概率半期试题解答.doc

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电子科技大学二零零 九 至二零一零 学年第 一 学期期 中 考试

概率论与数理统计 课程考试题 卷 （120分钟）考试形式：闭卷笔试 考试日期 200 9 年 11月 8 日

一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
合计

一、简答题(每题10分)
1. 设A、B、C三个事件两两独立，并且满足，问A、B、C是否相互独立？给出理由.
解 A、B、C三个事件两两独立则有
P( AB ) = P( A ) P( B ), P( AC ) = P( A ) P( C ), P( BC ) = P( B ) P( C ) （4分）
同时成立.又因
（8分）
满足三个事件相互独立的定义, 故A、B、C相互独立. （10分）
2. 设随机变量X 服从正态分布N(0,1), 对给定的α (0<α<1)，上侧分位数uα满足. 若 求x的值.
解 , （6分）
因X的概率曲线关于y轴对称, 故 （8分）
. （10分）
3. 设二维随机变量的联合概率密度是
，
请写出Z=X+Y的概率密度.
解 由密度函数可知服从二维正态分布, （2分）故,,而且X与Y相互独立, （5分）根据正态分布的可加性, ,（8分）其概率密度函数为
（10分）
4. 假设是同一随机试验的随机事件,其概率分别为, 对以下三种条件分别计算随机事件少有一个发生的概率：
(1) 是任意的随机事件； (2) 互不相容；(3) 相互独立.
解 1）是任意的随机事件，则
（3分）
2）若互不相容，由概率的有限可加性可得
p = P(A1)+ P(A2)+ P(A3) + P(A4) = p1+p2+ p3 +p4 （6分）
3）若相互独立，其对立事件也相互独立, 由对偶原理和概率性质可得
（10分）

二、(12分)某系统由3类元件组装而成, 其中Ⅰ类元件占10%，Ⅱ类元件占40%，Ⅲ类元件占50% ,已知t小时后各类元件的损坏率分别为:30%, 25%, 10%, 该系统运行t小时后出现了故障, 问从哪类元件开始查找系统故障最合理?
解 设 A=｛系统出现故障｝，B1=｛是Ⅰ类元件损坏｝，B2=｛是Ⅱ类元件损坏｝，B3=｛是Ⅲ类元件损坏｝
应从考虑哪类元件损害造成系统故障的可能性最大,需计算比较概率的大小. （3分）
因B1，B2，B3构成样本空间的划分，且P(Bi)>0, i=1,2,3,由全概率公式 （5分）

=0.1×0.3+0.4×0.25+0.5×0.1=0.18 （7分）
根据贝叶斯公式

（10分）
因第Ⅱ类元件造成系统故障的可能性最大, 故应从第Ⅱ类元件开始查找系统故障. （12分）
三、(12分)已知随机变量X的分布函数为

(1) 写出X的分布律; (2)计算概率和,(3)计算条件概率.
解 (1)根据分布函数的间断点知，X的可能取值为－1，1，2 （2分）
; ;
. （8分）
(2) , . （10分）
(3) （12分）
四、(12分)一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为(n = 0,1,2,…;λ>0), 产品为优质品的概率为p(0<p<1). 如果各件产品是否为优质品是相互独立的.求生产线在两次故障间生产k件优质品的概率.
解 设X为两次故障间生产出的产品件数, 由题设知X的分布律为
（3分）
设Y表示生产线在两次故障间生产k件优质品件数.
在生产出n件产品的条件下，即“”的条件下, 随机变量Y的条件分布律为
（6分）
故的联合分布律为

() （8分）
生产线在两次故障间生产k件优质品的概率为
（10分）
（12分）

五、(12分)设区域，随机变量(X, Y)在G上服从均匀分布,求的概率密度.
解 (X, Y)的概率密度为
（2分）
Z的分布函数为
（4分）
（7分）
（10分）
（12分）

六、(12分)随机变量(X, Y)在D上服从均匀分布，其中，讨论X与Y是否相互独立. 讨论的存在区间，并在的条件下求.
解 (X, Y)的联合概率密度为 （2分）
因 =（4分）
= (6分)
当时 ，故X与Y不相互独立.
当,因，有定义.且 （9分）
（12分）

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