解法2，原方程化为
.
移项，得 .
两边通分，得 .
∴ .
解之，得.
2. 解：设，
则.
∴
∵ ， ①
∴ .
∴
∴ . ②
①+②，得 ，
即 .
将方程两边平方后，整理，得
.
∴ .
经检验知 均为原方程根.
创新园地
由方程我们可发现方程左右两边结构一致，且··（常
数），只要具有这个条件，我们用观察法，便可利用结论，口算出答案.
1. 由原方程得，
∴.
2. 由原方程，得.
∴.
3.由原方程，得.
∴.
4.由原方程，得.
∴.
5.由原方程，得.
∴.
6.由原方程，得
.
∴.
7.由原方程，得
.
∴.
8.由原方程，得
.
∴.
9. .
∴.
10. .
∴.
11..
∴.
12..
∴（舍）….
13.由原方程组得
.
∴.
14. 由原方程组，得
.
∴
15..
∴ .
同步题库
一、 填空题
1.； 2.4或-6； 3.a≥-2； 4.； 5.0，
0和1，0； 6.； 7.； 8.； 9.-2，1； 10.±2.
二、 选择题
11.A 12.D 13.C 14.A 15.B 16.A 17.D 18.B 19.D 20.C
三、 解下列方程
21..
解 ，
，
，
.
.
经检验知：x=1是增根，x=-4是原方程的根.
22..
解 ，
，
，
，
.
.
经检验知：x=44是增根，x=4是原方程的根.
23..
解
设 .
2y2-9y+10=0，
（2y-5）(y-2)=0.
y1；y2=2.
把代入中，得
，
，
，
.
.
把代入中，得

经检验知：均为原方程的根.
24..
解:
,
,
.
经检验知:x=-2是增根；x=3是原方程的根.
25..
解： .
设.

把得

代入中，得

经检验知：均为原方程的根.
26..
解 ，

经检验知：x=2是增根；x=1是原方程的根.
27..
解： ，
，

经检验知：x=2是原方程的根.
28..
解：设，则 ，

把代入中，则

把代入中，则

经检验知：均为原方程的根.
29..
解：设，则，

把y=2代入中，得
.

经检验知：x=3是原方程的根.
30..
解：（1）令，
则原方程变为：. ①
∵ ≥0
∴ .
则y1=p，y2=-2-p.
若原方程没有实数根，只要
解这个不等式组，得-2<p<0.
（2）∵p>0，把y1=p代入①得
. ②
而y2=-2-p<0（舍去）.
将②式平方，整理得.
令.
解得 p=1
当时，原方程有两个相等的实数根.
当代入③，得.
∴ .
经检验，当时，是原方程的根.
31.解：设较长的直角边为x，则较短的直角边为x-7，于是有
.
∴ ，
，
，
，
，
.
.
经检验知：均为原方程的根.
但x=55不合题意，舍去.
∴x=12，∴x-7=5.
∴ .
∴直角三角形之边长为5，12，13.
32.解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°
∵
∴ .
在Rt△BCEk ,,
∴ .
∵ BE·DE=AE·CE，DE=k·BE，
∴ k··.
∴ .
（2）∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=Rt∠，即AD⊥BD.
∵AD∥OC，∴OC⊥BD.
∴ ∠CBE=∠ECO.
∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.
∴ ∠OAC=∠EBC.
∴ Rt△BAC∽Rt△EBC.
∴ CE/BC=BC/AC.

∴ .
∴
.
（4） 当时，.
∴ .
∴ .
当m=3时，CE=BC=3.
∴ ∠CBE=45°.
∴CD所对圆心角为90°.
∴ .
当时，tg∠CBE=,
∴ ∠CBE≈8°.
∴CD所对圆心角为16°.
∴ .
33.解：设AB两地之距为s千米.

又解：设相遇时甲走了s千米，乙走了（s-6）千米，则

∴ 3s=4s-24,即s=24.
∴ s+s-6=2s-6=48-6=42（千米）.
34.解：设A，B两地距离为s公里.

35.解：设甲班平均每人捐款x元.
，
解得：（舍去）.
∴乙班平均每人捐款45元.
36.解：设矩形宽x，得
.
解得 x=6.
∴矩形长24，正方形边长为12.
37.解：设水流速度为x千米/时，则漂流物从A至B需小时，依题意：
.
解得；但-2不合题意舍.
由.
∴需7小时.
38.解：设慢车每小时行x千米，则快车每小时行（x+12）千米，得
，
解得：x1=-72（不合题意，舍去）；x2=60.
于是 x+12=72.
∴快、慢车每小时分别行72千米、60千米，提速后，分别节省小时和小时.
39.解:设甲队单独完成需x天,则乙队需(x+15)天,得
.
解得:x1=30；x2=-7.5（舍去）.
由x=30，得x+15=45.
∴甲需30天；乙需45天.
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