二阶项潮流算法译文.doc

直角坐标系中基于带二阶项的快速精确潮流算法
P.S. Nagendra Rao K.S. Prakasa Rao J. Nanda
Department of Electrical Engineering and
Centre of Energy Studies
Indian Institute of Technology
New Delhi 110 016, INDIA

摘要：这个论文描述的是一个改进的直角坐标系中带二阶项的潮流算法，从运算的速度和存储这两个方面来说它明显优于已经存在的二阶算法。而且这个推荐的算法的存储要求与快速解耦潮流算法相比，新的算法将会更加快速，因为在系统中快速解耦需要经过一系列的迭代才能使之收敛。这个推荐的算法具有相当高的可靠性，而且在系统中快速解耦算法不能使用的情况下它都能给出解决方案。另外，它也提供了一个解决发电机结点Q极限违背的新奇的步骤。

相关符号
Gpq-jBpq 组成Y节点（P和Q）阶的元素不包括分流元素。
gp-jbp 节点P的总并联导纳
ep+jfp 节点p的复电压
cp+jdp 节点p的复电流
∆ep+j∆fp 节点p的电压校正
pp(Sh) -jQp(sh) 节点p的预设的注入复功率
│E│p（sh） 节点p的预设的电压等级
Pp-jQp 计算p结点的注入复功率

es1+j0 平衡节点的电压
[Psh Qsh │E2│sh]t 预设数量的向量
[P’ Q’ │E’│2]t 上述向量校正
[PO QO│EO│2]t 初步估计对应的向量

[∆f ∆ePQ ∆ePV ]t 二阶项的向量
[SP SQ SV]t 二阶项的向量

[RP RQ RV]t 矢量残留

在所有已定义的上述六个式子，每个部分又是一个向量的。第一部分有一个向量为（M+ K）的形式，第二个有M的形式，第三个有K的形式，其中M是PQ节点，K是PV节点。
n = a + k + 1 系统中的总结点
sl 平衡节点指数

简介

潮流研究是电力系统规划和运行的重要组成部分。尽管在过去的二十年已经提出了很多的方法，但潮流问题仍然是一个热门问题。在众多提出的方法中，高斯法和牛顿法是应用最广泛的。然而，近年来快速解耦算法，因为其速度快和低内存需求越来越受到欢迎。众所周知，高斯算法不合适大型和故障系统。而牛顿算法，虽然这对于大多数系统准确可靠，但却不是很快。此外，它也涉及到相当复杂的编程。快速解耦算法的发展是通过在牛顿模式引入一些近似的东西，尽管一般被认为是非常有效的，但是却有与大A/ X的比值线性系统较差的衔接的缺点。

一种关于二阶的算法被提出来了，从而得到了更准确的模型，这个模型只需要考虑潮流方程的前三项的泰勒展开式。但是，在极坐标的模式被改进的情况下，而且这还涉及到忽略所有的更高的级数展开式。另外，与牛顿算法快速解耦算法相比，这种方法无论是从存储还是要求这个方面来都看不提供任何优势。

岩本和田村提出了在直角坐标中使用的二阶算法，这个算法使泰勒级数的任何展开式都不需要被忽略。此外，与牛顿算法相比，二阶算法的计算时间大大减少。罗伊表明，通过选用特殊的起点和智能逼近的方法二阶算法的进一步改进是有可能的。从计算时间和储存方面来看，二阶算法明显要优于快速解耦算法，因此不可避免带来激烈的讨论，尽管二阶算法就现在来说还不一定优于快速解耦算法。

