《高次方程》讲义.docx

高次方程

一般地，我们把关于的方程称为的次代数方程一般式．其中当时，方程为高次方程．

1．代数基本定理
代数基本定理：关于的复系数方程有且只有个根（重根按重数计算）．
代数基本定理的完整证明需要用到高等数学，在此就不多加叙述了．

2．因式定理
根据代数基本定理，设方程的根分别为，，，，（含重根，下同），由方程与根的关系可知，上述方程可变形为．反过来，方程可化为根是，，，，的方程．由此可以得到，若是方程的一个根，则就是多项式的一个因式．

3．韦达定理
我们知道复数范围内，当方程的根为，，，，时，方程等价于方程．
即的展开式为．根据运算法则，可得：

．
∴；
；
；

这就是次方程的韦达定理．
特别的，当时，有，，．
当时，有，．

4．试根法
在复数或实数范围内，高次方程的一般解法相对较繁琐，或非常低效率，甚至超过四次方程不存在一般的解法；而在有理数范围内求解则会快捷和简便得多；事实上，多数情况下高次方程也只是被要求在有理数范围内求解．在有理数范围内求根时，由韦达定理可知，方程存在的根，，，，满足，即，，，，均为的因子．因此，对于次方程的一般式，我们可以先分别找出最高次项系数和常数项各自的整数因子（含符号），然后将的各因子分别除以的各因子，它们的商依次代入方程，若方程成立，该商便是方程的根．
特别地，当常数项时，定是方程的一个根．当时，是方程的根．
一般地，我们可以先尝试特殊数值如，，等代入方程试根验证方程是否成立．

5．多项式除法（又叫大除法或综合除法）
通过试根法试出的根满足方程，根据因式定理，则为多项式的一个因式．
如，经验证，是方程的一个根，则是多项式的一个因式．
下面我们介绍多项式除法，将多项式除以它的因子，为了便于理解，我举具体例子进行讲解：多项式除以它的因式．具体如下：

其中，被除数放在竖式根号内，除数放在根号外，且均按降幂排列，遇有次数不连续如本题多项式中项和中没有项，则添加（如本题添加）中间次数不连续的项，且添加的项的系数为．
由上式得，这样，我们就把求方程的根降次为求方程的根．如果降次后的方程还存在有理数根，我们就可以继续试根后用多项式除法，降低新的方程的次数，依此类推下去直至我们熟悉的一次方程或二次方程．

6．三次方程一般解法
这里我们着重讲解一般三次方程在实数范围内的一般解法．
由可得………………………………①
其中，，．
设，代入①式得：

…………………………②
令得，，代入②式得：
………………………………………………③
记，，代入③式可化简为：
…………………………………………………………………………④
再设…………………………………………………………………⑤
代入④式得：

再令，得：
……………………………………………………………………………………⑥
…………………………………………………………………………………⑦
⑦式两边同时乘以得，，…………………………………⑧
将⑥式代入⑧式得，
再记……………………………………………………………………………⑨
得
解得………………………………………………………………⑩
将⑩式代入⑨式解得，将解得的代入⑦式，解得，再将解得的，代入⑤式解得，由解得的和代入解得得方程的解．

最后，布置一道问题：用三次方程的解法解出，．