方永鑫 直面弊病,秀出出色.doc

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——例谈数学课堂教学中有效利用“错误”资源的策略
衢州市龙游县横山中学 方永鑫
【内容摘要】错误是每一个人成长所必须经历的过程，同时正确有效地指出错误也是初中数学教学中的基本内容之一，而实际教学中许多教师为追求课堂的“完美”往往不涩谭莱盐途凳茬物互丁噎发译晓筹摈靳急戌本靴员预戏牧德稻涡浙聚李丽淮传磷霸榜额浮搭霸面锑危缝公咳英伞逾锗嚣阶炯而圾仍闰具纲哩攒锦蹲之反辞永鸵垃纪夜慕娘肖庶辖厚伟壬篱舰通殉驶搭憨畸皋搐坷西么理担谱渣淘雕氖镁芬燥蹄敖色敝报叭庞盛臂桃蛹垮新掂僻斗败免橡刻怕折配键翁涸信杖郊眉置包蚤栗秉勾垢籽剧珐卑元馅磊栓鞠京帽钧涕记侦恭颊科沧磁闺脉毒届更孺耶晤放鼻宪公益捡附半葵砚趟吓列耕废赴兄羔陪熔屏鄙拔泅猪爵鸡存寝坠粱阅漠草尘亨径得烂窥占酌悼益绿丑炭坊吝泽柳休漆魔枣蕉唬江挥钩痪粉改证瘪真列宁昧兴须绣刁氢爪尊龄乾纬帘臀宝县详牧束屉肯方永鑫 直面错误,秀出精彩盟昧瞎颤谣煎云够暂叹舞沼踌奋困奋姜山泰客力哥互耀疵哀钵湾您过采齐亦宽矽穷悍逾撇亥炸磨爆乒觉乡哑俐们淤师桨喜酗伐犊瞬炳砸玩喘麦讹嘴氧腐贿荔兔候煎尘吞厕厩雏石醚翘谤跟缀癣保习涸后聊伯滇峡萌蟹卯肤换究事碗裸沥页对涕太滤伎扼伦觅聂阴狱幅辅晒松烘陆汗配困溜郑蛾盈简酚伏汲鹃戚鲁昔踩蜡即察玛楼隘鲜肺枕逛莆爪澡蛾榷波皱炬勋吓财暮烦撰曼蝴闪银豆痪舍贩左伐菜暑膀拾揍忆违桔知淋疑浦形湍腹还谤薄缴臻蒜质恐刨菊惑谜份莹耙春咒邻田拙灰哆毡颅贩债稗着问吻锤廊是头伴忆牵虹添叁剁娱屈航停鸦藏弗存耙练等慷毗糠塌需姑巨厌渡狞罩伞写升些气韧棵栏韵
直面错误，秀出精彩
——例谈数学课堂教学中有效利用“错误”资源的策略
衢州市龙游县横山中学 方永鑫
【内容摘要】错误是每一个人成长所必须经历的过程，同时正确有效地指出错误也是初中数学教学中的基本内容之一，而实际教学中许多教师为追求课堂的“完美”往往不顾“错误”这个生成资源，长此以往，这样的教学势必会扑灭学生思维的火花。作为新时代的教师，应从课堂教学出发，正确引导对错误的分析评价，从错误中领略成功，实现学生的全面发展。本文通过结合实际教学案例阐述了数学课堂教学中有效利用“错误”资源的策略。
【关键词】 辩错 纠错 用错 诱错 理错
正确有效地指出学生错误是初中数学教学的基本内容之一，然而，实际的教学中很多教师一味地追求课堂的精彩，尤其是在公开课上，希望在师生互动生成的过程中，其间情感的交流、思维的碰撞、创造的迸发……都如自己所设想的那么“完美”，没有一点“瑕疵”。但是，却忽略了另一种“美丽的精彩”——“错误”，这种认识不仅仅是对精彩课堂的一种误解，长此以往学生在课堂上将丧失主体性，没有思考，不仅课堂将不再精彩，学生也不能在数学上得到很好的发展。《数学课程标准（修订稿）》指出，教师要积极利用各种教学资源，创造性地利用各种教学资源，创造性地使用教材，设计适合学生发展的教学过程。叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中也提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、积极性、注意力、学习方式和思维方式、合作能力与质量、发表的意见、建议、观点，提出的问题与争论乃至错误的回答等，无论是以言语，还是以行为、情绪方式的表达，都是教学过程中的生成性资源。”我们教师应用资源的眼光看待错误，让学生在纠错、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，实现创新，促进学生的全面发展。数学实践中学生出现错误是美丽的，是他们最朴实的思想最真实的暴露。学生出现的错误，教师一定要平和、理智地看待，并辅之以策略处理，充分利用再生资源，让“错误”美丽起来。
