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凹函数及其在经济学中的应用

吴磊 数学计算机科学学院

摘 要：本文详细的介绍了凹函数的定义和定理的证明，介绍了凹函数的相关性质及其在经济学中的应用。
关键词：凹函数；效应函数；

Application of concave function and in Economics

Wu Lei，Department of Mathematics and Computer Science

Abstrac:This paper summarizes the applications and proofs of

Key words: Lagrange multiplier method; conditiona

1 引言
凹函数是数学中的一类重要函数，在不等式的证明中有着广泛的应用,在经济学的研究中有着重要的作用。本文对凹函数的定义和性质进行详细的介绍和阐述，并且对其定理进行多种证明，另外凹函数几点补充和含义说明，最后介绍其在经济学和消费群体中的应用，说明其意义。

2 凹函数及其应用
2.1凹函数的定义
定义1[1]
设为定义在区间上的函数，若对，有，则函数是区间上的凹函数。
它的几何意义是：定义在区间上的函数，函数曲线上任意两点间的弦之中点，总是位于具有相同横坐标的曲线上的相应点的下方。

定义2[2]
设为定义在区间上的函数，若对上任意两点，和任意实数，总有，则称为区间上的凹函数。如果上述不等式严格成立，那么称函数是严格凹的。
它的几何意义是：定义在区间上的函数，函数对应的曲线上任意两点之间的弦，总是位于连接此两点的曲线的下方。
2.2拟凹函数的概念和定理

定义3[3]
设为的一个凸子集，若对任意的，，有

则称函数是拟凹的。如果上述不等式严格成立，则称函数是严格拟凹的。
引理1
设都是凸性集合，可微函数是严格凹性的充分必要条件是：

其中都是维向量，。
证 由
于是，。而为严格凹的函数，由定义1 利用在处的一阶Taylor展开式有

于是，。以上每一步都可逆，引理得证。

2.2凹函数的等价命题