常系数微分方程.doc

目 录

摘要………………………………………………………………………1
关键词……………………………………………………………………1
Abstract………………………………………………………………….1
Keys……………………………………………………………………....1
前言………………………………………………………………………1
1. 定积分的定义…………………………………………………………1
2. 定积分的基本性质……………………………………………………2
3. 定积分的应用…………………………………………………………2
3.1用定积分求平面图形的面积……………………………………………3
3.2定积分在物理中的某些应用……………………………………………5
参考文献…………………………………………………………………7

常系数微分方程的解法
姓名：XXX 学号：XXXX
数学与信息科学学院 数学与应用数学专业
指导老师：XXXX 职称：副教授
摘 要：本文主要介绍了解常系数微分方程的三种解法:1,欧拉待定指数函数法；2，比较系数法；3，拉普拉斯变换法.而每一种方法后面又列举一些例子,进一步巩固了这三种算法.最后又列举了常微分方程在实际生活中的应用.
关键词：齐次线性微分方程;非齐次线性微分方程;特征方程,拉普拉斯变换法.
The solution of differential equation with constant coefficients
Abstract: This article mainly introduced three solution of differential equation with constant coefficients:one,the method of undetermined Euler index function;two,The method of compared coefficients;three, the method of Laplace transformation.However,we take some examples behind every method to consolidate them.Finally,we also list the application of differential equation with constant coefficients in life.
Key Words:the homogeneous linear differential equation;the nonhomogeneous linear differential equation;the characteristic equation; the method of Laplace transformation
前言 本文介绍能够彻底解决的一类方程——常系数线性方程及可以化为这一类的方程的求解问题.求得常系数线性微分方程的通解,只须解一个代数方程而不必通过积分运算.对于某些特殊的非其次线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解.我们一定要记住常系数线性方程固有的这种简单特性
1.常系数齐次线性微分方程的解法
1.1齐次线性微分方程
方程有如下形状
, （1.1）
其中,,,为常数.我们称（1.1）为阶常系数齐次线性微分方程.
1.2 特征方程

,
其中是的次多项式.我们称
, （1.2）
是方程（1.1）的特征方程.它的根就称为特征根.
1.3欧拉待定指数函数法
它的求解问题可以归结为代数方程求根问题,现在就来具体讨论方程的解法.按照线性方程的一般理论,为了求方程（1.1）的通解,只需求出它的基本解组.下面介绍求（1.1）的基本解组的欧拉待定指数函数法（又称特征根法）.
回顾一阶常系数齐次线性微分方程
.
我们知道它有形如的解,且它的通解就是.这启示我们对于方程（1.1）也去试求指数函数形式的解
, （1.3）
其中是待定常数,可以是实的,也可以是复的.
1.31特征根是单根的情形
设,,,是特征方程（1.2）的几个彼此不相等的根,则相应地方程（1.1）有如下几个解:
,,,. (1.4)
.
由于假设,故.从而解组（1.4）线性无关.
如果均为实数,则（1.4）是方程（1.1）的个线性无关的实数解.而方程（1.1）的通解可表示为:
,
其中,,,为任意常数.
如果为复根,则因方程的系数是实常数,复数将成对共轭出现.设是一特征根,则也是一特征根,从而方程（1.1）有两个复值解:
,
.
例 1 求方程通解.
解 特征方程的根为,,,.有两个实根和两个复根,均为单根,故方程的通解为
,
这里,为任意常数.

1.32特征根是重根的情形
设特征方程有重根,则
, .
设,即特征方程有因子,于是,即特征方程的形状为
.
而对应的方程（1.1）变为
.
从而方程的个解为.
设时,我们做变量变换
即
,
从而 ,
则积分方程（1.1）可化为 . （1.5）
其中仍为常数,而相应的特征方程为
. （1.6）
直接计算易得,
因此 ,
从而 ,
可见（1.2）的根对应于（1.6）的根,而且重数相同,这样问题就化为前面已经讨论过的情形了.
例 3 求方程的通解.
解 特征方程,,或,即是三重根,因此方程的通解具有形状
,
其中为任意常数.
例 4 求解方程.
解 特征方程为,即特征根是重根,因此,方程有四个实值解为
故通解为