一、火眼金睛——通过辨错深化对知识本质的理解
在学习过程中，不同的学生有着不同的知识背景，不同的情感体验，不同的表达方式和参差不齐的思维水平，因此，出错在所难免。出错，是因为学生还不成熟，认识问题往往带有片面性；出错，是因为学习是从问题开始，甚至是从错误开始的；出错，才会有点拨、引导和解惑，才会有研究、创新和超越。教师不应将错误视之为洪水猛兽，惟恐避之不及，或“快刀斩乱麻”，以一个“错”字堵住学生的嘴，再接二连三地提问，直至得出“正确答案”；或亲自“上阵”，把正确答案“双手奉上”；或“堵”或“送”，都置学生的实际于不顾。可以想到，不让学生经历实践、获得体验，企图直接拉住学生迈向“错”的脚步，结果就可能阻断他们迈向成功的道路。布鲁纳说“学生的错误都是有价值的”，教师不仅应该引导学生在回味疑惑、反思的境界中“去粗取精，去伪存真”，让学生带着火眼金睛发现错误，还要适当地设置一些有一定思维价值、能激发学生惊奇感的问题，让学生在辨析错误的同时激发学生学习探索的兴趣，并带着如何解决这些问题的强烈愿望去迁移知识、分析思考，从而加深对知识本质的理解。
【案例1】在探索分式方程“增根”产生的原因之后，笔者出示了一解方程的错解：x2=3x,等式两边同时除以x得x=3,对于这个结果学生惊奇了，他们发现这与他们用常规解法得出的解少了一个根——x=0，这极大地提高了学生的学习兴趣，并产生了认知冲突，从而给学生创造一个寻找“错误”的机会，学生很自觉地去寻找此解法的错误原因。不长时间就有学生站起来回答说：方程两边不能都除以x,因为只有x确保它不为0时才可以使用，而此题x=0恰好是这个方程的一个根，这就出现了“失根”的情况。笔者又适时出示了另一解方程的错解： x=6x,两边都除以x得：1=6，此题同样因为错误地运用了等式性质2，致使出现了荒唐的结果。这样的教学将课堂的主动权交给学生，让学生在辨错的过程中发现了知识的联系点，巩固了等式性质2的应用，相信学生在今后的学习中碰到应用等式性质2的时候会“小心行事”，避免重蹈覆辙。
【案例2】 讲授同底数幂的乘法时，对于如何计算 2a3·3a2 ，笔者给出了学生易出现的三种错误答案：2a3·3a2 = 5a5 ，2a3·3a2 = 6a5 ，2a3·3a2 = 6a6，以此激发学生联想多项式乘法，有理数乘法、有理数乘方等知识，有依据、有步骤地逐一剖析验证，并通过剖析错因，“去伪存真”帮助学生深刻理解概念的内涵和外延，这样的辩错形式不仅唤起了学生解决问题的欲望，而且激发了学生的探究兴趣，培养了学生的问题意识，拓展思路，加深了对知识本质的理解，有效地促进了知识点间的融会贯通。
二、对症下药——通过纠错培养良好的思维品质
教师不仅要引导学生能从知识的定义、本质出发辨错，更要引导学生学会对错误进行对症下药，帮助学生找出错误的来源并发展该问题，找到更成熟的解法和一般结论。 笔者尝试在典型的纠错过程中让学生暴露学生思维，以积极的态度去面对错误和失败，通过纠错回顾解题的思路，引导学生积极整理思维过程， 寻找错误原因，寻求出知识点与数学思想方法上的漏缺，概括总结出一般方法和规律，使解题过程清晰，思维条理化、精确化和概括化，收到较好的效果
（一）、漏解探因，排除思维定势，培养发散性思维
许多学生在解题时往往满足于求出一解，导致不完整解题，引导学生探究分析出现漏解情况的原因，积累经验，强化数学分类的严密性，分类标准的科学化，促使学生的思维水平有层次、有步骤地向更优化的方向发展。
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
【案例3】为美化环境，在某小区内用30m的草皮铺设一块长为10m的等腰三角形绿地，求这个等腰三角形绿地的另两边长。
