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尺规作图三等分角
——致中国数学界大师们的一封公开信
尊敬的中国数学界大师们：
你们好！
几何学发展至今，虽为完备，但仍有缺憾，尺规三分角就是其一。
数学先哲们曾断言定论，尺规三分角是尺规不能问题。
不才无学，但也相信科学和尊重客观事实，现为一村学教师。在闲暇之际，偶生兴趣，突发灵感，得一妙法，可将任意角二分为三。后附详细作法和证明。万望大师们慧眼识宝，将此妙法推广，让国人之智慧得以光大。
（注：该方法在相关机构已注册、立案。垂询：13150119044，鄙人常居山野，不便上网，且莫发邮件，也望各类媒体关注。）
三等分线段(角)的尺规作图法
崔谧
（安定区风翔学区小西岔小学 甘肃定西 743000）

几何学从诞生到发展，再到逐步完善，除一些特殊角（直角、平角和圆周角）外，至今还没有一种严格的几何方法能将任意一个角三等分。经过长期的探究，本人发现有一种严格的几何方法可以将一个任意角三等分(包括直角、平角和圆周角)。该方法分小于180°的角和大于180°而小于360°的角两种情况论述。
为了简单明了起见，在陈述该方法之前，先详细介绍一种用尺规作图将一条线段三等分的新方法。
作法：
1. 画一条线段AB,用尺规作图法求其中点C。
2. 用尺规作图法求线段AC的中点D。
3. 在点D和点C之间任取一点E,使得线段AE的长度大于线段AC的三分之二而小于线段AC的长度，用尺规作图法求线段AE的中点F。
4. 以点A为圆心，以线段AE的长度为半径画弧线，以点C为圆心，以线段AF的长度为半径画弧线，使得两条弧线相交与点G；以点A为圆心，以线段AC的长度为半径画弧线，以点C为圆心，以线段AD的长度为半径画弧线，使两条弧线相交于H点。（确保点G和H在线段AB的同侧）
5. 连接GH，用尺规做图法求其中垂线IJ，延长IJ交AB于点K。
6. 以点K为圆心，以线段BK的长度为半径画弧交线段AB于点L。
则点L和点K将线段AB三等分。如下图所示：

依据以上将一条线段三等分的尺规作图法的新方法，也可以将一条弧线三等分，即将一个角三等分。具体几何方法如下：
一.用尺规做图法将一个小于180°的角三等分.
作法：
1. 画一任意小于180°的角∠O,以顶点O为圆心，以任意长为半径画弧交∠O的两条边于A、B两点。
2. 用尺规作图法求弧线的中点C,连接AC并延长，再求弧线的中点D。
3. 在点D和点C之间任取一点E,使得弧线的长度大于弧线的三分之二而小于弧线的长度，用尺规作图法求弧线的中点F。
4. 以点A为圆心，以弦AE的长度为半径画弧线，以点C为圆心，以弦AF的长度为半径画弧线，使得两条弧线相交与点G； 以点A为圆心，以弦AC的长度为半径画弧线，以点C为圆心，以弦AD的长度为半径画弧线，使得两条弧线相交与点H。 (确保点G和H在直线AC的同侧）
5. 连接GH，用尺规作图法求其中垂线IJ，延长IJ交AC于点K。
6. 连接GK,以点K为圆心，以线段GK的长度为半径画弧交弧线于点L。
7. 以点L为圆心，以弦AL的长度为半径画弧交弧于点M.
则点L和M将弧三等分，连接OL和OM,即∠AOL=∠LOM=∠MOB.如下图所示：

二.用尺规作图法将一个大于180°而小于360°的角三等分
作法：
1. 画一任意大于180°而小于360°的角∠O,以顶点O为圆心,以任意长为半径画弧交∠O的两条边于A、B两点。
2. 用尺规作图法求∠AOB的角平分线OP交优弧于点P。
3. 参照第一种情况下的2至7步骤的方法求得将角∠AOP三等分的点L和M。
4. 在弧上做点M关于直线OP对称的点N。
则点M和点N将优弧三等分，连接OM和ON,即∠AOM=∠MON=∠NOB。如下图所示：