现在工作的主要目标是建立一个比快速解耦算法更可靠的高效的潮流算法。对于这种算法的需要是存在的，因为就我们调查（在此论文发述的），对已经存在的快速解耦算法用于大的R/ X的比值系统有更差的收敛性。此外，还发现该系列电容在一个系统中存在的分支部分也可能导致快速解耦算法失败或收敛速度慢。可以这样来推测，快速解耦算法在这个系统（故障系统）可靠性差的原因，归咎于在建立快速解耦算法模型时所作的近似。我们调查就是，我们需要集中围绕审慎地建立一种精确的模型，以至于新模型也会有更小的时间和内存要求。因此，在本文的第二个订单前置模型在矩形坐标中选定为基本模式。但是，这表明它会在减少时间方面和减小储存要求方面一样，同样有取得成功的可能。与其他的二阶算法相比，这种方法只是对已有的算法做简单的但非常有意义的改进。

从所显示的结果中，可以很容易地看到，该算法对记忆的要求和快速解耦算法是一样的。此外，通过快速解耦算法计算障状态系统需要经过大量的迭代才能收敛，该方法将明显快于快速解耦算法。此外，事实上，该方法具有很高的可靠性，并提供了快速解耦算法计算故障状态系统失败时的解决方案，这是很明显的。

此外，本文提出了一种新技术，提出了处理PV节点的Q极限违背的问题。已存在的方法强迫PV节点的Q收敛，通常导致整个方法的有效性还原。因此，为这个问题的处理提出了新的方法，可以有效地保证不重新排序和电压的准确计算，就算当Q极限发散时也可以修正雅克比。

提供的模型 潮流方程

潮流问题本质上包含解决同步非线性代数方程组，通过注入功率以确定所有系统节点上的电压。在直角坐标中所建立的潮流方程给出如下：

Pp=∑ep(eq Gpq+fq Bpq)+ fp(fq Gpq-eq Bpq)(1)

Qp=∑ fp(eq Gpq+fq Bpq)-ep(fq Gpq-eq Bpq)(2)

|E|2p = e2p + e2p (3)

在潮流计算中两个方程i.e. p，Q 或者P 还有│E│除了在平衡节点外每个节点都要使用。

PQ节点
与设定电压有关的PQ等式（1）（2）的泰勒展开式给出如下，

Pp(sh)=Pop+∑()

方程（20）和（21）代表了本文最重要的结果之一。这些方程的意义完全可以得到赞赏，每个二阶项计算减少到两个乘法和一次加法，而不论系统的大小，而在涉及到确定二阶项的大量计算时，二阶算法和罗伊算法使用式子（16）和（17），
相当于牛顿算法中复杂的P和Q迭代计算，因此非常耗时。此外，很容易看到，（20）和（21）中的Y-节点元素不是该算法计算二阶的必要条件，
而在二阶算法和罗伊算法中Y-节点元素需要被存储才能进行二阶计算。因此，由于这方面对于所提到到算法将大大节约内存需求。

3

PV节点
该方法以及另外两种方法的运用有如下显著的差别：
1本文所推荐的方法选用的起点是（es1+j0），而在罗伊算法中使用的起点是（1+j0）.

2当所有的分流元素被当作负载处理时，这个方法中的雅克比将会自动实现对称。把所有的分流元素当作负载处理是一个成功的和众所周知的做法，尤其是在关于Z-节点的潮流计算中。而在罗伊算法中，这种对称是通过在模型中引入了一些近似而实现的。如果在方程（32）右侧的△e-s需要被当作零或在近似的意义不明确的情况下，这种近似在第一次迭代时将会有很重大的意义。

3该算法的雅克比元素只包含Y-节点元素，但在罗伊算法中，，除了Y_节点元素，J1， J3和J4的对角线上还含有C或D项。

4 该方法所使用的方程组的顺序自动保证对角线占满，因为可以得到系数表所以其他的技术就不必要使用了。但是使用罗伊算法时，从式子（32）可以看出对角元素不是为0就是非常小，因此为了处理雅克比其他的转换技术就不得不使用了。可以很有趣地看到Iwamoto和 tamure放弃使用1+j0作为初始估计就是因为这个原因。

5就因为计算二阶而建立的极其简单的式子（20）和（21）来看，该方法与罗伊的方法相比，每次迭代都节省了大量的计算。必须指出的是，在罗伊的算法中（也包括二阶算法）二阶项的计算需要使用式子（16）和（17），这个计算的作用完全等同于在牛顿迭代中获得P和Q不匹配所需要的计算。