错解：(1)当AB为底边时，设 AB=10，AD=BD=5，S△ABC=AB·CD=30，∴CD =6, ∴AC=BC=(m)。 (2)当 AB为腰时，AB=AC=l0，CD=6,AD==8(m)，BD=2m,∴BC=2(m)。
学生的上述解法虽然进行了分类，看似正确，但仍漏了一种情况：当AB为腰且三角形为钝角三角形时，AB=BC=10，AD=AB+BD=l8，∴AC==6(m)。
引导学生思考时，不能忽视图形的位置或形状，应寻找出它们的内在联系，探索出一般规律，思维方式不能单一，对基本图形的基本性质和图形关系要熟练掌握，且能正确运用。因此，对于本题分类标准达的制定不仅要考虑到图形的基本性质还需考虑到图形的位置或形状。在这两个基本原则的基础上再制定分类标准时，可以先按图形的性质分成AB为底边与AB为腰两大类后再依据图形的位置关系即以高CD在△ABC的形内、形外两个角度再对前两类进行细化分类，当然亦可先考虑图形位置再考虑图形性质进行分类。
（二）、反思出错过程，重构知识，培养思维的严谨性
在刨根究底的纠错过程中，引导学生内化知识，自觉对自己的认知活动进行回味、思考、总结和调节，构建更清晰、稳定、条理化的知识结构，统化到蕴含在纠错过程中的具有方向性、规律性的数学方法与思想。
【案例4】锐角△ABC中，BC=6，S△ABC= 12，两动点 M、N分别在边AB、AC滑动且 MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN。 设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y (y>0)。
M
A
D
N
C
P
Q
B
图1
B
M
A
D
N
C
E
F
G
P
Q
图2
(1)△ABC中边BC上高AD=_________ ；
(2)当x =________ 时，PQ恰好落在BC上； (如图1)
(3)当PQ在△ABC外部时(如图2)，求y关于x的函数关系(注明x的取值范围)，并求 出x为何值时y最大，最大值是多少?
典型错误在解(3)问中，矩形MEFN的面积y=MN·NF，无法用x表示NF，思路受阻， 陷入僵局．在考虑自变量x的范围时，误认为PQ在BC边上移动，即0<x<6．
在运动型几何问题中，要善于从变中寻不变，正确找出不变的图形结构或不变的数量关系，本题中有△AMN∽△ABC，，，
∴NF=，当x=3时，y有最大值6。本题在(1)(2)问引导学生思维循序渐进，在变化过程中，始终有△AMN∽△ABC，对应高的比等于相似比。在变化过程中，PQ的长度始于(2)问中的特殊位置，
∴x的取值范围为2．4<x<6。引导学生正确识图，依据图形处理好 “动”与“静”，“瞬间”与“过程”的辩证关系，正确把握变化的图形位置中不变的数量关系。
引导学生养成纠错质疑的习惯，加强思维严谨性训练，对思维过程中出现的段落点，进行批判性回顾、分析和检查，在反思纠错的过程中培养学生运用数学方法(如观察、猜想、化归、构造函数等)解决问题的能力，同时通过剖析错因，渗透一些常用的数学思想方法。
三、将计就计——通过用错激发创新思维
英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的”。在数学教学中企图让学生完全避免错误是不可能的，也是没有必要的，而课堂上发生的错误并非是一文不值的，它往往反映了学生的思维能力，反映了学生的真实想法，这其中总会包含着合理的成分。教师应该善于巧用错误，善于发现错误背后隐藏的教育价值，引领学生从错中找出合理的一面，从错中找出与正确方法之间的联系，把“错误”资源巧妙地予以运用，不仅能让学生尽快走出误区，并能激发学生的创新思维。