三等分线段(角)的尺规作图法证明（一）
崔谧
（安定区风翔学区小西岔小学 甘肃定西 743000）
(一) 将一条给定线段用尺规作图法三等分新方法的推导证明
为了证明该方法正确，运用方程验证方法推导证明，该方法用平面解析几何方程推导证明如下：
令线段AB的长度为单位“1”，以点A为坐标原点，以线段AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系。用尺规二分线段AB，取其中点C；再用尺规二分线段AC，取其中点D；再用尺规二分线段DC，取其中点E；再用尺规二分线段AE，取其中点F。如下图所示：

求证：点L和K的坐标分别为L(,0),K（，0）
证明：
∵已知：线段AB的长度为单位“1”，C为线段AB的中点，D为线段AC的中点,E为线段DC的中点,F为线段AE的中点。
∴点A、D、F、E、C和B的坐标分别为：A（0，0），D（,0),F（，0），E（，0），C(,0),B(1,0)。
∴以点A为圆心，以线段AC的长度为半径画弧线，以点C为圆心，以线段AD的长度为半径画弧线，使得两条弧线相交于点H,则点H的坐标即为两条弧线的交点，即：
解得：x=,=±
∵H点在 x轴的下方
∴H点的y值取其负值根，即：
H（，-）
以点A为圆心，以线段AE的长度为半径画弧线，以点C为圆心，以线段AF的长度为半径画弧线，使得两条弧线相交于点G,则点G的坐标即为两条弧线的交点，即：
解得：x=,=±
∵G点在 x轴的下方
∴G点的y值取其负值根，即：
G（，-）
∴连接HG，求其中点坐标为（，-）
又∵HG的斜率k=
∴HG的中垂线IJ的斜率=-=
∴IJ的直线方程为：y-=k(x-)代入得：
y=x-
又∵IJ和x轴相交于点k,即有公共解：

解得：x=,y=0
∴点K的坐标为K（，0）
∴以点K为圆心，以 KB为半径的圆☉K:+=将线段AB三等分，三等分点分别为L(,0),K（，0）
∴该三分线段的新方法正确。
由前面尺规三分线段的新方法的论述和以上方程验证证明过程，可以得出以下的推理和结论：
圆的形成和描述：
已知一条线段AB，用尺规二分线段AB，取其中点C;再用尺规二分线段AC,取其中点D。以点A为圆心，以大于线段AB的三分之一而小于整个线段AB的所有线段AE（点E为一动点,在前面尺规作图中,为了作图简明需要,特意说明点E在点D和点C之间,且AE大于线段AC长度的三分之二而小于AC）为半径确定的无数个圆组成一个圆系；以点C为圆心，以线段AE的一半所有线段AF为半径确定的无数个圆组成一个圆系。由这两个圆系相交产生的交点的集合便是一个圆，即以线段AB的三分之二点为定点，以线段AB的三分之一长为定长的轨迹。如下图所示：

如过能承认“线段是弧度为0的曲线”和“线段的弦是其本身”这两种说法，那么下面要证明的将一给定角用尺规作图法三等分方法的证明就迎刃而解了。
（二）将一给定角用尺规作图法三等分方法的证明（0°∽180°）
求证：按前面作法所确定的圆☉K经过弧三等分之一L点。
为了证明圆☉K经过弧的三等分之一L点，运用推理和反证法相结合的方法进行推导证明如下：
证明：用等弧度法确定一个三等分角∠AOB，三等分点分别为L和M,假设圆☉K不经过三等分点L。
∵已知：圆☉K由前面作法所确定，☉K和AC交于N。
∴以点A为圆心，以弧长大于弧的三分之二而小于整个弧的所有弧的弦A为半径确定一个弧系；以点C为圆心，以弧的一半的所有弧的弦A为半径确定一个弧系。
∴这两个弧系相交产生的所有交点和均以AC所在直线为对称轴，并且都在☉K上，其中点N对应的两条弧相外切于N点。
又∵☉K和AC交于N，以点A为圆心，以AN为半径画弧交于点P,以点C为圆心，以CN为半径画弧交于点Q。
可得，弧长<,>,且弧长=2。
∴点L和点G也是以上两个弧系相交产生的并且以AC对称的两个交点之一。
如果圆☉K不经过三等分点L，则和所推结论矛盾。
∴该尺规三分角的方法正确。如下图所示：

