大学物理725页教学课件全书电子教案.pptx

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坐标,要描述质点在空间的运动，首先要确定质点在任一时刻的位置。因此，应先选取一个参考系，并在其上建立一个坐标系。,分别表示沿三个坐标轴正方向的单位矢量。,z,P(,x,y,z,),j,i,x,k,y,r,0,则质点P相对于O的方位可由三个方向余弦来确定：,用 表示 的大小，即质点p离原点o的距离,质点运动学：描述,质点（或物体）的,位置随时间的变化。,二 质点的运动学方程,x,y,z,x,z,y,z,(,t,),y,(,t,),x,(,t,),r,(,t,),P(,t,),0,x=x(t),y=y(t),z=z(t),平均速度,r,(,t,+,t,),r,(,t,),r,x,y,z,P,2,P,1,0,S,r,(,t,+,t,),r,(,t,),0,r,r,位移：,质点在某段时间内的位移等于同一时间内位矢的增量,路程：,表示质点在一段时间内实际经过的,那段运动轨道的长度（图中的？段）,1.3 位移和速度,速度的叠加：速度是各分速度之矢量和，如下式：,速率,瞬时速度,有一质点沿 x 轴作直线运动，t时刻的坐标为,试求：,1.第2秒内的平均速度；,2.第2秒末的瞬时速度；,3.第2秒内的路程。,分析：,1.,由公式 可知，要得到第2秒内的平均速度，就,必须知道,第2秒内,的位移x。,2.,由瞬时速度公式 可知，其值为位移在第2秒末,时刻 的导数。,3.,在求路程之前，应先了解质点的运动规律，比如速度,在什么时刻为,零,。由题意可得质点在 t1.5s时速度为,零，之后其速度方向与原来相反。因此要知道第2秒内,的路程应分两步来求。求第1秒末到第1.5秒的位移减去,第1.5秒到第2秒末的位移即：,例11,h,s,例1-2,求：船速靠岸的速率,解：,l,平均加速度,瞬时加速度,令,t,0,x,r,(,t,+,t,),r,(,t,),y,z,P,2,P,1,0,v,(,t,),v,(,t,+,t,),v,v,(,t,),v,(,t,+,t,),加速度合成,1.4 加速度,在自然坐标系中，常将加速度分解为,切向加速度,法向加速度,R,S,o,轨道曲线某点的曲率k和曲率半径,质点的加速度,加速度的大小,方向,例：一质点运动轨迹为抛物线,=,(,z,=0),求：,x,=-4时（,t,0),粒子的速度、速率、,加速度。,分析：,x,=-4，,t,=2,x,y,解：,练习,例1-3,一质点沿半径为R的圆周运动，质点所经过的弧长与时间的关系为,其中b，c为正，且Rc 。求从t0开始到达加,速度与半径成 角时所经过的时间。,解,设t0时质点的位置为自然坐标系的原点，则质点的运动学方程为,于是质点的瞬时速度为,1.5 圆周运动,一.圆周运动的切向、法向加速度,1.匀速率圆周运动,R,o,质点沿半径R的圆周以匀速率运动,由相似三角形,方向:,大小:,指向圆心,大小不变,方向变,2.变速圆周运动,R,o,注意:1.曲线运动中,圆周运动的角量描述,r,x,S,o,s,+,在此只讨论用极坐标描述圆周运动的情况,半径 r 固定，=(t)称为质点的,角坐标。,角位移,：在t时间内角坐标的改变量,平均角速度,瞬时角速度（简称,角速度,）,平均角加速度,瞬时,角加速度,单位:(Rad/s),线量与角量的关系,r,x,S,o,s,+,当质点以角加速度作,匀变速圆周运动时，有：,例1-4：,一飞轮以 n1500转/分的角速度转动，因制动均匀减速，经50秒后静止。求,（1）角加速度极从制动开始到静止期间飞轮转过的圈数N；,（2）制动开始后 t10秒时的角速度。,解：,初始角速度：,50秒后停止,转过的圈数：,（2）t10s时飞轮的角速度,1.6,质点运动学的两类问题,第一类问题：已知质点的运动学方程，求速度和加速度。这,类问题只需按公式,第二类问题：已知速度V(t）或加速度a（t），求质点的,运动学方程。,两个相对平动参照系,r,0,r,A,A,B,r,A,o,o,x,x,y,y,S,S,u,S,相对,S,平动，速度为,u,1.7 相对运动,两边除,t,，取极限,或,伽里略速度变换,长度测量的绝对性,时间测量的绝对性,叠加,发生在同一个参考系，,变换,涉及不同参考系,第三章 质点动力学,3.2,动能定理,3.3,势能,3.4,机械能守恒定律,3.1,功 保守力的功,能量的概念是自然科学中最普遍、最基本的概念。