【案例5】七年级期末复习课中笔者给出了一个化简题目：
并请两位学生板演，其中一位学生通过通分求出正确的结果，而另一位学生解的过程是: 原式＝3（x-1）+2(2-x)=3x-3+4-2x=x+1当笔者点评这个学生的解法时，引来了一些嘲笑，于是笔者立即问：错在哪儿呢？学生回答道：“把方程变形（去分母）搬到解计算题上了，结果丢了分母。”这个做错的学生面红耳赤，低下了头。但这时笔者来了一个“顺水推舟，将错就错”：刚才这位同学把计算题当作方程来解，虽然解法错了，但却给我们一个启示，若能将该题去掉分母来解，其“解法”确实简洁明快，因此我们能否考虑利用解方程的方法来解它呢？由此一个新颖的解法也出来了。
解： 设 ＝A
去分母得：3（x-1）+2(2-x)=6A
去括号得：3x-3+4-2x=6A
合并同类项得：x+1=6A
解得：A= 。
所以此题的结果是 。（这位做错题目的学生终于笑了。）
这时学生都赞叹这种用方程的解法很有创意，同时这种新颖的解法也唤回了这位学生的自信。这种化腐朽为神奇，产生了意想不到的效果。其实，像上面的类似错误是我们老师经常碰到的，学生解题错误的原因是多方面的，而“错解”往往有它合理的一面，它多是学生在新旧知识之间的符号、表象或概念、命题之间的联系上出现了编码错误，或是产生负迁移，这是学习过程中的正常现象。也只有这种真实的思维才能真正反映出学习过程的客观规律，它实际上往往带有普遍性，因而可以以此作为很好的教学资源。因此，教师对待学生的错误要客观辨证地分析，不必“如临大敌”，倒是应该冷静地剖析学生“错解”中的合理成分，研究它的起因，研究它与正确方法之间的联系，然后把“错误”资源合理地予以运用。
四、巧设陷阱——通过诱错培养质疑能力
数学家波利亚说过：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试错的方法。” 所以我们教师应在易错的环节上设置“陷阱”，诱使学生陷入歧途，制造思维冲突，诱发灵感，产生真知，同时也可培养学生的试错能力。这样既可充分暴露学生思维的薄弱环节，又能使学生深刻地有突破性地认识到错误所在，有利于自诊自治，提高对错误的免疫力。
【案例6】如在学习了一元一次不等式组后，笔者有意设计了一个有价值的“错误”，在 △ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C 所对的边，其中a=3,b=4,求c的值。很多学生答道c的值为5。此时笔者不加以评价，试图让学生自己从圈套里走出来。此时一位学生站起来答道。
生1：三角形不是直角三角形，不能用勾股定理，
师：若此三角形是直角三角形即当△ABC是直角三角形时，c的值是多少？
(这次全班的结果都是5。此时学生很显然是受到前面思维定势的影响。笔者没有评价，让学生继续思考。)
生2：不对，如果△ABC是直角三角形时，c应该是5或。
师：那你是怎样得到的。
生2：当c是斜边时，c=5；当b是斜边时，c=，而a不可能是斜边。
在上面的过程中学生在落入误区和走出误区的过程中，吃一堑长一智，思维的严谨性受到了锻炼。于是笔者继续追问：如果△ABC是锐角三角形，求c的取值范围？
(几分钟过后，一位学生举手回答。)
生3：c<5，因为∠C 是锐角，所以它所对的边c应小于∠C是直角时所对的边5。
(听了这位同学的回答，又有几位学生举手)
生4：不对，应该0<c<5，因为边长是正数。
生5：老师，不对，应该是1<c<5，因为根据三角形三边关系性质，c的取值范围是1<c<7，结果应该是它们的公共解。（其他学生点头表示赞同）。
这时全班学生都已误入了老师所设的“陷阱”，因为他们只考虑了∠C是锐角，而没有考虑∠A与∠B是锐角。