三等分线段(角)的尺规作图法证明（二）
崔谧
（安定区风翔学区小西岔小学 甘肃定西 743000）
(一) 将一条给定线段用尺规作图法三等分新方法的推导证明
为了证明该方法正确，运用逆推方法推导证明，该方法用平面解析几何方程推导证明如下：
令线段AB是用等弧度法确定的一条给定线段，点L 和K是三等分点，每一份为一个单位1，以点A为坐标原点，以线段AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点A、D、L、C、K和B的坐标分别为：
A（0，0），D（0.75,0),L(1,0),C(1.5,0),K(2,0),B(3,0)。如下图所示：
以点A为定点，以1为定长的轨迹方程为：x²＋y²=1²
以点C为定点，以0.5为定长的轨迹方程为：（x－1.5）²＋y²=0.5²
以点A为定点，以1.5为定长的轨迹方程为：x²＋y²=1.5²
以点C为定点，以0.75为定长的轨迹方程为：（x－1.5）²＋y²=0.75²
以点A为定点，以2为定长的轨迹方程为：x²＋y²=2²
以点C为定点，以1为定长的轨迹方程为：（x－1.5）²＋y²=1²
以点A为定点，以3为定长的轨迹方程为：x²＋y²=3²
以点C为定点，以1.5为定长的轨迹方程为：（x－1.5）²＋y²=1.5²
以点K为定点，以1为定长的轨迹方程为：（x－2）²＋y²=1²
∵☉A的半径为1和☉C的半径为0.5时相互外切于点L,可列方程组得:

解得:x=1,y=0
将x=1,y=0代入☉K的轨迹方程（x－2）²＋y²=1²中验证可得:
点L在☉K上;
同理,☉A的半径为1.5和☉C的半径为0.75时相交于两点Q和H,可列方程组得:

解得：x=1.3125,y²=1.5²－1.3125²
将x=1.3125,y²=1.5²－1.3125²代入☉K的轨迹方程（x－2）²＋y²=1²中验证可得:
点Q和H也在☉K上;
☉A的半径为2和☉C的半径为1时相交于两点M和N,可列方程组得:

解得:x=1.75,y²=0.9375
将x=1.75,y²=0.9375代入☉K的轨迹方程（x－2）²＋y²=1²中验证可得:
点M和N也在☉K上;
☉A的半径为3和☉C的半径为1.5时相互内切于点B,可列方程组得:

解得:x=3,y=0
将x=3,y=0代入☉K的轨迹方程（x－2）²＋y²=1²中验证可得:
点B也在☉K上;
通过以上四组方程组的解都在☉K上这一现象可以推导出以下结论:即给定任意一条线段AB,取其中点C,以端点A为定点,以大于线段AC长度的三分之二而小于整个线段AB的任意长度的线段AE(点E为一动点,在前面尺规作图中,为了作图简明需要,特意说明点E在点D和点C之间,且AE大于线段AC长度的三分之二而小于AC)为定长的轨迹和以中点C为定点,以线段AE的一半为定长的轨迹的交点的轨迹,就是以线段AB的三等分点K(2,0)为圆心,以线段AB的三分之一长度为半径的圆，即（x－2）²＋y²=1²，进而可证得：
☉K：（x－2）²＋y²=1²，将线段AB三等分，三等分点分别为L(1,0),K(2,0)。
如下图所示：

