循环卷积和圆周卷积.docx

循环卷积与圆周性卷积的实现
一、 实验目的
（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积和圆周卷积和的概念。
（2）理解掌握三者的关系。
二、 实验原理
两个序列的N点循环卷积定义为
（9-16）
从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N点循环卷积的结果仍为N点序列，而它们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。
循环卷积和线性卷积虽然是不同的概念，但它们之间由一个有意义的公式联系在一起
（9-17）
其中
也就是说，两个序列N点循环卷积是它们的线性卷积以N为周期的周期延拓，设序列h（n）的长度为，序列x（n）的长度为，此时，线性卷积结果的序列的点数为，因此如果循环卷积的点数N小于，那么上述周期延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N满足的条件，就会有
(9-18)
这就意味着在时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾充填适当的零值，使得x（n）和h（n）成为点序列，并作出这两个序列的循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在范围内相同。
根据DFT循环卷积性质中的卷积定理
（9-19）
便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算，二是根据性质线分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。第二种方法看起来要经过若干过程，但由于序列的DFT和IDFT都有快速算法，因此它的效率比第一种方法高得多。
同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。
三、例题及理论计算
已知有限长序列x（n）与h（n）如图试画出：
（1） x（n）与h（n）的线卷积
（2） x（n）与h（n）的7点圆卷积
（3） x（n）与h（n）的5点圆卷积

五点卷积图

四、matlab仿真
用matlab仿真，
方法一：
function y=circonv1(x1,x2,N)
%realize circular convolution use dft method
if length(x1)>N
error('N must not be less than length of x1')
end
if length(x2)>N
error('N must not be less than length of x2')
end
X1k=[x1,zeros(1,N-length(x1))];
X2k=[x2,zeros(1,N-length(x2))];
n=[0:1:N-1]
x2=x2(mod(-n,N)+1);
H=zeros(N,N);
for n=1:1:N;
H(n,:)=cirshifted(x2,n-1,N);
end
y1=x1*H';
function y=cirshifted(x,m,N)
if length(x)>N
error('N必须大于等于x的长度')
end
x=[x,zeros(1,N-length(x))];
n=[0:1:N-1];
n=mod(n-m,N);
y=x(n+1);

方法二：
function y=circonv2(x1,x2,N)
%realize circular convolution use dft method
if length(x1)>N
error('N must not be less than length of x1')
end
if length(x2)>N
error('N must not be less than length of x2')
end
X1k=fft(x1,N);
X2k=fft(x2,N);
Yk=X1k.*X2k;
Y=ifft(Yk);
If(all(imag(x1)==0))&(all(imag(x2)==0))
Y=real(y);
end

运行程序：
n=[0:1:4];m=[0:1:4];
N1=length(n);N2=length(m);
xn=ones(1,N1);
hn=m;
y1n=conv(xn,hn);
y2n=circonv1(xn,hn,N1+N2-1);
y3n=circonv2(xn,hn,N1);
ny1=[0:1:length(y1n)-1];
ny2=[0:1:length(y3n)-1];
subplot(3,1,1);
stem(ny1,y1n);
subplot(3,1,2);
stem(ny1,y2n);
subplot(3,1,3);
stem(ny2,y3n);
axis[0,25,0,6];

仿真图像为：

圆周卷积题：计算两序列X1（n）={1,2,3,4,5},X2(n)={1,2,3,4,5,4,3,2,1}
的圆周卷积。

function y=circonv2(x1,x2,N)
%realize circular convolution use dft method
if length(x1)>N
    error('N must not be less than length of x1')
end
if length(x2)>N
    error('N must not be less than length of x2')
end
X1k=fft(x1,N);
X2k=fft(x2,N);
Yk=X1k.*X2k;
Y=ifft(Yk);
if(all(imag(x1)==0))&(all(imag(x2)==0)) 
y=real(Y);
end

function[Xk]=dft(xn,N) 
%计算离散付利叶变换 %[Xk]=dft(xn,N)  
%Xk=在0<=k<=N-1间的DFT系数数组 
%xn=N 点有限长度序列 
%N=DFT   的长度 
n=[0:1:N-1];               %n de hangxiangliang   
k=[0:1:N-1];               %k de hangxiangliang   
WN=exp(-j*2*pi/N);   
nk=n'*k; 
  WNnk=WN.^nk;   
  Xk=xn*WNnk;
end
function [xn]=idft(Xk,N)  
%计算离散傅里叶变换 
n=[0:1:N-1];
k=[0:1:N-1];
WN=exp(-j*2*pi/N);
nk=n'*k;  
WNnk=WN.^(-nk);
xn=(Xk*WNnk)/N; 
end

clear all
close all
clc
x1=[1,2,3,4,5];
x2=[1,2,3,4,5,4,3,2,1];
N=length(x1)+length(x2);
n=0:N-1;
n1=0:N-2;
n2=0:N-3;
y1=circonvt(x1,x2,N);
y2=circonvt(x1,x2,N-1);
y3=circonvt(x1,x2,N-2);
x1=[x1 zeros(1,N-length(x1))];
x2=[x2 zeros(1,N-length(x2))];
Xf1=dft(x1,N);
Xf2=dft(x2,N);
Xf=Xf1.*Xf2;
x=idft(Xf,N)
x=real(x);
subplot(231)
stem(n,x1);
title('x1(n)')
subplot(232);
stem(n,x2);
title('x2(n)')
subplot(233);
stem(n,x);
title('x(n)=IDFT(X(k))')
subplot(234)
stem(n,y1);
title('N点圆周卷积')
subplot(235)
stem(n1,y2);
title('N-1点圆周卷积')
subplot(236)
stem(n2,y3);
title('N-2点圆周卷积')

仿真图像为：

实验结论：
（1）通过本次实验仿真，加深了我对循环卷积和圆周卷积的相关概念的理解。
（2）通过和同学的交流，能加深对matlab的理解，更好的学习。