能,量的形式多种多样，各种不同形式的能量可以通过不同的,方式相互转化。这一章，我们着重讨论与机械能有关的能,量动能和势能。,1.恒力的功,：等于力在作用点位移方向的分量于位移大小的乘积,A,B,j,i,运用矢量，上式可写成：,A到B做功,S,2.变力的功,：,3.1 功 功率 保守力的功,3.合力的功,：等于各个分力所做功的代数和。,功率,：,表征做功的快慢,平均功率：,瞬时功率：,保守力的功,1.重力的功(质点从A移动到B）,A,B,x,y,z,结论：,重力的功只与起点和终点有关，与路径无关。,因此重力沿一闭合路径作的功为,零,。,同样可知：万有引力和弹性力的功也只与起点和终点有关，,与路径无关。,保守力和非保守力,保守力,：,对运动质点所作的功只与起点和终点有关，与路径无关。,非保守力,：,对运动质点所作的功与路径有关。,例：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦系数,m,，在外力作用下小物体（,质量,m,）以速率,v,做匀速圆,周运动，求转一周摩擦力做的功。,r,解：小物体对环带压力,走一段小位移d,s,所做的功,转一周,3.2 动能定理,质点在合外力 作用下沿曲线运动，位移为 ，做功为：,根据牛顿第二运动定律：,则做功为：,则质点从AB点外力所作的功为：,由此式可得到,质点的动能定理,：作用在质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质点在该路程的始、末状态动能的增量。,对于质点系（即多个质点组成的系统）如图：,根据动能定理，外力对第 i 个质点,所作的功,总功为,质点系的动能定理,：一个质点系的总动能的增量等于作用于该质点系的外力和内力做功的总和。,有关系统内力做功,：由于内力总是成对出现，因此做功为：,一对力所做的功，等于其中一个物体所受的力沿两个物体相对移动的路径所做的功。,O,注意,：动能定理只能也必须在同一惯性系中,例：炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为,弹片的动能。,迄今，最不可思议的动能是，宇宙射线中有些质子的动能,达到 10,19,eV，是其静止能量的10,10,倍。,例：有一面为1/4凹圆柱面（半径,R,）的物体（质量M）放置在,光滑水平面，一小球（质量,m,），从静止开始沿圆面从,顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体,时速度,v,，求：1）重力所做的功；2）内力所做的功。,R,M,m,解：重力只对小球做功,水平方向无外力，系统保持,水平方向动量守恒。,D,s,mg,j,D,h,对,m,，内力所做的功,对,M,，内力所做的功,*本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。,由动能守恒定理可得：,在,保守力场,（在任意点受保守力的作用），质点从A-B，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。（如重力，万有引力，弹性力，静电力等。）,A,B,3.3 势能,势能：,凡是能量的大小决定于,物体之间,的相互作用和相对位置，这种能量就叫势能。,质点在保守力场中的势能的增量的负值等于保守力的功,质点在力场中某点A的势能就等于将质点从A点移到参考点（势能,零点）时保守力所作的功，即,重力场,：以地面为势能零点，则在任意一点 z 处的重力势能为,弹性力场,：以弹簧原长处为势能零点，则在任意一点 x 处的弹,性势能为,引力场,：取无穷远处为势能零点，则在任意一点 r 处的引力,势能为,保守力与势能的微分关系,将上式写成微分形式：,写成矢量式，为：,对质点系有动能定理：,一.功能原理,将内力分为保守内力与非保守内力，有：,由保守力的功和势能增量的关系：,有,引入系统的,机械能,，有：,3.4 机械能守恒定律,由功能原理，在外力和非保守力不做功的情况下，系统的机械能不变。即,机械能守恒定律,普遍的能量守恒定律,如考虑各种物理现象，计及各种能量，则,一个孤立系统不管经历何种变化，系统所有能量的总和保持不变,普遍的能量守恒定律。,二.机械能守恒定律,所以,保守内力作功是系统的,势能,与,动能,之间转化的手段和度量。,解：设碰撞后两球速度,由动量守恒,两边平方,由机械能守恒（势能无变化）,两球速度总互相垂直,例：在平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时,处于静止状态，另一球速度,v,。