由正方形构成的几何问题.doc

由正方形构成的几何题
例1 已知：O是正方形ABCD对角线的交点，AE为∠BAC的平分线，交BC于E，
DH⊥AE于H，交AB于F，交AO于G．
求证：BF=2OG(1991年太原市初中数学竞赛试题)
练习
在正方形ABCD中，，∠1=∠2．
求证：AE=FE

变式思考：如果点E为BC上任意一点，结论AE=EF仍然成立吗？
例2 如图1，矩形纸片ABCD中，AB＝3厘米，BC＝4厘米．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF．试确定重叠部分△AEF的面积．

例3 在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，求DP的长

例4 △ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
M，N为斜边AB上两点，如果∠MCN＝45°．
求证 AM2＋BN2＝MN2

由此问题可以产生如下问题．

例5 △ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， M，N为斜边AB上两点，满足AM2＋BN2＝MN2．求∠MCN的度数．
这道题是1999年北京市中学生数学邀请赛初中二年级的一道试题．是上面例2的逆问题，建议利用图形的旋转，根据图2，独立解答这个问题，答案为∠MCN＝45°．

例6 在△ABC的外面作正方形ABEF和ACGH，M点

A
D
2
例7 在正方形ABCD中，∠1=∠2．
1
求证：AE=BF＋DE ．
E

B
C
F

在正方形ABCD中，∠1=∠2，ED=EC

求证：AF=CF+AD

例8 正方形ABCD的边长为1,E、F分别在BC和CD上，
，求

9，点O为正方形ABCD内一点，
如果OA:OB:OC=1:2:3,求∠AOB的度数
（ 建议利用图形的旋转解答，答案为75°）

10，在正方形ABCD中，∠1=∠2．
求证：
提示：注意到基本图形中的AE=AF.
1， 两次应用内角平分线定理和CE=CF可证
2， 过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证.

3， 过点O作OH‖BE, OF= OH=

11．在正方形ABCD中，∠1=∠2．AE⊥DF,
求证：

（提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种）

12,在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点
求证：AM=AD

13,.正方形ABCD中,点E为AD的中点，BD和CE相交于点F，
求证：AF⊥BE

14，*.如图13，点E为正方形ABCD对角线BD上一点, EF⊥BC, EG⊥CD
A
D
求证：AE⊥FG
B
C
F
13
E

G
（提示：延长AE交GF于点M，DC,使CH=DG,连接HF,
证四边形对角互补,法2：延长FE，AE证全等三角形）

15, 如图14，点O为正方形ABCD对角线交点,E为CD上任意一点 DG⊥AE于点G交BC于点F.
求证：△ OEF是等腰直角三角形 .
A
F
D
14

G

E
o

C
B

16, 点E为正方形ABCD的边BC上一点, MN⊥DE
分别交AB、CD于点M、N.
求证：MN=DE

17, 正方形ABCD中, DAF=250,AF交BD于点E.
求BEC的度数.

18, 正方形ABCD的边长为1cm, △ BCE是等边三角形
求△ BCE的面积 。
答案：

19，以正方形ABCD 的CD边长作等边△DCE,AC和BE相交于点F，连接DF.
(1) 求AFD的度数；
(2) 求证：AF=EF.
提示：B CE=1500,CBE=CEB=FDC=150,
△A BF全等△ ADF

20, 已知：点E、F分别正方形ABCD中AB和BC的中点，连接AF和DE相交于点G,
GH⊥AD于点H.
(1) 求证：AF⊥DE ；
(2) 如果AB=2,求GH的长；
(3) 在以上条件下求sinDGC 。（初三）
(4) 求证：CG=CD 初二 (作CM⊥DG,证DM=AG=0.5DG)

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