泰勒公式证明必须看.doc

泰勒公式（提高班）
授课题目：
§3.3泰勒公式
教学目的与要求：
1.掌握函数在指定点的泰勒公式；
2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用.
教学重点与难点：
重点：几个常用函数的泰勒公式
难点：泰勒公式的证明
讲授内容：
对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。
在微分的应用中已经知道，当很小时，有如下的近似等式：
，．
这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子．显然．在处这些—次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值．
但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式．
于是提出如下的问题：设函数在含有的开区间内具有直到()阶导数，试找出一个关于()的次多项式
(1)
来近似表达，要求与之差是比高阶的无穷小，并给出误差的具体表达式．
下面我们来讨论这个问题．假设在处的函数值及它的直到阶导数在处的值依次与，，相等，即满足
，，
，，
按这些等式来确定多项式(1)的系数.为此，对（1）式求各阶导数，然后分别代人以上等式，得
，，， ，
即得 ，，，. (2)
将求得的系数代入（1）式，有
.
下面的定理表明，多项式(2)的确是所要找的次多项式．
定理1 （泰勒(Taylor)中值定理） 如果函数在含有的某个开区间()内具有直到()阶的导数，则当任一，有

, （3）
其中 ， （4）
这里是与之间的某个值．
证明 ．只需证明
(在与之间)．
由假设可知，在()内具有直到()阶导数，且

对两个函数及在以及为端点的区间上应用柯西中值定理(显然，这两个函数满足柯西中值定理的条件)，得
(在与之间)，
再对两个函数与在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，得

(在与之间)．
照此方法继续做下去，经过()次后．得
(在与之间，因而也在与之间)．
注意到 （因），则由上式得
（在与之间），
定理证毕．
多项式(2)称为函数按()的幂展开的次近似多项式，公式(3)称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式．而的表达式(4)称为拉格朗日型余项．
当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式：
(在与之间)．
因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．
出泰勒中值定理可知，以多项式近似表达函数时，其误差为．如果对于某个固定的，当时，，则有估计式：
（5）
及
由此可见，当时误差是比高阶的无穷小，即
．
这样，我们提出的问题完满地得到解决.
在不需要余项的精确表达式时，阶泰勒公式也可写成
(7)
的表达式（6）称为佩亚诺（Peano）型余项，公式（7）称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式.
在泰勒公式(3)中，，如果取，则在0与之间．因此可令，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓麦克劳林(Maclauri)公式 () （8）
在泰勒公式（7）中，如果取，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式
（9）
由（8）或（9）可得近似公式：
，
误差估计式（5）相应地变成
（10）
例1 写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式．
解 因为 ，
所以
把这些值代入公式(8)，并注意到便得
+ ()．
由这个公式可知，若把用它的次近似多项式表达为
，
这时所产生的误差为
（）.
如果取，则得无理数e的近似式为 ，
其误差
当时，可算出，其误差不超过．
例2 求的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式．
解 因为 ，，，
，，
所以
等等．它们顺序循环地取四个数0，1，0，一1，于是按公式(8)得(令)
，
其中 （）.
如果取m＝1，则得近似公式
这时误差为 （）
如果分别取2和3，则可得的3次和5次近似多项式
和 ，
其误差的绝对值依次不超过和．以上三个近似多项式及正弦函数的图形都画在图1中，以便于比较．
图1

类似地，还可以得到
，
其中 （）；
，
其中 （）；
，
其中 （）
由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，易知相应的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式。
除了洛必达法则之外，泰勒公式也是极限计算的重要方法。
例3 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限
解 由于分式的分母~，只需将分子中和分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示，即
，
于是 ，
对上式作运算时，把两个比高阶的无穷小的代数和记为，故

注 本例解法就是用泰勒公式求极限的方法，这种方法的关键是确定展开的函数(如本例中的和)及展开的阶数(如本例中的3阶)。
补充例题 设且.证明：.
证明

而在点处的一阶泰勒公式为
即，又由于，故.
小结与提问：
小结：泰勒公式提供了“判定函数极值的第二充分条件”的分析依据；提供了“利用二阶导数符号来判定函数曲线凹向”的分析依据；提供了近似计算的理论基础。
提问：1. 泰勒定理的余项有哪些形式?若是在点的 阶泰勒公式的余项，问下列等式是否成立?
(1)当固定时，；
(2)当固定时，．
2.函数的麦克劳林公式可以写成
（）吗?
课外作业：
1. 4. 7. 10. (1)

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