,求证：碰撞后两球速度总互相垂直。,第五章 刚体的转动,质点集合连续介质,变形体,刚体,弹性体,塑形体,5-1.刚体的定轴转动,刚体:,特殊的质点系,形状和大小不变的理想化的模型.,研究方法:单个质点服从牛顿定律.,在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。,一.刚体的平动,1.特点:各质元运动轨迹相同,相同.,2.方法:可看作质点,用质心的运动代替刚体的运动.,二.刚体的定轴转动,各质元绕某一直线作圆周运动,该直线为转轴.,1.特点:不变形,相同.,2.方法:一点的角量代替整体的角量.,O,P,定轴,刚体,z,r,v,注意:1).转轴转动平面;,定轴转动中,、可简化成”+”、”-”,2).沿轴向且与转动方向成右手螺旋,3).角加速度,4.角量、线量的关系:,5-2 转动动能 转动惯量,一.转动动能,r,i,v,i,m,i,刚体上的质元,m,i,在转动平面内,r,i,与轴垂直,刚体的动能为各质元的动能之和：,注意:刚体的转动动能,二.刚体的转动惯量,1.定义:刚体的转动惯量等于各质元的质量和其各自到转轴的垂直距离的平方的乘积之和.,2.决定因素:,1).形状、大小相同时,mJ(决定于m);,2).m相同,m分布离轴越远,J越大(决定于m的分布);,3).同一刚体,转轴不同,J不同,(决定转轴的位置).,3.计算,1).质量不连续分布,其中r,i,为m,i,到转轴的垂直距离,m,1,m,3,m,2,r,3,r,2,r,1,2)质量连续分布,其中r为dm到转轴的垂直距离,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,其中,、,分别为质量的线密度、面密度和体密度。,线分布,面分布,体分布,例1.求长为,L,、质量为,m,的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,A,B,L,X,A,B,L/2,L/2,C,X,解：取如图坐标，,dm=,dx,例2.求质量为,m,、半径为,R,的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,R,O,解:在圆环上取质元,dm,J,是可加的，若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,例3.求质量为,m、,半径为,R,、厚为,l,的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为,r,宽为,dr,的薄圆环,l,O,R,r,dr,dm,可见，转动惯量与,l,无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是,mR,2,/2。,思考题:两均匀圆盘其厚度相同,且有,m,A,=m,B,及,A,B,试问:J,A,与J,B,哪个大?,R,A,R,B,J,A,J,B,4.关于J的两个定理,1).叠加定理:,若刚体由几部分组成,则对某一转轴的转动惯量等于各部分对该轴的转动惯量之和.,m,1,R,1,m,2,R,2,2).平行轴定理,若刚体绕通过质心的转轴的转动惯量为,J,C,则对另一与之平行且相距为,d,的转轴的转动惯量为,J,，且有：,JJ,C,md,2,。,C,d,m,J,C,J,平行,o,l/2,l/2,C,x,右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）,5.3 力矩 转动定律,一.力矩,改变刚体转动状态的力在其转动平面内,方向:由矢径r经小于的角转向F的右手螺旋方向.,讨论:1.力F在转动平面内,r的方向由转轴指向力的作用点,M沿轴的方向,;,2.