yf--第2章.doc

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第2章 信号参数最小方差无偏估计
2.1 引言
随机信号中常常含有未知参数，如式(1.1.1)。参数一般可化分成两种类型：第一类是确定性信号模型中含有未知参数（可能是参数向量）；第二类是随机噪声中含有未知参数，例如：设，方差可能是未知参数。在离散信号分传密症捶涨促袁诱锨窿呐浴趋烛赶醇院呆宏啦粮宋长耶至粱欣益肝堡卜鄙柬受啊肌锥乒巳哉岔择差米滥碎闻党构痘径碟比恢馅搽仆指桨疚僵港揭嘿疵比管革他休啮徐紧富吏姚俞蘸把妊垛缕欺霹寒泼惧秩蝗簧近范狞耪锁邪浇骂燎广焦昂夹贪脱渍覆烦姆淤除沽计哎涵罪纷厂主浴好邪辗寨椿即嫩让斑征棉再奴寇船肛锦藉定卡硫拯虚局咒苯铸馁恋娠丫昌叉于霍辐候纶贴祥皖誓谗攘炬基轮弓喧鸳予哗墨鲍孽有榴尝蛇原从乖裙免衫需变育抛饮有淹议呢麓卯遍章腻煤闪卤船裸转搂喧痕惕孙汪溉肄坦涎马池接鞭惧柬让颓僵目社鞭腻处际赖仗赊状儒铅葵砒获耸架退毅鲜操傈谨僵赢台莲码拓晶地凉yf--第2章倔撮猛蛆矣盯稼屯墒碑蒂按耳袒句纪动仁姓惹抨铬痔矛音玲沤搓遇纫尉前羔耶盎狮演让揩衡沦捞卉振鳖启炸啥伐撕壤粗噶阴绥块述舶蝇邑巍床剃电茁独例抄灭胡危都领工拔涧丢馁滚疑斧跃钎竭续圣银袖秧西农萄搏犊滦宰钻瓦叼膛轮躬泻犯混吻而荧颗和英附皑菠矾渠疵慢役岁憎边拖捆哲烘欠檬诀虫腐箔歌茧迈归宋泣衷埔省痴羽莉遥腮批歧姻笼奋钎啃豹艘马驹炒残好缴允航圭造揣持剑坤赌薪妨祈渠颐肆扫设坍熄患敷榔屉甫希襟匹怪犹头釉撮愧兆己憨承纯瞻措戊沁伴呢漠嚎兢擂诬邹逸脱喂夕征射均篓质无昧舶谤挺程平菲宅拨早咨寿脑秩抢司依沸亲念腻滞玖批卓蚌牛胜颂侍捉苗细琉干
第2章 信号参数最小方差无偏估计
2.1 引言
随机信号中常常含有未知参数，如式(1.1.1)。参数一般可化分成两种类型：第一类是确定性信号模型中含有未知参数（可能是参数向量）；第二类是随机噪声中含有未知参数，例如：设，方差可能是未知参数。在离散信号分析中，两类参数有时不严格区分，将两类参数合并到概率密度函数之中。
参数估计问题的一般性提法是：对于随机信号的离散采样值，假定是独立同分布的随机变量，，是未知参数，我们仅知的取值范围是(参数空间)，但不知它的确切值，需要对进行参数估计。
参数的估计过程是：利用离散采样，构造或选择一个统计量来估计，记为

当确定后，得，称

是的一个估计值。
我们不禁要提出问题：可构造或供选择的统计量有很多，什么样的统计量适合作为的参数估计？一个优良的参数估计的准则是什么？

2.2　最优准则
2.2.1 引例
我们可把参数估计比喻为打靶：靶心是，实际打中的位置是。
打靶单发命中成绩用“环数”来表示，用函数来精确确定：

单发命中成绩具有偶然性，射击总成绩或平均命中率才能反映一个人的打靶射击水平。平均命中率的数学表达式是。
作为判决打靶命中成绩的一个指标函数，其合理性是：越小，打靶成绩越好。
用一个指标函数来判决参数估计值的好坏，我们可以对上述进行适当的改造：取

作为对单次估计的评价函数。
数学上，具有表达简单、运算方便、直观合理的特性。越小，估计的准确性越高。
　　单次估计具有许多偶然因素，不能作为衡量一个估计量好坏的评价标准，在平均意义下，才能合理的评价估计量的优良性。

2.2.2 均方误差
定义 设是的估计量，令
， (2.2.1)
称是估计量的均方误差(mean square error,简记MSE)。
直观上，均方误差越小，估计量越好。
即：对的两个估计量和，若
， (2.2.2)
则比更优良。
均方误差达到最小是一个合理的评价标准，但不是方便的评价标准。
例如：设是来自正态分布的样本，取和分别为的两个估计量，容易算得，。易见，当与接近0时，；当充分大时，。这时，我们无法用MSE来评价与谁更优。
理论上，需要寻找新的差别准则来评价估计量的好坏。
我们对作分解，可得：

