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代数式-一元二次方程
2013-08-23 中考复习

一、基本概念
1）含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；
形式：ax²+bx+c=0（a≠0）的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项；
注意：要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax²+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。
2）常用解法
①直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如（x+a）²=b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0时，x+a=±√b，x=-a±√b，当b<0时，方程没有实数根。
②配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a²±2ab+b²=（a+b）²，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x²±2bx+b²=（x±b）²。
③公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a（b²-4ac≥0）
④因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
3）根的判别式
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用“△”来表示，即△=b²-4ac。
①当△≥0时，方程有实数解；
②当△＞0时，方程有两个不等实数根；
③当△=0时，方程有两个相等实数根；
④当△＜0时，方程无实数根；
注意：根的判别式是对一元二次方程而言的，所以使用时必须注意的条件是a≠0。
4）根与系数的关系：如果方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

二、练习题及答案
一、选择题
1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )
A.(a-3)x²=8 (a≠3)B.ax2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.√3x²+3x/57-2=0
2.下列方程中,常数项为零的是( )
A.x2+x=1B.2x2-x-12=12C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+2
3.一元二次方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的是( )
A.（x-3/2）²=16 B.2（x-3/4）²=1/16 C.（x-3/4）²=1/16 D.以上都不对
4.关于x的一元二次方程（a-1）x²+x+a²-1=0的一个根是0，则a值为（ ）
A.1 B.-1C.1或-1D.1/2
5.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根，则这个三角形的周长为( )
A.11 B.17 C.17或19 D.19
6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x²-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A.√3 B.3 C.6 D.9
7.使分式（x²-5x-6）/（x+1）的值等于零的x是( )
A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6
8.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )
A.k>-7/4 B.k≥-7/4且k≠0 C.k≥-7/4 D.k>7/4且k≠0
9.已知方程x²+x=2，则下列说中正确的是（ ）
A.方程两根和是1 B.方程两根积是2 C.方程两根和是-1 D.方程两根积比两根和大2
10.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000

二、填空题
11.用____法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.
12.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为____.
13.x²-3x+____=（x-____）²
14.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1,则a、b、c的关系是_____.
15.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= _____, b=______.
16.一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x+3=0的所有实数根的和等于____.
17.已知3-√2是方程x2+mx+7=0的一个根,则m=_____,另一根为_____.
18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是_____.
19.已知x1，x2是方程x²-2x-1=0的两个根，则1/x1+1/x2等于____.
20.关于x的二次方程x²+mx+n=0有两个相等实根，则符合条件的一组m，n的实数值可以是m=，n=.

三、解方程
21.（3-x）²+x²=5
22.x²+2√3x+3=0

四、解应用题
23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.
24.如图在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？

25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
26.已知关于x的方程x²+2（m-2）x+m²+4=0两根的平方和比两根的积大21，求m的值

【参考答案】
一、选择题
1、B 2、D 3、C 4、B 5、D 6、B 7、A 8、B 9、C 10、D
二、填空题
11、提公因式 12、-2/3或1 13、9/4，3/2 14、b=a+c 15、1，-2
16、3 17、-6 ，3+√2 18、x2-7x+12=0或x2+7x+12=0 19、-2 20、2 ，1（答案不唯一，只要符合题意即可）
三、解方程
21、9-6x+x²+x²=5，x²-3x+2=0，(x-1)(x-2)=0，x1=1，x2=2=
22、(x+√3)2=0，x+√3=0，x1=x2= -√3
四、解应用题
23、设每年降低x，则有(1-x)²=1-36%，(1-x)²=0.64，1-x=±0.8，x=1±0.8，x1=0.2，x2=1.8（舍去）答：每年降低20%。
24、设道路宽为xm，(32-2x)(20-x)=570，640-32x-40x+2x²=570，x²-36x+35=0，(x-1)(x-35)=0，x1=1，x2=35（舍去）答：道路应宽1m。
25、（1）设每件衬衫应降价x元，(40-x)(20+2x)=1200，800+80x-20x-2x²-1200=0，x²-30x+200=0，(x-10)(x-20)=0，x1=10(舍去)x2=20。（2）设每件衬衫降价x元时，则所得赢利为(40-x)(20+2x)=-2，x²+60x+800=-2(x²-30x+225)+1250=-2(x-15)²+1250。所以，每件衬衫降价15元时，商场赢利最多，为1250元。
26、设此方程的两根分别为X1,X2，则(X1²+X2²)- X1X2=21，(X1+X2)2-3 X1X2=21，[-2(m-2)]2-3(m²+4)=21，m²-16m-17=0，m1=-1，m2=17，因为△≥0，所以m≤0，所以m＝-1

代数式-一元二次方程组
2013-08-23 中考复习

一、基本概念
1）二元一次方程
①概念：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是
②解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
2）二元一次方程组
①概念：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
②解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
③解法：代入法；加减法

