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“最优化设计”专题训练
衢州市新星学校 肖爱贞

一、图案设计：
1、（2007.四川乐山）认真观察图（1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
图（1）

（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．
特征1：_________________________________________________；
特征2：_________________________________________________．
（2）请在图（2）中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征.
图（2）

2、（2007.福建福州）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．
提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．
①
②
③
④
⑤

3、（2007.哈尔滨）现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合（如图1、图2、图3）．
分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．
要求：
（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；
（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；
（3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
图1
矩形（非正方形）
图2
正方形
图3
有一个角是135°的三角形
（第3题图）

二、代数式中的方案设计：
4、（2007.辽宁大连）某班级为准备元旦联欢会，欲购买价格分别为2元、4元和10元的三种奖品，每种奖品至少购买一件，共买16件，恰好用50元。若2元的奖品购买a件。
(1) 用含a的代数式表示另外两种奖品的件数；
(2)请你设计购买方案，并说明理由。

三、解直角三角形中的方案设计：
5、（2007.湖北潜江）经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得.
（1）求所测之处江的宽度（）；
（2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.
A
C
B
图①
图②

四、方程、函数中的方案设计：
6、（2007.山东济宁）某小区有一长100m，宽80cm的空地，现将其建成花园广场，设计图案如下，阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m，不大于60m。预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元。
(1)设一块绿化区的长边为xm，写出工程总造价y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；

(2)如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。(参考值：)

五、不等式中的方案设计：
7、（2007.山东青岛）某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：
（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；
（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？
原料名称
饮料名称
甲
乙
A
20克
40克
B
30克
20克

8、（2007.湖南怀化）2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

9、（2007.四川眉山）某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分付镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表：
沼气池
修建费用(万元/个)
可供使用户数(户/个)
占地面积(m2/个)
A型
3
20
48
B型
2
3
6
政府相关部门批给该村沼气池修建用地708m2．设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；
(3)若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案．

10、（2007.哈尔滨）青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．
（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；
（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过300元
不优惠
超过300元且不超过400元
售价打九折
超过400元
售价打八折
按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）

11、（2007.四川绵阳）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？

12、（2007.南充）某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：
类　别
电视机
洗衣机
进价（元/台）
1800
1500
售价（元/台）
2000
1600
计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元．
（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）
（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）

六、其它类：
13、邮政部门规定：信函重100克以内(包括100克)每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．
(1)若要寄一封重35克的信函，则需贴邮票多少元?
(2)若寄一封信函贴了6元邮票，问此信函可能有多少重?
(3)七(1)班有九位同学参加环保知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克．请你设计方案，将这9份答卷分装在两个信封中寄出，使所贴邮票的总金额最少．