6在所给的方法中二阶项的计算可以用式子（20）和（21），连接到PV节点的分支导纳（为了计算PQ和PV节点）只需要在迭代的过程得到保留。它的结果就是使二阶算法与罗伊算法相比将会相当大地减小存储的要求，在罗伊算法中，，为了计算二阶项所有的分支导纳都必须存储起来。

这个阶段，必须指出的是，之所以选取（es1+j0）作为初始估计其中一个原因就是因为最大的初始功率补偿将等于最大的注入功率。但是，通过简单地选择（1+j0）作为PQ节点和PV节点的起始点并且平衡节点有特殊的作用，最大初始补偿功率在某些系统中可能比最大注入功率高。考虑到最大补偿在任何时候是解决问题很好的措施，并且由于有关解决方案的初始条件的缺乏，（es1+j0）可能被视为最好的选择，可以使在任何系统中的最高补偿不超过最大节点初始注入功率。
同样需要在这儿指出的是不需要将PQ和PV节点集合在一起，也不需要排列方程的顺序来使关于∆e的方程出现在关于∆f的方程之后，节点的编号是任意的，并且一个PV节点的∆e和∆f方程被认为是连续的。
唯一必须采取的措施就是在编码这个方法时确保雅克比的对角线不会因为选择变量次序的错误而受到影响。

测试收敛
在二阶算法中，收敛性的测试是通过考虑电压连续迭代之间的最大的区别。但是，检测收敛性最有效的方法就是检查P和Q的最大补偿是否在允许的范围内。但是，节点功率补偿在提出的算法中并没有准确计算出来，节点补偿功率依旧可以各自检测出来。这是通过比较二阶连续迭代之间的差异实现的。它可以很容易证明的连续迭代。它可以很容易地证明，在迭代结束时，在一个迭代中的二阶项的变化是和P和Q补偿相同的。

算法

该算法以获取未经调整的潮流解决方案，包括以下步骤，

1如果有估计方案比（es1+j0）更好，计算二阶项就使用（16），（17）和（25），否则假定所有的二阶项等于零。
2在一个紧凑的形式雅可比中形成（200+ K）×（200+ K）对称的部分。构建和存储三角因子使用相关的因子分解技术。
3计算矢量残留[RP RQ RV]t的方法有
（一）计算[P’ Q’ │E’│2]t 使用式子（6），（7）和（27）。
（二）减去上述向量的二阶项矢量。
4通过求解（30）计算更正，正如前一节所述的。
5。计算PQ和PV节点使用式子(19)
6计算二阶项使用（20），（21）和（25）以及检查收敛。如果成功继续第7步，如果不是则使用第3步。
7计算线流并输出结果。

调整方案

常规潮流的解决方案，最常见的调整有载变压器分接头，还有移相器，面积交汇和发电机Q限制。该算法从快速迭代时间和可靠收敛来看，推荐行之有效的常规调整方案（误差反馈计划）调整本相接头，相位转换和区交换的调整。但是，一个提出的新方法解决了发电机Q极限的问题。为了代表有载调压变压器，必须选择一个合适的模型，只有这样（注入节点）当分接头位置改变时，分流元素受到影响而雅可比不受影响。该算法提出的用移相器产生移相的效果是通过节点注入技术实现的，为了要利用雅可比对称优势，因此在移相器做调整的时候雅可比保持不变。据推测，尽管这些控制把梯度（雅可比）排除在注入点之外，它们也不存在任何困难，即使最后的解决办法是远离了梯度计算的初始点。这种看法是基于在[3]，如已提及的是，在调整相变压器抽头时快速解耦算法的收敛速度受反映变压器B“矩阵等效电路参数的影响甚微。由于在提出的方法中假设分流因素为负载丝毫不逊色于在快速解耦算法调整过程中使用一个常数B，
我们认为该方法的收敛性至少和快速解耦算法一样好。然而，需要进一步的研究来做出更强有力的证明。

