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一元二次方程单元知识复习与总结
一、引例
瑞士的列昂纳德．欧拉（1707～1783），既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。如下题：“父亲临终时立下遗嘱，要按下列方式分配遗产：老大分得100克朗和剩下的； 老二分得200克朗和剩下的；老三分得300克朗和剩下的；……；以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？”毛
这道题需要列方程求解。
解析 设孩子数为x人，则最后一个孩子分得遗产为100x克朗,老大分得遗产[100+ (100x2-100)]克朗，得方程100+ (100x2-100)=100x.
同学们，你会解此方程吗？
整理方程得 x2-10x+9=0.
(x-9)(x-1)=0,
∴x1=9,x2=1(舍去).
遗产总数是8100克朗；有９个孩子，每个孩子分得的遗产是900克朗。
点评：
二、一元二次方程的解法
运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为０；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。
例１：用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)(2x-1)2-9=0; (2)x2+x-1=0; (3)x2-4x=1; (4)3x2-16x+5=0;
(5)(3x+2)2=4(x-3)2; (6)(y-1)2=2y(1-y); (7)3a2x2-abx-2b2=0(a≠0) (8)x2+2mx=(n+m)(n-m).
解析 (1)两边开平方，得 2x-1=3或2x-1=-3,∴ x1=2,x2=-1;
(2)已知：a=1,b=1,c=-1.∴ x1=,x2=;
(3)整理原方程，得 x2-4x-1=0,∴ (x-2)2=5.∴ x1=2+, x2=2-.
(4)原方程可化为(3x-1)(x-5)=0,∴ x1=,x2=5;
(5)两边开平方,得3x+2=2(x-3)或3x+2=-2(x-3),∴ x1=-8, x2=.
(6)原方程可化为(y-1)(3y-1)=0,∴ y1=1, y2=.
(7)原方程可化为(ax+b)(ax-b)=0,∴ x1=,x2=.
(8)原方程可化为(x+n+m)(x+m-n)=0,∴ x1=-n-m, x2=n-m.
点评
此题主要考虑怎样选择一元二次方程的解法，使运算达到最简便。
(1)由原方程得(2x-1)2=9,显然适合用直接开平方法，当然也可用因式分解法；
(2)由△＝５不是完全平方数，不适合用因式分解法， 因一次项系数不是偶数，也不适用配方法，本题适用公式法；
(3)因二次项系数为１，一次项系数为偶数故本题适用配方法；
(4)本题适用因式分解法（记住符号的选择）；
(5)本题可用因式分解法，也可用直接开平方法；
(6)把(y-1)看作一个整体，用因式分解法比较合适；
(7)注意到3=()2 ,即可用因式分解法；
(8)因二次项系数为１，一次项系数为２的倍数，故适用配方法； 因字母系数较简单，也可用因式分解法。
例２：解方程x4+(x-4)4=626.
解析 设=y 即y=x-2,则原方程可化为(y+2)4+(y-2)4=626,
化简,得y4+24y2- 297=0,则(y2-9)(y2+33)=0, ∴ y2-9=0.
则y1=3,y2=-3,∴x1=5,x2=-1.
点评:
此方程是一个高次方程,若展开(x-4)4不但解决不了问题,还使方程变得更无规律可循了,故此处可用“平均值换元法”.
例3：解方程2x4+3x3-16x2+3x+2=0.
解析 观察原方程可知x≠0,所以方程两边可同除以x2,得2x2+3x-16+=0,
∴ 2(x2+)+3(x+)-16=0
配方,得2(x+)2+3(x+)-20=0
设x+=y,则2y2+3y-20=0,
∴(2y-5)(y+4)=0.
∴y1=,y2=-4.
由x+=
解得x1=2,x2=;
由x+=-4,
解得x3=-2+,x4=-2-.
∴原方程的解为x1=2,x2=, x3=-2+,x4=-2-.
点评:
若对于一个方程(未知数为x),以代替x方程不变,则称为倒数方程,本题即是倒数方程,其系数特点是:与首末两项等距离的两项系数相等且x≠0,由此,可在方程两边同除以x2,然后配方成关于(x+)的一元二次方程,再利用换元法来解.
例4：九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是:解方程x4-6x2+5=0.这是一个一元四次方程,根据该方程的特点, 它的通常解法是:
设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2-6y+5=0. ①
解这个方程,得 y1=1,y2=5.
当y=1时,x2=1,x=±1;
当y=5时,x2=5,x=±.
故原方程有四个根.
x1=1,x2=-1,x3=,x4=-。
(1)填空:在由原方程得到方程①的过程中,利用______法达到降次的目的,体现了________的数学思想;
(2)解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.
解析 (1)换元,转化;
(2)设x2-x=y,原方程变为
y2-4y-12=0,∴y1=6,y2=-2.
当y=6时,x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2;
当y=-2时,x2-x+2=0,∵△<0,∴此方程无实根.
∴原方程的根为x1=3,x2=-2.
点评：
高次方程一般可通过换元的方法转化为低次方程, 较复杂的一元二次方程可通过整体代换的方法转化为较简单的一元二次方程(如本例2),这是一种重要的数学思想.
例5：当m为何值时,关于x的方程无实根?
解析 原方程可化为,
去分母,整理,得x2-x+2-m=0, ①
(1)把增根x=0代入①,得m=2,
把增根x=1代入①,得m=2;
(2)令△=(-1)2=4(2-m)<0,得m<,
综上所述,当m< 或m=2时,原方程无实根.
点评:
分式方程转变成一元二次方程时,根的范围扩大了,所以解分式方程时必须验根.若使分式方程无解,则有两种情况:①一元二次方程的解使分母为0; ②一元二次方程无解,即△<0.
例6：若关于x的方程只有一个解,试求k 的值与方程的解.
解析 原方程化简,得 kx2-3kx+2x-1=0.
当k=0时,原方程有唯一解x=;
当k≠0时,方程①的判别式
△=(3k-2)2+4k=5k2+4(k-1)2>0.
∴方程①总有2个不同的实数根,按题设原方程只有1个解,因此必有一根是原方程的增根,从原方程知道,增根只可能是使x2-x=0即x=0或x=1.
显然,0不是①的根,故x=1是方程①的根,代入①得k=, 由根与系数的关系得原方程的根为-=-2,
∴当k=0时,方程的解为x=2;
当k= 时,方程的解为x=-2.
点评:
本题首先想到化为整式方程,这个整式方程是含参系数的二次方程形式,应讨论,将分式方程化为整式方程时,常会出现增根,本题考点就在于此.
例7：设关于x的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2- 6k-4)x+k2=4的两根都是整数,求满足条件的所有实数k的值.
解析 原方程可化为(k-4)(k-2)x2+(2k2-6k-4)x+(k-2)(k+2)=0,
[(k-4)x+(k-2)][(k-2)x+(k+2)]=0.
∵(k-4)(k-2)≠0
∴x1=-=-1-,
x2=.
∴k-4=,k-2=,
消去k,得 x1·x2+3x1+2=0. ∴x1(x2+3)=-2.
由于x1,x2都是整数.
∴;;;
即;;.
∴k=6,3,.
经检验,k=6,3, 满足题意.
点评
本题方程整理成关于x的一元二次方程的一般形式后,二次项系数不为0 是隐含的条件,应考虑.将参数k用方程两根表示并最终消去参数k是解题的关键.

