向量夹角及距离.doc

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9．8用空间向量求角和距离
一、明确复习目标
1．了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量；
2．理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离.
二．建构知识网络
1．求角：
（1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角；
（2）直线和平面所成的角：
①找出射影，求线线角；
②求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为θ,则.
（3）二面角：
①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）；
②求两个法向量的夹角（或补角）.
2．求距离
_
a
_
n
N
M
H
θ

（1）点M到面的距离
（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.
由
得距离公式：
（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；
（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式.
三、双基题目练练手
1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是 （ ）
①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）
②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）
③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）
④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）
A.3 B.2 C.1 D.0
2． 直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （　　）
A． B. C． D．
3．已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k= ___
4． 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段AB的中点坐标和长度分别是 ， .

◆答案提示： 1. C； 2. A； 3. ；
4.（2，1，），dAB=
四、以典例题做一做
【例1】 (2005江西)如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.

解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（２）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），
从而，，
设平面ACD1的法向量为不与y轴垂直,可设
，则
也即，得，从而，
∴点E到平面AD1C的距离:

（3）
设平面D1EC的法向量，
由
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为
【例2】（2005全国）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，
且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.

（Ⅰ）证明：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
N
M
B
A
_
D
C
y
x
P
z

又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD
（Ⅱ）解：因

由此得AC与PB所成的角为
（Ⅲ）解：设平面ACM的法向量为，
由得：
设平面BCM的法向量为同上得
∴
结合图形可得二面角A-MC-B为
解法2：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使

要使

为所求二面角的平面角.

【例3】如图，AF DE分别是⊙O ⊙O1的直径 AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD
(Ⅰ)求直线BD与EF所成的角；
(Ⅱ)求异面直线BD和EF之间的距离.
解：(Ⅰ)以O为原点，BC AF OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），

则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）
所以，

设异面直线BD与EF所成角为，则
直线BD与EF所成的角为
(Ⅱ)设向量与BD、EF都垂直，则有
，
∴ BD、EF之间的距离

五．提炼总结以为师
1.求线线角、线面角、二面角的方法：
2．求点面距离，线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法：

同步练习 9.8用空间向量求角和距离
【选择题】
1．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若 =x+y+z，则（x，y，z）为 （ ）
A（，，） B（，，）
C（，，） D（，，）
2．在正方体A—C1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角为 ( )
A．arctan B．arccos C．arcsin D．都不对
【填空题】
3.已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________.
4．二面角α——β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB＝AC＝BD＝，则CD的长为 ．

◆答案提示：1.A; 2. A; 3.120°; 4. 2
【解答题】
5. 设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离.
解：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），
∴;
设平面ABC的法向量=（x，y，z），则·=0，·=0，
∴
即
令z=－2，则=（3，2，－2）由点到平面的距离公式：
==.
∴点D到平面ABC的距离为.
6．（2004浙江文）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点.
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；

解:（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.
设，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,
∴=(,

又点A、M的坐标分别是 、（.
∴ =（
∴ =且与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵平面BDE， 平面BDE，
∴AM∥平面BDF.
（Ⅱ）

（Ⅲ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，
∴AB⊥平面ADF.

7.（2004全国·河北）如下图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

解（1）：如下图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB.
∵PA=PD，∴OA=OD.
于是OB平分AD，点E为AD的中点，∴PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∴∠PEB=120°，∠PEO=60°.由已知可求得PE=，
∴PO=PE·sin60°=×=，即点P到平面ABCD的距离为.
（2）解法一：如下图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

P（0，0，），B（0，，0），PB中点G的坐标为（0，，），连结AG.
又知A（1，，0），C（－2，，0）.
由此得到 =（1，－，－），
=（0，，－），=（－2，0，0）.
于是有·=0，·=0，
∴⊥，⊥. ，的夹角θ等于所求二面角的平面角.
于是cosθ==－，
∴所求二面角的大小为π－arccos.
解法二：如下图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，
则AG⊥PB，FG∥BC，FG=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB.∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=，
在Rt△GAE中，AE=AD=1，于是tan∠GAE== .
又∠AGF=π－∠GAE，
∴所求二面角的大小为π－arctan.
8. 如图，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点
求：（1）与所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线PM与FQ的距离

解：建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），
则由中点坐标公式得P（,0,）、Q（,,0）
（1）∴=（－，0，），=（，－，－a），
·=(－)×+0+×(－a)=－a2，
且||= a，||= a.
∴cos〈，〉===－.
故得两向量所成的角为150°
（2）设=（x，y，z）是平面EFB的法向量，
即⊥平面EFB，∴⊥，⊥.
又=（－a，a，0）， =（0，a，－a），
即有，
取，则.
∵ =（，0，）.
∴ 设所求距离为d，则= a.
（3）设=（x1，y1，1）是两异面直线的公垂线的方向向量，
则由=（－，0，），=（，－，－a），
得,
而 =（0，a，0） 所求距离=a.
9．在60°的二面角的棱上，有A、B两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8.

⑴求CD的长度； ⑵求CD与平面所成的角
解：⑴因为
，故有
，
∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴
.
（2）过C作CE⊥平面α于E，连接AE、CE在△ACE中，CE=6sin60°=3，连接DE，则∠CDE就是CD与平面α所成角。

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