发电机Q极限
一旦潮流的解决方案适度的融合，在PV节点的任何无功功率极限都应予以纠正。在其余的解决方案中，该节点仍然是PQ的形式，除非在某个阶段在没有Q极限的情况下它可以根据预设的电压大小重新转化成PV的形式。这种处理Q超限的方法是众所周知的并且得到了广泛的应用。但是，到目前为止，这种方法的一个主要的缺点就是，尤其是在雅可比潮流算法不管是那种发电机模式都必须在每次迭代过程中用来收敛雅克比的时候，不管是从Q极限还是回避的方面看它都需要改变。在提出的方法中，这个巨大的障碍出现在常数矩阵潮流的方法中，已经通过如下一种改进的新的数值方法克服。
因为PV违背节点的存在，当面临这个问题的时候通过解决（33）给出的线性方程组。

这里的J1的大小与J2相比是非常大的，并且J1的三角因素是知道的。这个问题基本上是不全部三角化系数矩阵而来计算 [X1 X2]。在目前的问题中，J1的大小是（2m + K），而J2的大小是通过PV违背节点的数目来确定的。PV非违背节点的电压方程在式子（33）中并没有表现出来，因为与该节点有关的∆e可以直接计算出来，并且它被认为（33）的右边经过适当的修改可以计算与PV非违背节点相关的列项。（33）式子的两边都乘以[J1-1 I2]，其中I2是一个适当大小的单位矩阵，我们有

这是必须指出，J4的是极其疏松的而J1-1 J3是一个完整的矩阵。消除（34）中J4的非零元素我们有

涉及到计算（33）式中[X1 X2]t的任何迭代中两种可能的情形的步骤给出如下：

  案例（一）在迭代过程中没有新的侵犯或者回代。
1计算y1'= J1-1 y1时使用J1的因素。
2修改y2到y2'使用J4和y1'的非零元素。
3计算x2 = J2-1 y2'时使用J2'（这已经在早期迭代中计算出来了）和y2'的LDU因素。
4计算x1= y1' - J1-1 J3 x2。

案例（二）在迭代过程中有新的侵犯或者回代

1在这种情况中，计算相应的列或J1-1 J3使用因素或J1和J3的新列。
2计算y1' - J1-1 y1使用因素或J1。
3通过消除J4中的非零元素整理和修改J2并且将y2转化成J2'和y2'。
4计算J2'的LDU因素，并计算x2 = J2'-1 y2'。如果没有新的违反或回代遇到，就保留J2'的因素，因为在下一次迭代中可能使用。
5计算x1= y1' - J1-1 J3 x2。
因此，可以看到，这个方法不需要任何近似就可以把电压校正非常有效地计算出。而唯一给计算机增加的额外负担就是存储J1-1 J3的列所需的内存要求。因为，电压违背节点的数目一般相当小，这项要求对任何现代计算机来说并非很大。此外，如果核心内存非常宝贵，可以通过采用并行传输来解决这个问题。也许还应该指出，这种技术同样可以用来处理任何常数矩阵潮流法中发电机Q极限。
系统研究
一般的测试系统

通过该方法已经对简单的系统进行了研究，其性能与快速解耦算法进行了比较。这里没有必要比较二阶算法和罗伊算法的收敛行为。这些模型在数学上是相同的，因此具有相同的收敛特性。在提到的算法所作的研究中将全部的节点电压假设为（es1+j0），而快速解耦算法将全部节点的初始电压设定为（1+j0）并将PV节点设定特殊电压。表一给了提出的算法和快速解耦算法收敛时所需要的迭代次数的比较。0.01MW/Mvar的收敛标准是不匹配的。