力不在转动平面内,要将其分解成与平面平行及垂直的两个分量:,3.F通过转轴,M=0,z,O,i,r,i,f,i,F,it,F,i,二、转动定律,对,m,i,用牛顿第二定律：,切向分量式为：,F,it,+f,it,=,m,i,a,it,=,m,i,r,i,切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直,两边乘以,r,i,有：,F,it,r,i,+f,it,r,i,=,m,i,r,i,2,外力矩,内力矩,m,i,f,it,对所有质元的同样的式子求和：,F,it,r,i,+f,it,r,i,=,m,i,r,i,2,一对内力的力矩之和为零，所以有,F,it,r,i,=（,m,i,r,i,2,）,J,m,i,r,i,2,即,为刚体对于转轴的,转动惯量,用,M,表示,F,it,r,i,（,合外力矩,）,则有,f,ij,m,j,m,i,f,ji,r,o,r,j,r,i,O,i,Z,刚体定轴转动的转动定律:,刚体所受的对于,某一定轴,的合外力矩等于刚体,对此转轴,的转动惯量与其获得的角加速度的乘积.,MJ,与,地位相当,注意:1.合外力矩 M 即外力矩的代数和;,m,1,l,1,m,m,2,l,2,o,2.M、是瞬时关系,时时处处对应;,A,C,B,O,mg,mg,3.M、J、均相对同一转轴;,例.质量为,m,半径为,R,的滑轮两端悬挂质量分别为,m,1,、,m,2,的物体,设绳与滑轮间无相对滑动,求:系统的加速度及滑轮两端绳的张力?,T,1,m,2,m,1,R,m,T,2,a,解:受力分析,绳与滑轮无相对滑动,注意:1.涉及滑轮转动,滑轮两端绳的张力不相等,T,1,T,2,;,2.绳与滑轮无相对滑动,a,=,R,3.若滑轮受阻力矩,M,r,作用,则,4.注意暗含条件,不同,a,相同,相同,a,不同,思考题:1.比较,1,、,2,的大小?,F,P=F,2.质量为,m,长为,l,的直棒在摩擦系数为的平面内转动时,摩擦力矩?,m,l,5-4 力矩的功 刚体定轴转动的动能定理,一.力矩的功,力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积,x,O,r,v,F,P,dr,d,注意:力矩的功本质上仍是力的功,对于刚体,内力矩的功为零,.,二.刚体定轴转动的动能定理,合外力矩的功等于刚体转动动能的增量.,三.刚体的机械能守恒,1.势能:不太大的刚体,2.机械能:,3.刚体的机械能守恒:系统仅有保守力的作功,其机械能守恒.,C为质心,5-5,角动量 角动量守恒定律,一.角动量,1.质点对某点的角动量,O,注意:对某点的,L,要指明参考点O,O不同则,L,不同,2.质点对轴的角动量,质点在平面内运动,O,注意:定轴转动中,L,沿轴的方向,可简化成”+”-”表示方向.,思考题:1.质点以动量,mv,作半径为,r,的圆周运动,它对圆心的,L,=?,d,2,m,1,v,1,o,m,2,v,2,d,1,L=mvr,2.若以垂直向外为正向图中所示系统的,L,=?,L=m,1,v,1,d,1,-m,2,v,2,d,2,3.刚体对轴的角动量,刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：,r,i,m,i,v,i,定轴转动,L,与同向,刚体对固定转动轴的角动量,L,等于它对该轴的转动惯量,J,和角速度,的乘积。,4.质点+刚体系统的,L,d,m,1,l,o,m,2,v,二.质点角动量定理及角动量守恒定律,质点所受合外力的冲量矩等于其角动量的增量,1.质点的角动量定理,2.质点的角动量守恒定律,质点所受合外力矩等于零,则其对该点的角动量不变.,注意:1).,M,为合外力矩;,2).,M,、,L,均对同一参考点(转轴);,3).质点受有心力的作用,其,L,必守恒.,有心力:力的作用线通过给定点且力的大小依赖于质点与给定点的距离.,三.刚体角动量定理及角动量守恒定律,1.刚体角动量定理,2.刚体角动量守恒定律,刚体所受合外力的冲量矩等于其角动量的增量,刚体所受合外力矩为零,则其角动量守恒,注意:1).,L,=,J,=常量,J,、可变但乘积不变;,2).,M,、,L,、,均对同一转轴,M,为合外力矩,对同一参考系;,思考题;1.相对射入的两子弹,圆盘改变否?如何变?,m,v,m,v,2.做匀速直线运动的质点,角动量,是否一定为零?一定守恒?,做匀速圆周运动的质点的角动量是否一定守恒?,对直线外的任一点的角动量不为零,一定守恒.,做匀速圆周运动的质点相对圆心的角动量守恒,而对圆心以外的其它点的角动量不守恒.,3.光滑水平面有一静止的细杆,在其两端施加一对大小相等,方向相反的力,细杆运动中其动量是否守恒?对中心的角动量是否守恒?动能是否守恒?,F,F,O,动量守恒,角动量不守恒,动能不守恒.,4.均匀细杆可绕杆的一端其垂直于杆的水平轴无摩擦转动.若细杆竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细杆发生完全非弹性碰撞,在碰撞过程中球、杆组成的系统的动量是否守恒?