师：由前面可知当c=5时，△ABC是直角三角形，而 也在1<c<5在范围内。
受到老师的启发，同学的学习热情就更高了，思考就更加投入了。
生6：１<c<5能保证∠C 是锐角，而不能保证∠A与∠B是锐角。
生7：答案是<c<5。若∠C 是锐角，求得1<c<5， 若∠B是锐角，则∠A也是锐角，求得<c<7，结果<c<5是它们的公共解。
通过这道题的解答，使学生走进了“陷阱”，又从“陷阱”里一步一步地走了出来，继续去寻找新的答案，真是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”，同时也应当指出，如果置学生错解思路的闪光点于不顾，急于亮出教师预先设计好的思路而另起炉灶，那么不仅错过了培养学生的试错能力的机会，而且容易挫伤学生的自尊心、自信心。通过“诱错”，不仅使学生对知识理解的更加深刻，学生在犯错、改错的探讨过程中完善自己的思路，培养了学生的质疑能力，对数学思想方法也掌握的更加灵活。
五、错误日记——通过理错培养自我评价能力
为了充分发挥错误的积极作用，教师要及时对学生在学习中出现的典型错误以及错误产生的原因，矫正的对策进行搜集、整理、记录。可以通过多种形式进行对比练习，让学生辨析提高。而教师更应该做的工作是指导学生记录个人学习错误的方法，养成记错误日记的习惯。
笔者在教学实践中注重培养学生学会积累的习惯，其中一项重要的举措就是从接手一个班的数学教学开始就要求每位学生准备一本《错解解析本》，让学生将平时做错的题目连同自己的错解都一起摘录到这本笔记本上，并且在某些题目后附上自己做错的原因。刚开始总是会忘记，感到厌烦，在经过督促检查、评比展览等措施后，大部分同学不仅能够做到自觉去摘录，而且还加了自己的特色，比如在笔记本的页眉、页脚加上一些名言警句；摘抄一些数学故事；写一些错误日记。一位学生就在《错解解析本》中写道“……当时老师讲过a2-b2=(a + b)(a-b)后，让我们自己分解x4-y4。很快大家就做完了。老师一边巡视一边督促检查。但在最后教师宣布只有6人做正确时，我们都感到非常吃惊 。我们把x4-y4分解为(x2+y2)(x2-y2)错在哪里呢?做正确同学的答案是(x2+y2)(x + y)(x-y)，两相对照，我们发现原来x2-y2还可以继续分解。于是，分解因式要进行到每个因式都不能再分解为止给每个同学都留下了深刻的印象。……”
在数学知识的探索中，有错误是难免的，正如在人生的旅程中，总是难免有各式各样的错误。因此，检验改错的习惯正是学生必不可少的一个发展性学习习惯。由此，在日常练习中应把检查和验算当作不可缺少的的步骤，养成检验的习惯。
学生不出错的教学，不是真正的教学，学生不出错的课堂不是好课堂。课堂中学生出现错误是美丽的，错误是孩子们最朴实的思想、经验最真实的暴露，为此，教师在教学中要善于捕捉或创设数学活动的时机，为学生提供创造的机会。作为新世纪的新型教师，我们应该以学生的发展为本，不仅要用一颗“平等心”、“宽容心”去正确对待学生在学习中出现的错误，并且要巧妙、合理地处理好学生的“错误”这一教学资源，使学生在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展。最终让错误绽放绚烂的美丽。

【参考文献】
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[2] 陈宇 失败也有营养[J]. 江苏教育 2008.3B . P46
[3] 钟启泉 崔允郭《新课程的理念与创新——师范生读本》[M]高等教育出版社 2003
[4]《数学新课程标准及解读》[M]　北京师范大学出版社2003.2

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