表一

收敛所需要的迭代次数（上述提到的算法）

如下的方法可以检验表一的结果。
1因为在IEEE系统中提到的算法和快速解耦算法相比迭代次数明显要少一些。这个系统具有大的R / X比值（大于1）。因此，所提到的算法在故障系统中的出现显得众望所归。更详细的结果其后被展示出来，为了深入探讨，需要研究所提出方法在处理不同故障系统时的成效。
2在表一的其他的两个系统中，从收敛所需的迭代次数这个方面来看，快速解耦算法与所提到的算法相比有一定的优势。
3。根据[3]可以看出，对于14到30个节点的系统，快速解耦算法收敛所需的迭代次数为4次，对于57个节点的系统需要的次数为4.5。正如前面提到的，这些系统的R / X比率比1要大一些。我们的工作表明，对于14到30个节点的系统，快速解耦算法所需的迭代次数为20.5和13.5次。我们同样可以观察到，当电阻的R / X比率比从1大减少到0的时候，那么这两个系统的解决方案所需的迭代次数可以减少到8至7次。在有57个节点系统的情况下，通过把电阻的行数从45减少到0我们可以在15.5次迭代之后就成功地实现收敛。即使这样，在为该系统假定的式子[3]中负载情况并不知道，在[3]中给出的如此少的迭代次数中成功实现收敛好像是遥不可及的事情，尤其是当得知（在[3] [5] [11]中已经讨论过了）快速解耦算法在R / X比率大于1的系统中表现较差的时候。

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故障系统
在如下的故障系统中，对提出的算法的可靠性做了测试并和快速解耦算法做了比较。
a）系统符合不同R/ X(= G/8)比率的。
b）系统具有系列电容分支结构的。

类型（a）：研究R/X比率效果的测试案例产生于5，14,26和30个节点的系统，通过保持假定的部分不变并提高真实部分所有准入步骤50%就可以办到。这个结果在表二中做了总结，通过细读表二可以看出对于所有研究的系统，当R/X比率从原始的增加到3.5倍的时候，提出的方法的收敛特性仍然没有改变。但是，这个结果清晰的表明快速解耦算法的收敛特性的R/X比率轻易地就升高了。

对于5个节点的系统，所有的行的R/X比率都为1/3，对应有2,3,4种情形快速解耦算法所需要的迭代次数分别为8.5,14.5和35次，尽管对于这些情形来说所有的R/X比率都比1少。同样对于26个节点的系统，当没有一行的R/X比率比1大的时候，2,3这两种情形快速解耦算法的收敛将会非常地慢。对于所有研究的系统来说，当只有少数R/X比率超过1的时候快速解耦算法不能收敛也就不能解决问题。因此，从研究的简单的系统中可以很容易地看到，在这种故障系统中，提出的算法要远远优于快速解耦算法，在这儿必须指出的是当系统涉及到分布网络的时候，拥有大的R/X比率的行将会非常普遍，所提出的算法将会很快地获得潮流解决方案，与此同时，快速解耦算法可能并不能解决这样的系统。

类型（b）：研究系列电容分支效果的测试方案同样也产生于5，14，26，和30个节点的系统。通过考虑每个系统的所有的行一样也考虑一些测试方案，从而所有系统都做了比较严格的研究了。例如，对于有7行的5节点系统，通过一次性的将感抗转化为等值的容抗，7个测试点就随之产生了。

表三给出了5个节点系统的研究结果。因为通过一系列合理的迭代，提出的方法对所有的测试点都提供了一个解决方案。而快速解耦算法在3情形就失败了。另外，在4个情况中的2个情形中，快速解耦算法需要多次的迭代才能收敛，才能提出一个比较成功的解决办法。

一个需要在这儿说明的重要的一个方面就是在快速解耦算法失败的3种情况中，失败的原因并不是因为所介绍的系列电容分支的对角线不占优。在所有的情形中（甚至有一些分支有容抗），Y节点的的对角线元素还是非对角线元素的G/B比率都小于1。因此，失败的机制看来完全归咎于同类型（a）相比完全不同的特点。