对转轴的角动量是否守恒?机械能是否守恒?,动量不守恒,角动量守恒,机械能不守恒.,质点与刚体碰撞组成的系统一般情况下动量不守恒,而角动量守恒.,例1、如图所示,一质量为,m,的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度,。已知棒长为,l,质量为,M,.,解:以,f,代表棒对子弹的阻力,对子弹有:,子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：,v,0,v,m,M,l,系统的角动量守恒:,例2.长为,l,质量为,M,的均匀直杆在光滑水平面上可绕通过其中心且垂直水平面的竖直轴转动,质量为,m,的小球以,v,o,水平冲击杆的一端,发生弹性碰撞后小球的,v,=?,杆的=?,l,m,v,o,解:弹性碰撞,E,守恒,且,L,守恒,例3.长为,l,质量为,M,的均匀直杆一端悬挂并可绕其在竖直平面自由转动,杆从水平位置无初速落下,在竖直位置与质量为,m,的物体,A,发生非弹性碰撞,碰后在摩擦系数的水平面上,A,滑行,S,=?,A,解:下落过程中机械能守恒,碰撞过程角动量守恒,由动能定理:,第 6 章 机械振动,一、,振动的概念,二、,简谐振动方程,三、,旋转矢量,四、,简谐振动的速度、加速度,五、,简谐振动的的能量,六、,简谐振动实例,七、,阻尼振动,八、,受迫振动 共振,九、,简谐振动的叠加,一、振动的概念,振动,也称,振荡,。在力学中，振动是指物体围绕某个平衡位置作周期性往复的运动，又称,机械振动,。,广义的说，任何一个物理量在某一确定值附近的反复变化都可称为振动，如电磁振动，交流电中电流、电压的反复变化等。,一、振动的概念,物体作机械振动时，来回往复的运动轨迹，最简单的是一条直线，称为直线振动。在平面或空间的复来振动，都可以认为是由多个直线振动叠加而成的。,在直线振动中，最基本最常见的振动是,简谐振动,，任何复杂的振动，都可认为是由多个简谐振动合成的。,二、简谐振动方程,组成物质的分子、原子间的相互作用在很多情况下都可以用一个弹簧振子的振动来描述。,不考虑弹簧的质量和任何摩擦，弹簧振子的振动是一种典型的简谐振动。,1.,弹簧振子模型,胡克定律给出弹簧的恢复力,2.,简谐振动的动力学方程,m,x,O,由牛顿第二定律,二、简谐振动方程,令,是简谐振动的,动力学方程,，其解为,x,=Acos(t+,)或,x,=Asin(t+,),式中 A,为待定积分常量。,二、简谐振动方程,习惯上用余弦形式。,3.,简谐振动的定义,物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数的规律随时间变化，这种运动就叫,简谐振动,。,x,=Acos(t+,),或,x,=Asin(t+,),二、简谐振动方程,动力学角度,：若质点受的力与位移成正比，方向相反，则该质点的振动称为简谐振动。,4.,简谐振动的判据,二、简谐振动方程,运动学角度,：,若质点加速度与位移成正比，方向相反，则称为简谐振动。,a=,-,2,x,广义地讲，任何物理量的变化满足下面的微分,方程,都称为简谐振动。,三、,旋转矢量,图示法（,相量图,法）,简谐振动可以用一个旋转矢量来描述，有助于了解谐振动表达式中,A，,的物理意义。,质点,m,以角速度,做匀速圆周运动，其位矢 在,x,轴上的分量或投影为：,y,x,t,A,-,A,O,x,m,称为,振幅矢量,x,=A cos(t+,),A,振幅,：是质点离开平衡位置的最大幅度，即最大位移，它的大小表征振动的强弱。,描述简谐振动的三个特征量,x,=A cos(t+,),y,x,t,A,-,A,O,x,m,三、旋转矢量图示法（,相量图,法）,角速度,：又称圆频率，表征振幅矢量旋转的快慢，也即振动的快慢。,三、旋转矢量图示法（,相量图,法）,y,x,t,A,-,A,O,x,m,又称为系统的,固有角频率,在单位时间内完成完全振动的次数称为,频率,v,三、旋转矢量图示法（,相量图,法）,所以 是矢量 旋转一周，即质点完成一次完全振动所需的时间，称为,周期,T,又称为系统的,固有,周期,单位,v,的,为1/秒,(s,-1,)，,称为,赫兹,(,Hz,),的为 rad/s 或,s,-1,t+,相位,：决定了质点在,t,时刻的振动状态，,t=0,时的相位,称为,初相位,，简称,初相,。