四棱锥P-ABCD的底面是正方形.doc

2006年高考专项训练------立体几何
1. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
(2) 若,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值

2. 已知三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长均为a，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1B＝a，
（Ⅰ）求异面直线AC与BC1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：A1B⊥面AB1C.

3. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，

（I）求证； （II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小

4. 在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

5. 如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.

6. 如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.
（I）证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.

7. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.
·
B1
P
A
C
D
A1
C1
D1
B
O
H
·
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.

8. 如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（I）求点P到平面ABCD的距离，
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

9. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．
(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；
(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．

10. 三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.
(1)求证 AB⊥BC ；
(II)如果 AB=BC=2，求AC与侧面PAC所成角的大小．

11. 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）证明PA⊥BD.

12.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，
点E为AB中点，点F为PD中点.
（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.

13. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小

14. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
AB=，AF=1，M是线段EF的中点
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

参考答案
1.解:（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，
故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，
又AM∥CD∥EF，且AM=EF，
证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.
又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，
而MF∥AE，得MF⊥面PCD，
故MF⊥PC，
因此MF是AB与PC的公垂线.
（II）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，
垂足H在BE上.
易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，
又OH⊥BE，故OH//DE，
因此OH⊥面MAE.
连结AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角
设AB=a，则PA=3a， .
因Rt△ADE~Rt△PDA，故

2. 解:（Ⅰ）；（Ⅱ）略.
3.解:（I）证明：如图1

图1
底面ABCD是正方形
底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得

（II）解：
底面ABCD，且ABCD为正方形
可以把四棱锥补形为长方体，如图2
面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，
又 为所求二面角的平面角
在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得
即面ASD与面BSC所成的二面角为

图2

图3
（III）解：如图3
是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点
面ASD，SA是SB在面ASD上的射影
由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为

4. 解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，
∴AC⊥SB.
（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连结NF，
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.
∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.
在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，
在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，
∴二面角N—CM—B的大小是arctan2.
（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，
∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.
设点B到平面CMN的距离为h，
∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，

∴h==.即点B到平面CMN的距离为.
解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面 ABC=AC
∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.
如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.
则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），
S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).
∴=（－4，0，0），=（0，2，2），
∵·=（－4，0，0）·（0，2，2）=0，
∴AC⊥SB.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（－1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
·n=3x+y=0，
则 取z=1，则x=，y=-，
·n=－x+z=0，
∴n=(，－，1)，
又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，
∴cos(n，)==.
∴二面角N－CM－B的大小为arccos.
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（－1，，0），n=（，－，1）为平面CMN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离d==.

5解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有
D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)
于是，
设向量与平面C1DE垂直，则有

（II）设EC1与FD1所成角为β，则

6.

（Ⅰ）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，
由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.
（Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.
又PE : ED=2 : 1，所以
从而
（Ⅲ）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

所以

设点F是棱PC上的点，则

令 得

解得 即 时，
亦即，F是PC的中点时，、、共面.
又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.
解法二 当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，
证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE. ①
由 知E是MD的中点.
连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.
所以 BM//OE. ②
由①、②知，平面BFM//平面AEC.
又 BF平面BFM，所以BF//平面AEC.
证法二
因为
·
B1
P
A
C
D
A1
C1
D1
B
O
H
·

所以 、、共面.
又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC.

7. 解（1）
（2）略
（3）
8.（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE·sin60°=，
即点P到平面ABCD的距离为.
（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.
.连结AG.