14，26，30节点系统失败的原因和5节点系统相似。但是，在这些系统中，可以发现有些情形没有潮流解决方案。我们得到这个结论是因为对于有些情形，用提出的算法和快速解耦算法都不能给出解决方案。表四给出了在带有系列电容分支系统中两种方法可靠性的比较。正如之前表述的一样，用快速解耦算法的时候，这种类型的故障系统有时候收敛非常慢。一些其他的结果在表五给出了。

在35次迭代后停止。

从表四和表五可以很容易地看出，快速解耦算法并不适合带电容分支的系统。在所有研究的系统中78种情形中它有25种无法做到收敛。另外，在一些情况下，尽管她收敛，需要迭代的次数也会特别的多。从另外一方面看，所提到的算法总是在合理的迭代次数之内就给出解决方案，并且这清楚地说明了这个方法的高可靠性和稳定性。

发电机Q极限

可以很容易地看出提出的方法也可以解决Q极限的问题，保留节点类型的收敛行为就可以更有效地计算了。但是，为了寻求完整性，对于14和30节点的系统一些调整方案（发电机Q极限的情况下）的结果已经给出了。对于这些情况，发电机的Q极限的检测只在第四次迭代时开始。对于14节点的系统所有的变压器转换率都比较低，有2个节点在原始收敛后就偏离极限6%到8%。通过再多5次以上的迭代就获得了最后的解决方案（0.01MW/Mvar的误差）。对于30个节点的系统只有一个节点偏离初始值6%，最后的解决方案是通过增加4次迭代后获得的。

讨论
任何潮流算法的重要性取决于它的可靠性程度，收敛特点，总共的解决时间，和存储要求。这些反方面所提出的算法和已经存在的算法之间都进行了比较。

可靠性和收敛特点
所提到的算法和罗伊算法在数学上是相同的。因此，对于任意给定的系统来说，这些方法展现出同样的收敛特点。杜兰在他的[5]式中的讨论表明，二阶算法和和牛顿算法在初始估计中猪油相同的雅克比评价。因此，提出的算法证实是一个拥有稳定几何收敛特征的固定的切线算法。萨奇德和麦地撤拉比较支持使用在经过一定的雅克比迭代之后使用该进的雅克比这样的混合的方法。他们的理由是这个方法自动在每个变量中建立二次等式，并且二阶算法每次迭代所需的时间并不比牛顿拉夫逊算法短。但是，作者的[5]式能正确的闭合说明这个并不是大规模潮流算法的典型老子，并且尽管是他们的算法，但是在经过一系列的迭代后改进雅克比也并不是一个多么吸引人的提议。充分的用来获得潮流解决方案的固定圆切线算法已经被斯托特清晰地建立了。由于所提到的算法的收敛特点并不是二次的，所以在解决问题的前提下它比传统的牛顿拉夫逊算法所需要的迭代次数少。但是，与牛顿拉夫逊算法相比，所提出的算法每次迭代的时间要少并不是一个缺点。
我们来简述一下我们看待快速解耦算法收敛性的进一步研究并不显得如何出位。这个研究被在分析框架工作时需要建立低可靠性的快速解耦算法（对于一定类型的系统）所激发的。一个涉及到关于快速解耦算法的特征值分析的简单方法建立起来了。使用这个方法我们可以解释和预测在任意给定系统中快速解耦算法的成功与否和收敛快慢。这个调查的结果将会单独刊出。但是，必须指出的是，在前面章节所有描述的情形快速解耦算法能够做到的使用这个新的技术同样可以做到。

可以清晰地看到的是，对于大的R/X比值和系列电容分支系统，所提出的算法比快速解耦算法更加的可靠。这个方法的高可靠性要归功于在发展这个方法时没有做近似处理。
求解时间
没有一般的声明来比较提出的方法和快速解耦算法的速度。我们没有可能去获得大系统的数据，另外，尽管有些系统的解决方案已经获得了，但是我们不可能给出准确的计算时间，因为我们没有能力去记录CPU的时间。但是，鉴于潮流算法所能接受的时间需求非常的重要，比较提出的算法和其他的已知的算法之间的属性非常有必要。下面关于提出的算法和已知的算法之间时间要求的评估主要依据涉及到这些算法的实际计算，也依据于在这些领域优秀工作者的意见。