,三、旋转矢量图示法（,相量图,法）,y,x,t,A,-,A,O,x,m,单位,弧度(,rad,)。相位相差,2,整数倍时质点的振动状态相同。,x,=A cos(t+,+,2,k,),=A cos(t+,),三、旋转矢量图示法（,相量图,法）,相差,2,时，微分方程的解为,阻尼振动不是简谐振动，也不是严格的周期振动。,七、阻尼振动,x,t,0,即比振动系统的固有周期要长。,但仍可以定义周期,时间常量,欠阻尼振动振幅随时间指数式衰减,七、阻尼振动,x,t,0,振动能量,定义,作为阻尼振动的特征时间称为,时间常量,或鸣响时间。,品质因数,Q,定义为,鸣响时间内可能振动的次数的 2,倍,。,七、阻尼振动,品质因,数,即,Q,值越高，,振动的次数越多，,系统能量损失越慢，表示,振动,系统越“好”。在,阻尼不严重的情况下，可用振动,系统的,固有周期,和,固有角频率,计算。,例：,钢琴,Q,10,3,，激光器光学谐振腔,Q,10,7,2.,当,0,时的阻尼运动称为,过阻尼,运动。,x,不振动，需要很长的时间才能回到平衡位置。,七、阻尼振动,3.,当,0,=,时的阻尼运动称为,临界阻尼,运动。此时物体刚刚能做非周期性运动，最后回到平衡位置。,和过阻尼相比，临界阻尼这种非周期性运动回到平衡位置的时间最短。在实验中，例如天平、高灵敏电流计等仪器，控制在临界阻尼状态，指针或光标可以迅速、无振荡的达到平衡位置。,七、阻尼振动,八、受迫振动 共振,谐振子在周期性外力驱动下的振动称为,受迫振动,。外力提供的能量刚好弥补阻尼所消耗的能量时，系统达到稳定振动状态。,振动方程,方程通解,设驱动力为,H,cos,t,受迫振动,的振动频率与外力作用频率相同而与振动系统的固有频率无关。,暂态,，经一定时间后衰减为零。,八、受迫振动 共振,稳定的振动，称为,受迫振动,。,t,x,O,A,-A,八、受迫振动 共振,受迫振动,的振幅与位相,令,受迫振动的振幅 A 是驱动力频率的函数,八、受迫振动 共振,受迫振动的振幅,当驱动力频率,这种现象称为,共振,。,时，受迫振动的振幅 A 达到极大值,八、受迫振动 共振,小,0,大,0,A,共振时,与外力同相，驱动力对系统总作正功，形成共振。,振动速度,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,1940,年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年,7,月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁,一.同方向、同频率的简谐振动的合成,1.分振动:,x,1,=,A,1,cos(,t,+,1,),x,2,=,A,2,cos(,t,+,2,),2.合振动:,x,=,x,1,+,x,2,令：,九、简谐振动的叠加,合振动是简谐振动,其频率仍为,合矢量,A,将与矢量,A,1,与,A,2,一起以角速度,转动。,2,1,A,2,A,1,A,x,2,x,1,x,x,y,九、简谐振动的叠加,即在同一直线上两个同频简谐振动的合振动，仍是一个同频率的简谐振动,。,九、简谐振动的叠加,2,1,A,2,A,1,A,x,2,x,1,x,x,y,两个特例,A,A,2,A,1,t,x,九、简谐振动的叠加,k,=0，,1,，,2，,两分振动同相,合振幅最大。,问题：,A,1,=A,2,时，合振动情况如何？,A,A,1,-,A,2,t,x,九、简谐振动的叠加,k,=0，,1,，,2，,两分振动反相,合振幅最小。,九、简谐振动的叠加,2.,同一直线上,n,个同频率简谐振动的合成,九、简谐振动的叠加,在轴上的个同频率简谐振动合成的相量图,线性相加,用旋矢法求解,由图得,一般情况,特例,1）,主极大,2）,的倍数的整数,极小,3）,次极大,（多光束干涉的理论基础）,特例,1）,主极大,2）,的倍数的整数,极小,例：,三个同频率,同振幅,A,0,同方向的,SHV,相邻相位差为,/,3,求：合振幅,A,解：,画旋矢图,/3,/3,由图很容易得到,A,=2,A,0,或将已知条件代入公式,得出结果（请自解）,九、简谐振动的叠加,3.,同一直线上不同频率简谐振动的合成,时，随时间缓慢变化，其绝对值可以看作合振动的振幅，则合振动就是“,拍,”。,九、简谐振动的叠加,拍频,余弦函数的绝对值在一个周期内有两个最大值，故,九、简谐振动的叠加,t,t,t,三.垂直方向、同频率简谐振动的合成,1.,分振动,x,=,A,1,cos(,t,+,1,),y,=,A,2,cos(,t,+,2,),2.