特殊的平行四边形专项训练.doc

《特殊的平行四边形》专项复习
一、知识梳理
菱形的判定：（1）______________________________________________________________
（2）_____________________________________________________________
（3）______________________________________________________________
矩形的判定：（1）_________________________________________________________________
（2）________________________________________________________________
（3）________________________________________________________________
正方形的判定：(1)_______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
(3)______________________________________________________________
(4)______________________________________________________________
二、常见与重点题目解析
【矩形的判定】
矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．
【强调】　矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．
矩形的性质
性质1 矩形的四个角都是直角；
性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；
矩形的判定
矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等
矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．
矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为
例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）
A． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补
例3： 已知：如图， □ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，
求证：四边形EFGH是矩形．

巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

2．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角
3．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）
A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90° D．∠1=∠2

4．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠2．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．

5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．

【菱形的判定】
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】　菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
菱形的性质
性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
菱形的判定
菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．
例1  已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
　　求证：∠AFD=∠CBE．

例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．

例3、如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.

例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。

例5． 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
(1)求线段的长．

例6、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

例7、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

巩固训练：
6．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（　　）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
7．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
8．如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（　　）
①△BDF是等腰三角形； ②DE=BC；
③四边形ADFE是菱形； ④∠BDF+∠FEC=2∠A．
A．1 B．2 C．3 D．4

9．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．BA=BC B．AC、BD互相平分 C．AC=BD D．AB∥CD

10．如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？

【正方形的判定】
正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；
因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：
边：对边平行，四边相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
正方形的判定方法：
• (1)有一个角是直角的菱形是正方形；
• (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．
• 注意：1、正方形概念的三个要点：
• （1）是平行四边形；
• （2）有一个角是直角；
• （3）有一组邻边相等．
2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.
例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．

例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．

例3、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

巩固训练：
11．下列说法不正确的是（　　）
A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
12．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
13．有下列命题，其中真命题有（　　）
①四边都相等的四边形是正方形；
②四个内角都相等的四边形是正方形；
③有三个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；
④对角线与一边夹角为45°的四边形是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，在△ABC中，∠B=∠C．D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
求证：（1）△BDE≌△CDF；
（2）当△ABC是直线三角形时，四角形AEDF是正方形．

15．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形．

三、考点训练
1．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　）
A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形
2．▱ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．AB=AD B．OA=OB C．AC=BD D．DC⊥BC
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形
4．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　）
①AC⊥BD； ②∠BAD=90°； ③AB=BC； ④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
5．下列说法中错误的是（　　）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形
6．顺次连接菱形各边中点得到的四边形一定是（　　）
A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．等腰梯形
7．四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，现有以下论断：
①AB=BC；②∠DAB=90°；③BO=DO，AO=CO；④矩形ABCD：⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD．则在下列推论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列命题中：
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；
④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；
⑤对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．
其中真命题有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
9．用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等边三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的图形是（　　）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5） C．（2）（3）（5） D．（1）（3）（4）（5）
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D为AC的中点，以BD为折痕，将△BCD折叠，使得C点到达点的位置，连接A．
求证：四边形ABD是菱形．

11．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．

12．如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．
（1）试说明四边形AECF是平行四边形；
（2）若EF与AC垂直，试说明四边形AECF是菱形；
（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形（不必证明）．

13．如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．
求证：四边形BEDF是正方形．