斯托特博士在[5]中的讨论已经估计了二阶算法比牛顿拉夫逊算法要快2到2.5倍。这个估计也同样被罗伊在[6]中证实了，他发现在有100个到1000个节点的实际系统中，二阶算法比牛顿拉夫逊算法要节约大致50%带65%的时间。比较两种方法所需的时间要求非常地直截了当，因为两种方法有相同的收敛特点并且两种方法涉及到的矩阵有相同的大小。在提出的算法第一次迭代中，计算[Po Qo]所需的时间比二阶算法所需的时间要少。再接下来的迭代中，从涉及到二阶的大量琐碎的计算这个角度来看，提出的算法所需的时间将会大大减少，因此，提出的算法至少比二阶算法快百分之四十到六十。提出的算法比罗伊算法明显要快很多，与罗伊算法相比，在计算二阶项时每次迭代的时间非常的短。

从罗伊[6]中可以看出来，只有利用雅克比的对称性对于大的系统，二阶算法可以节约一半的时间。从所提出的算法比罗伊算法快这个角度出发，我们估计的提出的算法在节约时间方面是非常现实的。因此，我们可以追求所提出的算法将会比牛顿拉夫逊算法快70%到80%（注意罗伊算法自己声称的速度优势在[6]中给出）。

对于比较提出的算法和快速解耦算法的时间需求，斯托特博士给出的估计可以用到。斯托特在[5]中的讨论估计快速解耦算法每次迭代需要的时间比二级算法要少40%到45%。可以放心地认为这个估计对所提到的算法也很有效。另外，可以这样认为，在快速解耦算法中每次迭代有必要计算ＰＱ不匹配，但是这样的话很花费时间。因此，在提到的算法中计算这部分的努力也被淘汰，我们可以看到快速解耦算法每次迭代需要的时间要比提出的算法多很多。但是，我们关注的是解决问题的总时间的比较，这有３个因素决定：每次迭代的时间，需要迭代的数目，计算与算法非迭代部分所需要的时间。提出的算法计算非迭代所需要的时间由获得对称的雅克比矩阵表的时间决定。而在快速解耦算法中，这由获得两个更小矩阵所需要的时间决定。与提出的算法相比，快速解耦算法计算这部分所需要的时间要少一些。因此，考虑到在一个系统中，快速解耦算法和提出的方法比较收敛所需要的迭代次数的话，并不能预测提供解决方案哪个方法要快一些。但是，考虑到与提出的算法相比快速解耦算法收敛时所需要的迭代次数非常多，因此我们可以下结论，对于这样的系统提出的算法的确比快速解耦算法要快得多。

存储要求
提出的方法主要的存储要求就是要存储雅克比矩阵和ＰＶ节点有关的行。这些要求比二阶算法的要求要少，也比罗伊算法绝对地少。快速解耦算法参入比较的话，需要存储空间去装下两个比较小的矩阵（因子Ｂ＇和Ｂ＇＇）还有Ｙ节点的非零元素。表六给出了一些系统中快速解耦算法和提出的算法所主要需要的存储要求（不管需要标记和存储的非零的量）的比较。从表六我们可以很容易地看出，提出的算法和快速解耦算法所需要的存储要求在同一序列。

为了在得到收敛后计算行潮流，分支导纳列表不得不从存储中重新检索。

结论
一个新的在直角坐标系中带二阶项的潮流算法被表述出来了。这个方法比已经存在的二阶算法要快并且需要的存储空间也小。这个方法所需的存储空间可以和快速潮流算法相比。在很多故障状态下，这个方法比快速解耦算法要可靠。我以想象到这个方法将会吸引实际工程师，因为它在快速解耦算法需要大量迭代或者不能提出解决方案的故障系统中，它能优于快速解耦算法获得潮流解决方案。

鸣谢
笔者感谢他们宝贵的评论，对修订这篇论文有很大的帮助。