合运动,(1)合运动一般是在 2,A,1,(,x,向)、2,A,2,(,y,向)范围内的一个椭圆,椭圆的性质 (方位、长短轴、左右旋)在,A,1、,A,2,确定,之后,主要决定于,=,2,-,1,=5,/4,=3,/2,=7,/4,=0,=,=,/2,=3,/4,Q,=,/4,P,.,x,=,A,1,cos(,t,+,1,),y,=,A,2,cos(,t,+,2,),四.垂直方向不同频率简谐振动的合成,两分振动频率相差很小,=(,2,-,1,),t,+(,2,-,1,),可看作两频率相等而,2,-,1,随,缓慢变化合运动轨迹将按上页图,依次缓慢变化,轨迹称为李萨如图形,x,y,=3,2,2,=0,1,=,/4,y,x,A,1,A,2,o,-,A,2,-,A,1,两振动的频率成整数比,1.将质量为0.2kg的物体，系于倔强系数为k=19N/m的竖直悬挂的弹簧的下端，假定在弹簧不变形的位置将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动的频率为,振幅为,。,2.用40N的力拉一轻弹簧，可使其伸长20cm，此弹簧下应挂,kg的物体，才能使弹簧振子的周期T=0.2,s。,3.一倔强系数为k的弹簧，下端挂一质量为m的物体，系统的振动周期为T，若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期等于,。,4.一倔强系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，则振动系统的频率为,。,5.一物块悬挂在弹簧的下端作谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的,（设平衡位置处势能为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长,l,这一振动系统的周期为,。,6.一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示，其周期T=,，用余旋函数描述其初位相为,。,t (s),4,-,-2,2,x,（m）,6题图,7.已知两振动曲线如图，,x,1,比,x,2,相位超前,。,x,t,7题图,x,1,x,2,8题图,8.两个简谐振动曲线如图所示，则它们的振动 频率之比,1,：,2,=,。初始速度之比,v,10,:,v,20,=,。,9、一弹簧振子总能量为,E,，如果简谐振动的振幅增加为原来的2倍，重物质量增加为原来的4倍，则总能量变为原来的（）倍。A.2 B.4 C.1/2 D.1/4,10、一简谐振动的曲线如图所示，则该振动的周期为（）,A.10s B.11s C.12s D.13s,11、两个弹簧振子的周期都是0.4s，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5s后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两个振动的相位差为,。,x,12、一质点在,x,轴上作简谐振动，振幅为4cm，周期为2s，取平衡位置为坐标原点，若,t,=0时刻质点第一次通过,x,=-2cm处，且向负向运动，则质点第二次通过,x,=-2cm处的时刻为：,（A）1s （B）（2/3)s （C）（4/3）s（D）2s,13、两个同方向同频率的简谐振动，,(SI),其合振幅是,。,14.x,1,=0.05,cos,(10,t,+3,/,4)x,2,=0.06,cos,(10,t,+,/,4),求(1)x=？,(2)若有:x,3,=0.07,cos,(10,t,+,0,),若使x,1,+x,3,加强最大,0,=,？,若使x1+x3加强最大,0,=？,15.两个同频率、同振幅及同振动方向的简谐振动,它们的合振动的振幅与两个分振动的振幅相同,求两个分振动的相位差.,波动:振动在空间的传播过程.,常见的波有:机械波,电磁波,第十二章 机械波,一.机械波的形成,1.机械波 机械振动在弹性媒质中的传播.,如声波，波源：声带振动；媒质：空气,绳子上的波，波源：端点振动，媒质：绳子,1 机械波的形成和传播,2.产生条件 波源:作机械振动的物体.,弹性媒质:各质元间有弹性力的作用.,3.