练习卷
1.解方程169x2-39x-2=0.

2.解关于x的方程3x2-2(a+2b)x+b2-a2=0.

3.解方程(x+2)4+(x-4)4=272.

4.解方程2x4+3x3-x2+3x+2=0.

6.解方程 .

7.当方程(m2+1)x2-(m+1)x-3=0的一个根为x=-1,则m的值为多少?

8.当时,求的值.

9.已知a是方程x2+x-=0的根,求的根.

10.已知方程(x-19)(x-97)=p有实根r1和r2,试求方程(x-r1)(x-r2)=-p的最小实根.

11.已知两个二次方程x2+ax+b=0,x2+cx+d=0有一个公共根1,求证:二次方程x2+=0也有一个根为1.

12.[x]表示不超过实数x的最大整数,令{x}=x-[x].
(1)找出一个实数x,使{x}+=1;
(2)证明:满足上述等式的x都不是有理数.

13.已知方程组
求.

A卷答案:
1.x1=,x2=.
2.x1=,x2=a+b.
提示:原方程可变形为3x2-4bx+b2=2ax+a2,
(2x-b)2=(x+a)2
∴2x-b=±(x+a),即有x1=,x2=a+b.
3.m=
4.
提示:去分母整理得a2+ab-b2=0,
∴
求得
当 时, ;
当 时, .
5.5 由已知a2+a=,则
6.19
∵r1、r2是一元二次方程(x-19)(x-97)=p的两个根,
∴(x-19)(x-97)-p=(x-r1)(x-r2)=0,
则(x-r1)(x-r2)+p=(x-19)(x-97)
可见,19、97为方程(x-r1)(x-r2)+p=0的两根,19为所求.
B卷答案:
1.略
2.0,2
提示:令 =x-1=y,原方程变为(y+3)4+(y-3)4=272,即得y=±1.
故x1=0,x2=2.
3.方程两边除以x2得2(x2+)+3(+x)-1=0
令x+=y,则有2y2+3y-5=0,∴y1=,y2=1.
求得x1=-2,x2=.
4.(1)设x=m+a,m为整数,0≤a<1,=n+b,n为整数,0≤b<1,则a+b=1,从而x+ =(m+a)+(n+b)=m+n+1,即满足(1)的x必使x+为整数;反之,若x+为整数,则a+b=1,即(1)成立.令x+=k,(k为整数)则x2-kx+1=0,故x=, ② 当│k│=2时,x= k=±1,不合题意.
当│k│≥3时,x=是满足题设条件的全体实数,如取k=3,则x= .
(2)下面证明形如②的数不是有理数,这只需证k2-4不是完全平方数,设k2-4=s2,其中s为正整数,则(k+s)(k-s)=4,而k+s与k-s的奇偶性相同,又它们的积为偶数, 故有 或.
解得k=±2,s=0,与│k│≥3矛盾.
故k2-4不是完全平方数.
5.设x1=y1,x1x2=y2,…,x1x2…=,则方程组化为

求得y1=y2=…=.
∴.
6.设y=,原方程变为xy(x+y)=42.
又∵xy+(x+y)==13,∴由韦达定理,xy,(x+y)是方程z2-13z+42=0的两根.
解得z1=6,z2=7.
即 或.故x1=1,x2=6,x3=3+,x4=3-.毛
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