AG不等式的证明及其推广.docx

平均不等式AG不等式：1.中学里面我们称之为基本不等式： （1）（a,b0） （2）（a,b同号） （3）a2+b22ab（a,b为实数）2. 推广：设a=(a1,，an)，ak，1，则An(a)=称为a1，an的算术平均值，Gn(a)=称为a1,，an的几何平均值 Gn(a)An(a)，即 称为AG不等式，当且仅当a1=a1=an时等号成立.AG不等式是最重要的基本不等式，利用这个不等式，可将和的形式缩小为积的形式，或者将积的形式放大为和的形式，因而这可以叙述成两个等价的共轭命题： （1）其和为S的n个正数之积，在这些数都相等的时候最大，最大值为(S/n)n. （2）其积为的n个正数之和，在这些数都相等的时候最小，最小值为n2. 因此AG不等式有许多独特的应用价值，例如在几何学中求最大最小问题时，给定表面积的所有长方体中，正方体具有最大的体积；而给定体积的所有长方体中，正方体具有最小的表面积等.3. 加权形式的AG不等式： Gn(a,q)An(a,q)，式中Gn(a,q)=，An(a,q)=，qk，通过对数变换可以将这两种平均联系起来，记lna=(lna1,，lnan)，则lnGn(a,q)lnAn(a,q)，即正数a1，an的加权几何平均Gn(a,q)的对数等于a1，an的对数lna1,，lnan的加权算术平均. 同时，对于加权形式的AG不等式的进一步推广是：设ajk0，qk0且，则，当且仅当=，（j=1,，m）时等号成立.4. 关于AG不等式的证明： 这里面介绍的是几个典型的、简洁的和新的精彩的证明方法，为了叙述方便，下面将记为Gn(a)An(a)，并设a1，an是不全相等的正数（因为a1=a1=an时，等号成立），与等价的是： 若，则 若，则()n.1821年Cauchy用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明：第一步：假设n=k时，成立，容易推出n=2k的时候该式也成立：=（+）()1/k+()1/k1/2k由此推出n=2m时，成立.第二步：设n2m，则比存在r，使得n+r=2m. 1/(n+r)（有r个An连乘）=1/(n+r).即n+rnr. 从而.另外一种思路是从推出成立，事实上1/(n+1)，即n+1，从而n=n，即 .同时也可以用数学归纳法来证明下式的成立，则证明如下：n=1时，命题显然为真. 假设时，命题为真，当时，若所有的，则其和等于，不然不妨设（对若干个进行一个排列，把最小的重新定为，最大的定为），我们记，这时便有，由于归纳假设 另外， +得，因而对的情况也成立，证毕！(Ehlers,1954) 教材大多采用的是利用函数的凹凸性去证明，这里我们直接证明加权平均不等式，AG不等式只是其中的一种特殊情形。下证明：Gn(a,q)An(a,q)，式中Gn(a,q)=，An(a,q)=，qk，证明：注意到如果中有等于0时，不等式自然成立，现在只需要考虑都是正数的情况.因为指数函数为严格的上凸函数，所以我们有：=，当且仅当都相等的时候成立。这时候我们再令时，该式子就是非负的几何平均数不大于算术平均数（AG不等式）还可以利用Young不等式：1/p1/q，得到1/n(1-1/n)记1/n(1-1/n)，.则1/2n，即 证毕！（Diananda）补充说明的是young不等式的证明：Young不等式（p-q不等式）：设，则当时，成立pq；当的时候，不等式反向，当且仅当p-1的时候等号成立.证明这个不等式的方法有许多，这里只给出四种证明的方法：代数方法：利用Bernoulli不等式：再取q/p.(Bernoulli不等式的证明很容易，只需要用数学归纳法即可证明，这里不再去证明)微分法：固定求一元函数在上的极值，在（式中）时取到最小值.即积分法：设是上严格递增的连续函数，比较面积得（这里的和函数互为反函数），然后我们取p-1即可证得！考虑二元函数1/p1/q 在凸域上的凸性.Lagrange乘数法：求在条件下的最大值，作辅助函数1/n+.对求偏导数，得出即对求和，得到即.由以上两个式子，我们可以得到.于是在点取得最大值即.再补充利用四个个不等式去证明的方法：利用不等式，得出n.利用不等式e，即于是我们可以选择权系数且使得于是从式子对求和，得到，这就是加权平均不等式.利用不等式得到对求和得到，即从而我们得到即.证毕！利用不等式取1/n-1)，则从不等式上方的不等式得到nn-1，对上式逐次使用不等式得到：nn-2n. 证毕！（Akerberg,B. 1963）5.深度的推广 我们通过加权平均不等式来证明：设则有不等式证明：当上述右边等于0时，显然左边也等于0.我们考虑右边不为0的情况，利用加权平均不等式，得：当且仅当个向量，.成比例时成立. 证毕！特殊的情况：当p，q，时，这就是 Hlder不等式，1/p+1/q上式中当且仅当向量与向量成比例时等号成立.再对上式中取时就得到Cauchy不等式.当且仅当和向量成比例时等号成立.当然还能推导得到Minkowski不等式，这里由于篇幅有限，不再叙述，请感兴趣的读者参考其他书籍！