二、练习题及答案
一、选择题：
1．下列方程中，是二元一次方程的是（）
A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1/4 +4y=6 D．4x=（y-2）/4
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
A．①x+y=42②x+3y=7 B.①2a-3b=11②5b-4c=6 C.①x²=9②y=2x D.①x+y=8②x²-y=4
3．二元一次方程5a－11b=21 （）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解
4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）
A.x=3,y=2 B.x=-3,y=4 C.x=3,y=-2 D.x=-3,y=-2
5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（）
A．－1 B．－2 C．－3 D．3/2
6．方程组4x-3y=k,2x+3y=5的解与x与y的值相等，则k等于（）
7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）
①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1/x+y=5；④x=y；⑤x2－y2=2；⑥6x－2y；⑦x+y+z=1；⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A．1 B．2 C．3 D．4
8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（A.x+y=246,2y=x-2 B.x+y=246,2x=y+2 C.x+y=216,y=2x+2 D.x+y=246,2y=x+2

二、填空题
9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=____；用含y的代数式表示x为：x=____．
10．在二元一次方程－1/2x+3y=2中，当x=4时，y=____；当y=－1时，x=____．
11．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=____．
12．已知x=-1,y=3是方程x－ky=1的解，那么k=_____．
13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．
14．二元一次方程x+y=5的正整数解有_____．
15．以x=5,y=7为解的一个二元一次方程是_____．
16．已知x=2,y=-1是方程组mx-y=3，x-ny=6的解，则m=_____，n=____．

三、解答题
17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．
18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？
19．二元一次方程组4x+3y=7,kx+(l-1)y=3的解x，y的值相等，求k．
20．已知x，y是有理数，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，则x－y的值是多少？
21．已知方程1/2x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为x=4,y=1．
22．根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
23．方程组x+y=25,2x-y=8的解是否满足2x－y=8？满足2x－y=8的一对x，y的值是否是方程组x+y=25,2x-y=8的解？
24．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2－（m－2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？

【答案及解析】
一、选择题
1．D 解析：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数是1；③等式两边都是整式．
2．A 解析：二元一次方程组的三个必需条件：①含有两个未知数，②每个含未知数的项次数为1；③每个方程都是整式方程．
3．B 解析：不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解．
4．C 解析：用排除法，逐个代入验证．
5．C 解析：利用非负数的性质．
6．B
7．C 解析：根据二元一次方程的定义来判定，含有两个未知数且未知数的次数不超过1次的整式方程叫二元一次方程，注意⑧整理后是二元一次方程．
8．B
二、填空题
9．(4-2x)/3 (4-3y)/2 10．4/3－10
11．4/3，2 解析：令3m－3=1，n－1=1，∴m=4/3，n=2．
12．－1 解析：把x=-2,y=3代入方程x－ky=1中，得－2－3k=1，∴k=－1．
13．4 解析：由已知得x－1=0，2y+1=0，∴x=1，y=－1/2，把x=1,y=-1/2代入方程2x－ky=4中，2+k/2=4，∴k=1．
14．解：x=1,y=4;x=2,y=3;x=3,y=2;x=4,y=1解析：∵x+y=5，∴y=5－x，又∵x，y均为正整数，∴x为小于5的正整数．当x=1时，y=4；当x=2时，y=3；当x=3，y=2；当x=4时，y=1．∴x+y=5的正整数解为x=1,y=4;x=2,y=3;x=3,y=2,x=4,y=1
15．x+y=12 解析：以x与y的数量关系组建方程，如2x+y=17，2x－y=3等，此题答案不唯一．
16．1 4 解析：将x=2,y=-1代入方程组mx-y=3,x-ny=6中进行求解．
三、解答题
17．解：∵y=－3时，3x+5y=－3，∴3x+5×（－3）=－3，∴x=4，∵方程3x+5y=－3和3x－2ax=a+2有相同的解，∴3×（－3）－2a×4=a+2，∴a=－11/9．
18．解：∵（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，∴a－2≠0，b+1≠0，∴a≠2，b≠－1 .解析：此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为0．（若系数为0，则该项就是0）
19．解：由题意可知x=y，∴4x+3y=7可化为4x+3x=7，∴x=1，y=1．将x=1，y=1代入kx+（k－1）y=3中得k+k－1=3，∴k=2 解析：由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值．
20．解：由（│x│－1）2+（2y+1）2=0，可得│x│－1=0且2y+1=0，∴x=±1，y=－1/2．当x=1，y=－1/2时，x－y=1+1/2=3/2；当x=－1，y=－1/2时，x－y=－1+1/2=－1/2．解析：任何有理数的平方都是非负数，且题中两非负数之和为0，则这两非负数（│x│－1）2与（2y+1）2都等于0，从而得到│x│－1=0，2y+1=0．
21．解：经验算x=4,y=1是方程x/2+3y=5的解，再写一个方程，如x－y=3．
22．（1）解：设0．8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意得x+y=13,0.8x+2y=20．（2）解：设有x只鸡，y个笼，根据题意得4y+1=x,5(y-1)=x．
23．解：满足，不一定．解析：∵x+y=25,2x-y=8的解既是方程x+y=25的解，也满足2x－y=8，∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程2x－y=8的解有无数组，如x=10，y=12，不满足方程组x+y=25,2x-y=8．
24．解：存在，四组．∵原方程可变形为－mx=7，∴当m=1时，x=－7；m=－1时，x=7；m=7时，x=－1；m=－7时x=1．

8
Time waits for no one