其中为任意常数.
2.常系数非齐次线性微分方程的解法
2.1 非齐次线性微分方程
有形状
. (2.1)
的方程称为非齐次线性微分方程.
2.2 比较系数法
类型I
设,其中及实常数,那么方程（2.1）有形如
（2.2）
特解,其中为特征方程的根的重数,而是待定常数,可以通过比较系数来确定.
2.21 当时,则
.
现在再分两种情况讨论.
() 当不是特征根时,即,因而,这时取,
以代入方程(2.1)并比较的同次幂系数,得到常数必须满足的方程
(2.3)
注意到,这些待定常数可以从方程组唯一地逐个确定出来.
例 4 求方程的通解.
解 先求对应的齐次线性微分方程

的通解.这里特征方程有两个根,.
因此 ,其中为任意常数.再求非齐次线性微分方程的一个特解.这里,又因为不是特征根,故可取特解形如,其中为待定常数,为了确定,将代入原方程,得到
,
比较系数得

因此得,从而.因此,原方程的通解为

() 当是重特征根时,有,且,
即 ,且 .
则方程(2.1)将变为
. (2.4)
令,则方程(2.4)可化为
， (2.5)
即特解为.
故方程(2.4)有特解满足
.
则它的一个特解为
,
这里是已确定的常数.
2.22 当时,则做变量变换,将方程(2.1)化为
,
其中都是常数.
特征方程(1.2)的根对应于方程(2.6)的特征方程的零根,且重数也相同.因此,我们得到以下结论:
在不是特征方程(1.2)的根时,方程(2.6)有特解
,
从而方程(2.1)有特解；
在是特征方程(1.2)的重根时, 方程(2.6)有特解
,
从而方程(2.1)有特解.
.
例 5
解 特征方程有三重根,对应齐次方程的通解为,且方程有形状为的特解,将它带入方程得 ,
比较系数求得,.从而.故方程的通解为
,
其中为任意常数.
类型II
设 ,
其中为常数,而是带实系数的多项式,其中一个的次数为,而另一个的次数不超过,那么我们有如下结论:方程(2.1)有形如
(2.6)
特解,这里为特征方程的根的重数,而均为待定的带实系数的次数不高于的的多项式.
事实上,回顾一下类型I的讨论过程,当是复数时,有关结论仍然成立.现将表为指数形式
.
根据非齐次线性微分方程的叠加原理,方程
与
的解之和必为方程(2.1)的解.
例 6 求方程的通解.
解 特征方程有重根,因此,齐次线性微分方程的通解为
其中为任意常数.
因为不是特征根,我们求形如的特解,将其带入原方程并化简得到
比较同类项系数得从而,因此原方程的通解为

2.3 拉普拉斯变换法
设函数在区间上有定义,如果含参变量的无穷积分
,
对的某一取值范围是收敛的,则称
（2.7）
为函数的拉普拉斯变换, 称为原函数, 称为象函数,并且记为
.
定理1 如果函数在区间上逐段连续,且存在数使得对于一切有则当时, 存在.
为了使用拉普拉斯变换来求解初值问题,还需要知道他的几个性质:
2.31 线性性质.
设函数满足定理1的条件,则在他们的象函数的定义域的共同部分上,有
,
其中是任意常数.
2.32 原函数的微分性质.
如果均满足定理1的条件,则
，
或更为一般地,有

2.33 象函数的微分性质
如果,则

或一般地,有
.
2.34 如果,则
.
例 7 解方程
解 对于方程两端同时进行拉普拉斯变换,得到

或

由于
,
,
故

.
最后可得

例 8 解方程
解 由于 ,
即 ,
最后得到
.
2.3 常数变异法
设是方程(1.1)的基本解组,因而
(2.8)
为(1.1)的通解.
我们把其中任意常数看作的待定函数.这时(2.8)变为
(2.9)

将其带入方程(2.1)就得到必须满足的一个方程,进而对方程进行直到阶的微分方程.即

将代入方程(2.1)中,得到

假设我们求得
,
积分得
,
这里是任意常数.
将所得的表达式代入(2.9),记得方程的解

结束语
本文主要介绍了解常微分方程的三种解法,并通过一些实例进一步验证了这些方法.
参考文献：
[1]东北师范大学数学系微分方程教研室.常微分方程[M]. 北京：高等教育出版社,1982.

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