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开方公式的推导
一、 问题的提出
在数学中，再也没有比开方更加自然的事了，当人类产生了自然数概念并且规定了四则运算之后，人们发现，如果按照乘法性质，一个数自身相乘的逆行运算是一件不太容易的事情。一个整数自身相乘以后是比较容易找到原来那个整数的，例如2自身相乘5次是32，从32我们也容易找到2，但是，如果是31，30，呢，开5次方就不太容易了。自从牛顿发现二项式定理以后，人们知道开方是依据二项式定理展开的。但是，毕竟太麻烦。有没有一个简单的方式或者公式来开方呢？
二、 一个意外
设A=,,我们想求X，即开方n次，当：
A=。（1）
我们把右下角标打上了（@）的表示我们预设的那个X，把右下角没有@的X视作A以后得出的商。
有三种情况：
一，我们取的初始值与等式右边的一致时，问题就解决了，例如32/=2；
二，我们取的初始值偏小，A/>，例如45/=2.8125>2。（1）式A/=，于是<，-=E，例如;2.8125-2=0.8125,是一个正值，我们把这个正值分解E/n再加回去就可以调节原来取了偏小的初始值，使之变大；（因为A开n次方，就是将X自乘n次的数值分解n次，所以也就自然而然地想到其误差E也要分解n份,即E/n）。
三，我们取的初始值偏大，A/<例如30/=1.875<2,（1）式A/=，于是，>，-= —E。例如1.875-2= —0.125，我们把这个负值-E分解-E/n再加回去，就可以调节原来取得偏大的初始值，使之变小。
四，于是我们得到：
=+（A/-）.，(2)
（K=0，1，2，3，4，…...。）
五，我们用（2）式来开方。
例如我们开平方，即n=2。,公式：
=+（A/-）.，（3）
设A=5。介于至之间，我们可以取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.。随便取一个值输入，得出来的都是正确的，一般要求取中间值2.5.
第一步：2.5+（5/2.5-2.5）/2=2.2;(用其它值也一样，例如2.8；2.8+（5/2.8-2.8）/2=2.2。
第二部：2.2+（5/2.2-2.2）/2=2.23。每一次多取一位数。
第三步：2.23+（5/2.23-2.23）/2=2.236.。即。
计算次数与计算精确度成为正比。
开3次方也一样，即n=3，,公式：
=+（A/-）.。（4）
设A=5，5介于至之间，我们可以取初始值1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都是一样。例如取1.9。
第一步：1.9+（5/-1.9）/3=1.7。取其它值也是一样，例如取1.5；1.5+（5/-1.5）/3=1.7.。输入值大于输出值，负反馈；
第二步：1.7+（5/-1.7）/3=1.71;输入值小于输出值，正反馈；
第三步：1.71+（5/-1.71）/3=1.709;输入值大于输出值，负反馈；
第四步;1.709+(5/-1.709)/3=1.7099.每一步多取一位数。要多精确都可以。
如果输入值与输出值一致：
289开平方，介如10的平方至20平方之间，我们取20为初始值，于是：第一步20+（289/20-20）/2=17；第二步17+（289/17-17）/2=17.说明17是个精确值。
以上方法是作者1980年发现的，找到江西师范大学数学系，一位教授看过之后，觉得面熟，将这个公式反推回去，原来是牛顿切线法。但是，他不知道是怎么得出来的。原来这可以用二项式定理推出。
牛顿先生

三，二项式定理与（2）式巧合
设A==±＋±…±（5）
X 是假定值，Y是误差值。=）=+（A/-）.。（6）
由（6）式得：
±Y=（A/-）.。（7）
我们把（5）式等号右边按照（7）式程序进行：
(一)（7）式右端第一步是A/,相当于（5）式中的：

=X±Y ±…±)/。（8）

（二），（7）式右端第二步是减去X,即A/-。
（8）式右端减去X得：±Y ±…±)/。（9）
（三），（7）式右端第三步是除以n，即：（A/-）。
（9）式除以n得：
±Y ±…±)/n。（10）
（10）式是由（5）式得来的，现在（7）式左端只剩下一个Y,而（10）式却是多出来一个：
±…±)/n。（11）
（11）式就是我们碰到的误差。我们在实际计算中把（11）式不要了。
当我们取X值偏大，A=(X-Y)；当我们取值偏小是A=X+Y。

四，为什么（2）式是牛顿切线法
我们把（2）式展开：
=+（A/-）.=-（-A）/（n）.，
注意：f（x）=-A；
f”（x）= n。
即=-（牛顿切线法，求X=，A>0, -A -A=0.
牛顿
本文的公式作者已经发到(百度网站的)百度词条：开平方，开立方，立方根，。但是没有公式的推导过程。作者希望把推导过程通过贵刊发表出来。
本文完全符合控制论中的自动控制原理.