又知由此得到：

所以
等于所求二面角的平面角，
于是
所以所求二面角的大小为 .
解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.
在Rt△PEG中，EG=AD=1.
于是tan∠GAE==,
又∠AGF=π－∠GAE.
所以所求二面角的大小为π－arctan.
9.解法一：(I)如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=，
∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，
又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B，
∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=，
又BB1=1，∴A1B=2，
∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，CD=A1B=1，CD=CC1
又DM=AC1=，DM=C1M，∴△CDN≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM，
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM
(II)设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，
则FG∥CD，FG=CD∴FG=，FG⊥BD.
由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D,知BD=B1D=A1B=1，
所以△BB1D是边长为1的正三角形，于是B1G⊥BD，B1G=，
∴∠B1GF是所求二面角的平面角
又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=.
∴cos∠B1GF=
即所求二面角的大小为π-arccos
解法二：如图以C为原点建立坐标系
(I):B(,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D(,,),
M(,1,0),(,,),(,-1,-1),
(0,,-),
∴CD⊥A1B,CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，
所以CD⊥平面BDM
(II):设BD中点为G，连结B1G，则G(-,,)，∴，∴BD⊥B1G，又CD⊥BD，∴与的夹角等于所求二面角的平面角，
cos
所以所求二面角的大小为π-arccos
10.

⑴证明：取AC中点O, 连结PO、BO.
∵PA＝PC　∴PO⊥AC　
又∵侧面PAC⊥底面ABC
∴PO⊥底面ABC
又PA＝PB＝PC　∴AO＝BO＝CO
∴△ABC为直角三角形　∴AB⊥BC

⑵解：取BC的中点为M，连结OM,PM，所以有OM=AB=，AO=
∴
由⑴有PO⊥平面ABC,OM⊥BC，由三垂线定理得PM⊥BC
∴平面POM⊥平面PBC，又∵PO=OM=.
∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连结ON, NC
则ON⊥PM, 又∵平面POM⊥平面PBC, 且交线是PM, ∴ON⊥平面PBC
∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角.

∴ ∴.故AC与平面PBC所成的角为.
11. 解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.
作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，
由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3，四棱锥P—ABCD的体积
VP—ABCD=
（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得
P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）
所以
因为 所以PA⊥BD.
解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，得
所以 Rt△AEO∽Rt△BAD.
得∠EAO=∠ABD.
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以 AF⊥BD.
因为 直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.

12.（1）证明：连接BD.
为等边三角形.
是AB中点，…………2分
面ABCD，AB面ABCD，
面PED，PD面PED，面PED.…………4分
面PAB，面PAB. ……………………6分
（2）解：平面PED，PE面PED，
连接EF，PED，
为二面角P—AB—F的平面角. ………… 9分
设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.
在

即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为…12分13.方法一：
（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在中，EO是中位线，∴PA // EO
而平面EDB且平面EDB，
所以，PA // 平面EDB

（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴
∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴ ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC
而平面PDC，∴ ②
由①和②推得平面PBC
而平面PBC，∴
又且，所以PB⊥平面EFD
（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角
由（2）知，
设正方形ABCD的边长为a，则
，

在中，
在中，，∴
所以，二面角C—PB—D的大小为
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG
依题意得
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且

∴，这表明PA//EG
而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB

（2）证明；依题意得，又，故
∴
由已知，且，所以平面EFD
（3）解：设点F的坐标为，，则

从而所以

由条件知，，即
，解得
∴点F的坐标为，且
，
∴
即，故是二面角C—PB—D的平面角
∵，且
，，
∴
∴
所以，二面角C—PB—D的大小为

14. 方法一
解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE
∵平面BDE， 平面BDE，
∴AM∥平面BDE

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，
∵AB⊥AF， AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角
在RtΔASB中，
∴
∴二面角A—DF—B的大小为60º
（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，
∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，
∴PQ⊥QF
在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，
PF=2PQ
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，
∴
又∵ΔPAF为直角三角形，
∴，
∴
所以t=1或t=3(舍去)
即点P是AC的中点
方法二
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系
设，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,
∴ =(,
又点A、M的坐标分别是
（）、（
∴ =（
∴=且NE与AM不共线，
∴NE∥AM
又∵平面BDE， 平面BDE，
∴AM∥平面BDF
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF
∴AB⊥平面ADF
∴为平面DAF的法向量
∵=（·=0，
∴=（·=0得
,∴NE为平面BDF的法向量
∴cos<>=
∴的夹角是60º
即所求二面角A—DF—B的大小是60º

（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴=（，0，0）
又∵PF和CD所成的角是60º
∴
解得或（舍去），
即点P是AC的中点