(二)将一给定角用尺规作图法三等分方法的特例证明
为了证明该方法正确，选取一平角运用逆推方法进行推导证明，该方法用平面解析几何方程推导证明如下：
先用等弧线法将一给定的平角三等分，三等分点分别为L和M,取的中点C, 以点A为坐标原点，以AC为X轴建立平面直角坐标系，令线段AC的长度为单位1，则得：
A（0，0），C（1，0）；
∵弦AC的长度为1；（已令）（的弧所对的弦长）
∴☉O的半径OA的长度为，取弧的中点D,则弦==,（45°弧所对弦长），弦=,(60°弧所对的弦长），弦=,(30°弧所对的弦长）；
在以下图中，点H是☉A的半径为AC和☉C的半径为DC时的交点之一，则有：
解得：x=,
∵点H落在x轴的下方，故取其负值根，即―,故H的坐标为：
H(,―)
点G是☉A的半径为AL和☉C的半径为LC时的交点之一，则有：
解得：x=,
∵点G落在x轴的下方，故取其负值根，即,故G的坐标为：
G（）
∴线段GH的中点坐标为：（
又∵直线GH的斜率k=（已知两点坐标求斜率）
∴在直线IJ和GH相互垂直的情况下，直线IJ的斜率=−，即=-
∴依据直线方程之一（点斜式）得：直线IJ的方程为：y-=k(x-)
y-=（x- ）
化简得：y=x-
又∵直线 AC在x轴上，即与x轴重合，故直线 AC的方程为y=0,直线AC和IJ有公共解，即：
解得：

即点K的坐标为K（，0）
∴以K为圆心，以KG为半径的圆的方程为：
☉K：+=
为了验证点L和G都在☉K上，只需将点L(，)和G(,)代入☉K的方程可得：
+=
+=
∴点L和G都在☉K上，故而可证得以点K为圆心，以线段GK=为半径的圆☉K交平角∠AOB所对弧的交点之一L正好为弧三等分点之一。
如下图所示：

(三)将一给定角用尺规作图法三等分方法的普遍证明（0°∽180°）
为了证明该方法正确，选取一任意角运用逆推验证的方法进行推导证明，该方法用平面解析几何方程推导证明如下：
先用等弧线法用尺规作图的方法做一已经被三等分了的任意角，三等分的点分别为L和M,取的中点C, 以点A为坐标原点，以AC为X轴建立平面直角坐标系，令线段AC的长度为a，取的中点D,令弦AD的长度为b，令弦AL的长度为c,取的中点F,令弦AF的长度为d,则得：
点C的坐标为 C（a,0),当☉A的半径为弦AC,☉C的半径为弦AD的长度时，☉A和☉C有公共解，即：
解得：x=,y=±
H点落在了x轴的下方，故而取其负值根，即点H的坐标为：
H[,-
当☉A的半径为弦AL,☉C的半径为弦AF的长度时，☉A和☉C有公共解，即：
解得：x=,y=±
G点落在了x轴的下方，故而取其负值根，即点G的坐标为：
G[，-]
∴线段GH的中点坐标为：[,-]
线段GH的斜率k为：k=
又线段IJ和GH互相垂直
∴线段IJ的斜率=-=
∴依据直线方程形式之一(点斜式)可得线段IJ的方程为：y-=k(x-)
y=x-
又直线IJ和x轴交于一点 K,故而有一公共解：

解得：

所以点K的坐标为：K[，0]
∴线段GK的长度的平方为：
=+=+
∴☉K的方程可描述为：
+
又∵点L是与点G关于 x轴对称的一点
∴将点L[，]代入☉K的方程可验证得：
++
即点L也在☉K上
∴点L是的三等分点之一，如下图所示：