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给人改变未来的力量
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数学运算之浓度问题专题
十字交叉法是进行二组分混合物平均量与组分量的计算中常用的一种简便方法。凡是一般的二元一次方程组（Aa +Bb = c( A +B )关系式）的习题，均可用十字交叉法。
该法解题的关键是准确找出平均值。其解题原理为：
Aa＋Bb＝(A＋B)×c
整理变形后可得(a>c>b)
其中c为平均值
十字相乘法使用时要注意几点：
第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
浓度问题核心公式：浓度=
常用方法为：方程法 利用溶质相等或者浓度相等来构造等量关系
十字交叉法 混合问题的简便计算方法
分析猜答案法 深刻理解混合本质，分析题目猜出答案
【例1】甲杯中有浓度17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现在从甲，乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲，乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多少？
【解析】方程法：
利用浓度相等，我们可以构造方程
设：从甲乙两杯中分别取出x克，则
解出x，带入到方程的任何一边，可以求出现在两杯的浓度。
但是，解方程的过程是非常麻烦的，在行测考试当中我们最缺的就是时间，所以要快速准确解出答案，我们可以采用十字交叉法：
17% 2.4 400 2
X ：
23% 3.6 600 3
左面列纵向做差，23-17=6，把6按照2：3来分，分成1.4和4.4，则求出x=20.6%。
如果我们对混合本质理解的深刻，可以用分析法：
题中说从甲乙杯中取出相同的溶液，交叉导入另一杯中，则甲乙杯的溶液质量不变。而且最后两杯溶液浓度相等。所以题干的过程我们可以转化为：把甲乙杯中的溶液先倒入一个大杯中，混合均匀后，再倒入甲杯400克，乙杯600克。则
最后两杯的浓度为
可见，对题目和方法理解的不同，则计算的速度也会不同。
【例2】现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。若从甲中取2100克，乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3%；若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而成的消毒溶液的浓度为5%。则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为：
A.3% 6% B.3% 4% C.2% 6% D.4% 6%
【解析】首先可以根据溶质相等，构造方程。
方程法：
设甲、乙溶液的浓度分别为x、y。则，
2100x+700y=3%*（2100+700）
900x+2700y=5%*（900+700）
解二元一次方程组可以得到答案。但是可以看出解方程组比较麻烦，会用很多的时间。所以我们应该寻找更为简便的做法。
分析猜答案法：
题目中说一定量的甲溶液和一定量的乙溶液混合，得到3%的溶液，则可以说明，甲乙溶液浓度一种大于3%，一种小于3%，同理可得，甲乙溶液浓度一种大于5%，一种小于5%。综合得出甲乙溶液，一种大于5%，一种小于3%。从选项看出，答案为C。
通过对题目的简单分析，我们不需要计算便可以快速得到答案，这就是我们所追求的，也是命题专家想让我们运用的方法。
【例3】甲，乙两种含金样品熔成合金，如甲的重量是乙的一半，得到含金68%的合金；如甲的重量是乙的3.5倍，得到含金（62）%的合金。则乙的含金百分数为多少？
A.72% B.64% C.60% D.56%
【解析】我们采用分析猜答案法：
据题中“如甲的重量是乙的一半，得到含金68%的合金；如甲的重量是乙的3.5倍，得到含金（62）%的合金。”可以看出，乙的重量所占比例要是高，则合金的含金量高，乙的重量所占比例低，则合金的含金量低，由此可以判断出，乙的含金量大于甲的含金量。
又因为，有一块合金的含金量为68%，所以必定甲乙一个大于68%，一个小于68%。根据上一段的结论，则推出，乙的含金量一定大于68%，则只有A答案。
【例4】有甲乙两种糖水，甲含糖270克，含水30克。乙含糖400克，含水100克，现要得到浓度为82.5%的糖水100克，问每种应取多少克？
A 30 70 B 25 75 C 20 80 D 35 65
【解析】甲含糖90%，乙含糖80%
90 2.5-------1 ------25
82.5
80 7.5--------3 -----75
选B
【例5】（浙江2007年二类-19）浓度为70%的酒精浓液100克与浓度为20%的酒精浓液400克混合后得到的浓液的浓度是多少？（ ）
A、30% B、32% C、40% D、45%
答案：A
【解析1】100克70%的酒精浓液中含有酒精：100*70%=70克
400克20%的酒精浓液中含有酒精：400*20%=80克
混合合后酒精浓液中含有的酒精量：70+80=150克
混合后酒精浓液的总重量为：100+400=500克
混合后酒精浓液的浓度为：150/500*100%=30%
【解析2】用十字相乘法解决：设混合后浓液的浓度为：X%
溶液1：70 X-20 100
X
浓液2：20 70-X 400
因此：X-20/70-X=100/400 推出X=30
【例6】（浙江2005-19）甲容器中有浓度为4%的盐水250克，乙容器中某种浓度的盐水若干克，现从乙中取250克盐水，放入甲容器中混合成浓度为8%的盐水，问乙容器中的盐水浓度是多少？（ ）
A、9.87% B、10。14% C、9.33% D、11.27%
答案：A
【解析1】甲容器中盐水浓度中含盐量=250*4%=10克
混合后的盐水浓液的总重量=250+750=1000克
混合后的盐水浓液中含盐量=1000*8%=80克
乙容器中盐水浓液的含盐量=80-10=70克
乙容器中盐水溶液的浓度为=70/750*100=9.33%
【解析2】用十字相乘法做，假设乙容器中盐水的浓度为：X%
甲：4 X-8 250
8
乙：X 4 750
因此：X-8/4=250/750 X=9.33
【例7】（江苏2006C-15）把浓度为20%、30%和50%的某溶液混合在一起，得到浓度为36%的浓液50升，已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的浓液用量的2倍，浓度为30%的溶液用量是多少升（ ）
A、18 B、8 C、10 D、20
答案：D
【解析1】假设20%浓度的浓液X升，50%浓度的浓液Y升，则30%浓度的浓液2X升
X+2X+Y=50
20%X+30%*2X+50%Y=36%*50
推出 X=10，Y=20 所以2X=20
【解析2】用十字相乘法计算，假设2%的溶液为L升，则30%的溶液为2L升，先将20%和30%的酒精混合，混合后的浓度为20%*L+30%*2L/L+2L=4/15
设50%浓度的溶液为Y升
溶液1：4/15 7/50 50-Y
36%
溶液2：50% 7/75 Y
因此7/50/7/75=3/2=50-Y/Y，推出Y=20
【例8】（浙江2004-24）从装有100克浓度为10%的盐水瓶中倒出10克盐水后，再向瓶中倒入10克清水。这样算一次操作，照这样进行下去，第三次操作完成后，瓶中盐水的浓度为（ ）
A7% B7.12% C7.22% D7.29%
答案：D
【解析】每次操作从100克盐水中倒出10克盐水，剩余90克即剩余90%，每次操作后浓液中剩余溶质为原来的90%，又都稀释到100克，浓度为操作前浓度的90%，三次操作后浓度为10%*90%*90%*90%=7.29%
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