AG不等式的证明及其推广.docx

平均不等式
AG不等式：
1.中学里面我们称之为基本不等式：
（1）（a,b0）
（2）（a,b同号）
（3）a2+b22ab（a,b为实数）
2. 推广：设a=(a1,…，an)，ak，1，则An(a)=称为a1，…，an的算术平均值，Gn(a)=称为a1,…，an的几何平均值
Gn(a)An(a)，即
称为AG不等式，当且仅当a1=a1=…=an时等号成立.AG不等式是最重要的基本不等式，利用这个不等式，可将和的形式缩小为积的形式，或者将积的形式放大为和的形式，因而这可以叙述成两个等价的共轭命题：
（1）其和为S的n个正数之积，在这些数都相等的时候最大，最大值为(S/n)n.
（2）其积为的n个正数之和，在这些数都相等的时候最小，最小值为n2.
因此AG不等式有许多独特的应用价值，例如在几何学中求最大最小问题时，给定表面积的所有长方体中，正方体具有最大的体积；而给定体积的所有长方体中，正方体具有最小的表面积等.

3. 加权形式的AG不等式：
Gn(a,q)An(a,q)，式中Gn(a,q)=，An(a,q)=，qk，，
通过对数变换可以将这两种平均联系起来，记lna=(lna1,…，lnan)，则lnGn(a,q)lnAn(a,q)，即正数a1，…，an的加权几何平均Gn(a,q)的对数等于a1，…，an的对数lna1,…，lnan的加权算术平均.

同时，对于加权形式的AG不等式的进一步推广是：设ajk>0，qk>0，且，则
，当且仅当==…=，（j=1,…，m）时等号成立.

4. 关于AG不等式的证明：
这里面介绍的是几个典型的、简洁的和新的精彩的证明方法，为了叙述方便，下面将记为Gn(a)An(a)，并设a1，…，an是不全相等的正数（因为a1=a1=…=an时，等号成立），与等价的是：
若，则
若，则()n.
1821年Cauchy用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明：
第一步：假设n=k时，成立，容易推出n=2k的时候该式也成立：
=（+）[()1/k+()1/k]1/2k

由此推出n=2m时，成立.
第二步：设n2m，则比存在r，使得n+r=2m.
1/(n+r)（有r个An连乘）=[]1/(n+r).
即n+rnr. 从而.
另外一种思路是从推出成立，事实上
1/(n+1)，即n+1，从而n=n，即 .

同时也可以用数学归纳法来证明下式的成立
，则
证明如下：n=1时，命题显然为真.
假设时，命题为真，当时，若所有的，则其和等于，不然不妨设（对若干个进行一个排列，把最小的重新定为，最大的定为），我们记，这时便有，由于归纳假设
①
另外， ②
①+②得，，因而对的情况也成立，证毕！(Ehlers,1954)

教材大多采用的是利用函数的凹凸性去证明，这里我们直接证明加权平均不等式，AG不等式只是其中的一种特殊情形。
下证明：Gn(a,q)An(a,q)，式中Gn(a,q)=，An(a,q)=，qk，，
证明：注意到如果中有等于0时，不等式自然成立，现在只需要考虑都是正数的情况.
因为指数函数为严格的上凸函数，所以我们有：
^=，当且仅当都相等的时候成立。
这时候我们再令时，该式子就是非负的几何平均数不大于算术平均数（AG不等式）

还可以利用Young不等式：1/p1/q，，得到
1/n·(1-1/n)
记1/n·(1-1/n)，.
则1/2n，即 证毕！（Diananda）

补充说明的是young不等式的证明：
Young不等式（p-q不等式）：设，则当时，成立
pq；当的时候，不等式反向，当且仅当p-1的时候等号成立.
证明这个不等式的方法有许多，这里只给出四种证明的方法：
①代数方法：利用Bernoulli不等式：再取q/p.(Bernoulli不等式的证明很容易，只需要用数学归纳法即可证明，这里不再去证明)

②微分法：固定求一元函数
在上的极值，在（式中）时取到最小值.即

③积分法：设是上严格递增的连续函数，
比较面积得 （这里的和函数互为反函数），然后我们取p-1即可证得！

④考虑二元函数
1/p1/q 在凸域上的凸性.

Lagrange乘数法：求在条件下的最大值，作辅助函数1/n+.
对求偏导数，得出
即
对求和，得到即
.
由以上两个式子，我们可以得到 .于是在点取得最大值即.

再补充利用四个个不等式去证明的方法：
利用不等式，得出
n.
利用不等式e，即于是

我们可以选择权系数且使得

于是从式子对求和，得到
，这就是加权平均不等式.

利用不等式得到对求和得到，即从而我们得到 即. 证毕！

利用不等式
取1/(n-1)，则从不等式上方的不等式得到nn-1，
对上式逐次使用不等式得到：nn-2n. 证毕！（Akerberg,B. 1963）

5.深度的推广
我们通过加权平均不等式来证明：设则有不等式
证明：当上述右边等于0时，显然左边也等于0.我们考虑右边不为0的情况，
利用加权平均不等式，得：

当且仅当个向量，.成比例时成立. 证毕！
特殊的情况：
当p，q，时，这就是 Hölder不等式， 1/p+1/q
上式中当且仅当向量与向量成比例时等号成立.
再对上式中取时就得到Cauchy不等式.当且仅当和向量成比例时等号成立.
当然还能推导得到Minkowski不等式，这里由于篇幅有限，不再叙述，请感兴趣的读者参考其他书籍！