振动和波动的区别:,振动:质点在平衡位置附近振动,不作远距离传播.,波动:振动状态及能量状态的远距离传播.,振动速度:平衡位置附近往复运动的速度,(与振源有关),波动速度:振动状态的传播速度,(与媒质有关),4.波的分类,横波：质元的振动方向与波的传播方向垂直.,纵波：质元的振动方向与波的传播方向一致.,5.波速：振动状态,（相位）,在媒质中的传播速度,气体和液体,只能传播,纵波,，而,固体,既能传播,纵波,，也能传播,横波,，波速取决于媒质的密度和弹性模量.,横波,纵波,t,=0,0,4,8,16,20,12,t,=,T,/4,t,=,T,/2,t,=3,T,/4,t=T,6.波的传播过程（以横波为例）,结论：,(1)质元并未“,随波逐流,”波的传播不是媒质质元的传播,(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动,(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处,出现-波是振动状态（相位）的传播,(4)同相点（相位差2,）-质元的振动状态相同,二.波形曲线(波形图),不同时刻对应有不同的波形曲线,波形曲线能反映横波、纵波的位移情况,o,x,u,t,y,三.波线和波阵面,波线：沿着波的传播方向做一些带箭头的线，箭头的方向为波的传播方向。,球面波,平面波,波线,波面,波阵面（波前）：波在传播过程中，任一时刻媒质中各质元振动相位相同的点联成的面。,球面波的传播,四.波的特征量,1.波长,:两相邻同相点间的距离,2.波的频率,:,媒质质点(元)的振动频率即单位时间传过,媒质中某点的波的个数,3.波速,u,:单位时间波所传过的距离,五.波是相位的传播,沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。,x,a,b,x,u,传播方向,图中,b,点比,a,点的相位落后,一.平面简谐波,2 平面简谐波的波函数,1.定义:由波源作简谐振动所传播的,波阵面为平面,的波.,2.特点:1波场中各点都作简谐振动,且,波的频率=波源的频率=各点的振动频率,2无吸收的介质中,各点的振幅=波源的振幅,3.,表达方式:,任一时刻同一波面上各点有相同的位相,且偏离平衡位置的位移相同,与波面垂直的,任一波线上的传播规律即为波的传播规律.,y,x,o,u,x,p,一平面简谐波沿x方向传播,质元沿y方向振动,平面波的规律即确定波线上任一点p任一时刻的位移,y=f(x,t),已知O点的振动表达式为：,P,点,A,均与,O,点的相同,但相位落后,则P点的振动表达式,一维简谐波的波的表达式,波动是相位的传播,波动中的有关相位,、,初相,、,相位差的概念与振动中相应的概念具有相同的意义,只是波动不仅具有时间的周期性也具有空间的周期性.,二.,平面简谐波波函数,三.平面简谐波表达式的物理意义,1.若,x=x,0,(波线上的定点),2.若,t,=,t,0,3.若x,t都变化,波函数表示波线上各点不同时刻的位移分布,是振动状态传播的波形图.,X,0,处质点重复坐标原点O的谐振动，但相位比O点落后,Y仅是x的函数,此时波函数表示t,0,时刻波线上各个质元偏离各自的平衡位置的位移分布情况,即t,0,时刻的波形图。,X,0,点的振动方程,波动表达式的物理意义,4.波沿x负向传播,其中,x,=,u,t,y,(,x,+,x,t,+,t,)=,y,(,x,t,),o,x,u,t,y,t+t,5.波函数的其它形式,根据,=u,T =2=,2/T,6,.同一波线上两点之间相位差,x,a,b,x,u,传播方向,图中,b,点比,a,点的相位落后,例1.已知一平面简谐波的波动方程为y=Acos(bt-dx),（,b,d,为正的常数），则此波的频率为多少?波长为多少?,例2.一横波的波动方程为y=0.02sin2(100t-0.4x)(SI)，则振幅,、,波长,、,频率,、,波的传播速度,及,波源振动速度最大值各是多少?,例3.一平面波t=0,时刻的波形图如图,已知u=200m/s,求:,1)O,点的振动表达式?,2),波函数?,3),x=3m处p点的振动方程?,y(m),x(m),o,2 3,p,0.02,u,1.y,0,=0.02cos(100,t+,/2,)m,2.y=0.02cos100(t-x/200)+,/2,m,3.y,p,=0.02cos(100,t-,)m,例4.已知向左传播的平面波t=T/4时的波形图,求波函数?,y(m),x(m),o,2,-0.5,u=8m/s,y=0.5cos