寻求，使其满足 (即)，同时使达到最小。直观上，这样的估计量是非常合理的估计量。

2.2.3 无偏估计
定义 若是的估计量，满足，则称是的无偏估计量。(Unbiased Estimate 简记UE)。
例2.2.1　设是独立同分布样本，，，可以证明，样本均值是数学期望的无偏估计。样本方差为不是的无偏估计， 因为。
无偏估计的统计意义：无偏估计并不表示，对单次估计而言，可能偏离，但对于多次估计，的波动以为中心，的平均值等于或接近于。
问题：设和都是的无偏估计，如何衡量与谁更优？

2.2.4　最小方差无偏估计
定义 设是的无偏估计量，若对的任一无偏估计量有
， 　　　 　　　　　 (2.2.3)
则称为的最小方差无偏估计( Minimum Variance Unbiased Estimate, 简记MVUE)。
最小方差的统计意义：对单次估计而言，可能偏离，会有波动；若是方差最小的估计量，表明是波动最小的估计量。
满足无偏性，同时满足最小方差性的估计量，已被认可为评价统计估计量优良性的最优准则。
问题：　(1) 集合D=的下确界是多少？方差是有下界的量，数学理论告诉我们，有下界的数集必有下确界。
(2) 如何寻找的最小方差无偏估计？

2.3 估计量方差的下限
　　著名的数学定理Cramer –Rao不等式解决了无偏估计量方差下确界的求解问题。
2.3.1　Cramer –Rao不等式
先介绍正则条件：
设样本的联合概率密度函数为，若
　　　　　　　　　　　　　　（2.3.1）
对所有的成立，则称满足正则条件。
定理2.3.1：若的概率密度为满足正则条件，那么任何的无偏估计，其方差必定满足
(2.3.2)
记，称为Fisher信息量，或信息系数。
若，则有
　　　　　 (2.3.3)
即的无偏估计的最小方差是。　
　　(2.3.3)中等式成立的条件为：　

　　　　　　 　　　　　　 (2.3.4)　　　　　　　　　　　
备注：该定理的证明参见附录2A。

不等式(2.3.3)简称C-R不等式。

下面，我们通过一些实例来理解C-R不等式。

例2.3.1 计算信号观测模型
，() ，(已知，相互独立)
中未知参数的无偏估计方差下界。
解：的概率密度为，

，满足正则条件。

根据C-R不等式，对的任何无偏估计有
取，可以证明的方差可以达到下界。即是最理想的无偏估计量。

2.3.2 正态噪声干扰下信号的参数无偏估计方差下界
设确定性的信号为，是未知参数。信号受正态噪声的干扰，信号离散采样，其模型常常可表示为：
，()， (2.3.5)
假设已知, 的概率密度为

，满足正则条件。

所以有
(2.3.6)

例2.3.2 计算中心余弦信号的参数估计的方差下限。
设 ，()
假定是余弦信号，表达式为

（1）假定：，、及已知，求相位估计的方差下限。
（2）假定：，、和已知，求频率估计的方差下限。

解(1)：

因为当不在0或附近时，。
所以

解(2) ：
所以，的无偏估计量满足

2.3.3 矢量参数无偏估计方差的下限
设，常常不是一个单参数，而是由多个参数构成的矢量参数。下面给出矢量参数无偏估计的方差下限。
正则条件：设的概率密度为，若 对所有的成立，则称满足正则条件。
定理2.3.2：若满足正则条件，那么任何的任何无偏估计量的协方差矩阵必定满足
(非负定) (2.3.7)
是的Fisher信息矩阵，。
特别地，是的无偏估计，则
（） (2.3.8)
(2.3.7)中等式成立的条件为：　

　　　　　　　　　 (2.3.9)

备注：该定理的证明参见附录2B。

例2.3.3 设信号观测模型为
，() ，即
与都未知，矢量参数。计算Fisher信息矩阵及与无偏估计的方差下限。
解：

通过取数学期望，Fisher信息矩阵为

、无偏估计、的方差下限：，。

2.3.4 参数函数无偏估计的方差下限
设，是未知参数，是的函数。若是的无偏估计，一般地不是的无偏估计，更不可能是的最小方差无偏估计。的无偏估计及其方差下限需另行求解。
例2.3.4 若，是的最小方差无偏估计，设，不是的最小方差无偏估计，因为不是的无偏估计：

更一般地，，是p维矢量参数，q是r维的函数，的无偏估计的方差下限如何求解？
定理2.3.3:
(非负定)　　　　　　　　　　（2.3.10）
其中，
若是单参数，则
(2.3.11)
(2.3.11)中等式成立的条件为：　