【参考答案】
一、1、解：（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，都可以得满分．

2、解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．

3、图略。
二、4、解：（1）16-a；(2)设2元的为a件，4元的为b件，则10元的为（16-a-b）件，由题意得：2a+4b+10(16-a-b)=50，化简得：4a+3b=55，∵a≥1，b≥1，16-a-b≥1，
∴a+b≤15。对a从1开始逐个尝试，代入4a+3b=55求值，并考虑到a、b的范围以及a、b都是正整数，可以求得方案1：当a=10时，b=5，这时16-a-b=1；方案2：当a=13时，b=1，这时16-a-b=2。
三、5、解：（1）在中，，∴（米）
（2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即可得分.
四、6、解：（1）∵出口宽为100-2x，∴一块绿地的短边为0.5×[80-（100-2x）]=x-10.
∴y=50·4x(x-10)+60×[8000-4x(x-10)]=200x2-2000x+480000-240x2+2400x
∴y= -40x2+400x+480000(20≤x≤25).
(2)∵-40x2+400x+480000=469000,∴x2-10x-275=0,∴x=5±10 （负值舍去）
∴x=5+10 ≈22.32，∴投资46.9万元能完成工程任务。
方案一：一块矩形绿地的长为23米，宽为13米；
方案二：一块矩形绿地的长为24米，宽为14米；
方案三：一块矩形绿地的长为25米，宽为15米.
五、7、解：⑴ 设生产A种饮料x瓶，根据题意得：
解这个不等式组，得20≤x≤40．因为其中正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种．
⑵ 根据题意，得　y＝2.6x＋2.8(100－x)．整理，得　y＝－0.2x＋280．
∵k＝－0.2＜0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝40时成本总额最低．
8、解：设搭配种造型个，则种造型为个，
依题意，得：
解这个不等式组，得：，
∵x是整数，∴x可取，
∴可设计三种搭配方案：
①种园艺造型个,种园艺造型个
②种园艺造型个,种园艺造型个
③种园艺造型个,种园艺造型个．
（2）方法一：由于种造型的造价成本高于种造型成本．所以种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：（元）
方法二：方案①需成本：（元）
方案②需成本：（元）
方案③需成本：元
∴应选择方案③，成本最低，最低成本为元.
9、解：（1）y=3x+2(20-x)=x+40;
(2)由题意可得：
20x+3(20-x)≥264 ①
48x+6(20-x)≤708 ②
解①得x≥12，解②得x≤14，∴不等式组的解为12≤x≤14
∵x是正整数，∴x的取值为12、13、14，即有3种修建方案：
① A型12个，B型8个；②A型13个，B型7个；③A型14个，B型6个.
（3）∵y=x+40，y随x的增加而增加，要使费用最少，则x=12
∴最少费用为y=x+40=52（万元）
村民每户集资700元与政府补助共计700×264+340000=524800＞520000，所以每户集资700元能满足所需要费用最少的修建方案.
10、解：（1）设该商场能购进甲种商品件，根据题意，得
，∴
乙种商品：（件）
（2）设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件．根据题意，得

因此，不等式组的解集为
根据题意，的值应是整数，或或
该商场共有三种进货方案：
方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件，
方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件，
方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件．
（3）根据题意，得
第一天只购买甲种商品不享受优惠条件 （件）
第二天只购买乙种商品有以下两种情况：
情况一：购买乙种商品打九折，（件）
情况二：购买乙种商品打八折，（件）
∴一共可购买甲、乙两种商品（件）或（件）
11、解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆，依题意，得
4x + 2（8－x）≥20，且x + 2（8－x）≥12，
解此不等式组，得 x≥2，且 x≤4， 即 2≤x≤4．
∵ x是正整数，∴ x可取的值为2，3，4．
因此安排甲、乙两种货车有三种方案：

甲种货车
乙种货车
方案一
2辆
6辆
方案二
3辆
5辆
方案三
4辆
4辆
（2）方案一所需运费 300×2 + 240×6 = 2040元；
方案二所需运费 300×3 + 240×5 = 2100元；
方案三所需运费 300×4 + 240×4 = 2160元．
所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．
12、解：（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100－x）台，根据题意，得
，解不等式组，得　≤x≤．
即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案．
（2）设商店销售完毕后获利为y元，根据题意，得
y＝（2000－1800）x＋(1600－1500)(100－x)＝100x＋10000．
∵　100＞0，∴　当x最大时，y的值最大．即　当x＝39时，商店获利最多为13900元．
六、13、解：（1）35克=（20+15）克，贴邮票0.8×2=1.6（元）；
（2）在大于100克且小于等于200克范围内的克数即可；
（3）
份数
重量（克）
总金额（元）
1
8
12+4=16
96+4=100
0.8+4=4.8
2
7
24+4=28
84+4=88
1.6+4=5.6
3
6
36+4=40
72+4=76
1.6+3.2=4.8
4
5
48+4=52
60+4=64
2.4+3.2=5.6
故9份答卷分1份、8份或3份、6份装，总金额最少，分别是4.8元、4.8元.