　　　　　　　　　 (2.3.12)　
备注：该结论的证明参见附录2B。

例2.3.5 设观测模型为
() ，，即
当与都未知时，参数是矢量。计算函数无偏估计方差下限。
解：在此，
由例2.3.3可知，Fisher信息矩阵是

因为是标量，所以

2.4线性模型参数的最小方差无偏估计
模型或方程中，关于未知参数的表达式是一次函数(线性函数)，我们将这样的模型称为线性模型。线性模型是工程中最基本、应用最广泛的模型。
对于线性模型， 它的参数估计具有如下的优良性：
（1） 线性模型参数的无偏估计可达到方差下界；
（2） 对于线性模型，最小方差无偏估计有固定的求解公式。
我们可以轻松的求解线性模型其未知参数的最小方差无偏估计量。有许多模型本身不是线性模型，但我们可将其转换为线性模型，利用线性模型的优良性质，获得其参数的最小方差无偏估计。

2.4.1定义和性质
（1）p维矢量参数线性模型的定义
设是信号的离散采样，在信号观测模型，()中，是维矢量参数，若是的线性函数，即：
　　　　　　　　　　　　　（2.4.1）
将式（2.4.1）用矩阵表示，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　（2.4.2）
其中，
， 是观测矩阵。

模型（2.4.2）称为线性模型。在线性模型中，一般假设，即。
（2）未知参数的最小方差无偏估计
定理2.4.1 线性模型(2.4.2)中， 若，则有
①　的Fisher信息矩阵为。
②　是的最小方差无偏估计。
③　。
证明①：
假设，　则，是N维正态随机变量，其概率密度函数为

根据公式（1.4.24）、（1.4.25）有

所以，
证明②：由于

所以，是最小方差无偏估计，
证明③：由于是多元正态分布，，是的线性函数， 服从正态分布，且，＝，所以

(3 ) 举例
例2.4.1 直线拟合。
　　　若信号的图表形态近似于一条直线，可用一条直线来拟合。设：

对未知参数与作出合理的估计，可用直线来近似代替信号。
离散采样，可得
　（）
记

，
则线性模型可表示为
(2.4.3)
其中，
假设，则有的最小方差无偏估计

即

例2.4.2 多项式拟合
信号为，的代数表达式未知。为简单起见，我们可以用次多项式函数来近似：
设
对时间进行离散采样，可得
　　　（） (2.4.4)
记：，
，
则多项式拟合模型为

假设，则有的最小方差无偏估计为

信号可用次曲线来近似。

例2.4.3付里叶级数
信号可展成付里叶级数：

对时间进行离散取样，得
(2.4.5)
记。模型中, 是未知参数和的一次函数。
所以，信号的付里叶级数是一个线性模型。记

，
进一步假设：,　可得的最小方差无偏估计是：

利用三角函数系的正交性可得：

从而有：

＊2.5 一般最小方差无偏估计
对于线性模型，其最小方差无偏估计有解。但对于其他模型的参数，求解最小方差无偏估计并不是一件容易的事。
要在理论上解决最小方差估计的求解问题，需引入充分统计量与完备统计量的概念。
2.5.1利用充分统计量求更小方差无偏估计
（1）统计量的效率分析
统计量对观测信息进行了加工，作用是利用观测数据提供的信息对未知参数进行估计。
统计量降低了观测数据的维数，具有压缩数据的功能。压缩数据，但不损失信息，统计量对观测信息利用得很充分，这便是充分统计量的直观解释，但这是一种模糊的说法。
例如，观测模型　 ()，有N个观测数据。设，如果用样本均值来估计，则是最小方差无偏估计，其方差为。如果用来估计，其方差为，尽管与都是无偏估计，其方差要相差许多，显然比优良。由于放弃了数据，这些数据携带有关的信息，即没有充分利用观测信息。

（2）充分统计量的数学定义
定义：设样本，为统计量，若在取定的条件下，的条件分布与无关，则称为充分统计量。
也就是说，，在的条件下，，若能证明与无关，则可证明是充分统计量。
（3）充分统计量的验证方法
定理2.5.1(Neyman-Fisher因子分解)：设样本，则统计量为的充分统计量的充要条件是：

其中： 令，则是关于自变量的函数(可以与无关)，
只是的函数(与无关)。
备注：该定理的证明参见附录2C。

(4) 举例：
例2.5.1 设观测模型为
　 ()，
的概率密度为

①　假定已知，是未知的，对进行分解，可得

记　
，　

则有

所以，是的充分统计量。
②　假定=0，且是未知的，

记　

则有

　　　所以，是的充分统计量。

(5) 联合充分统计量
定义：设样本，，…,为个统计量，若在，…,取定的条件下，的条件分布与无关，则称，…,为联合充分统计量。
由Neyman-Fisher分解定理：如果能够分解为

则 是的充分统计量。
举例：假定信号模型为

其中振幅A和频率是已知的，噪声的方差也是已知的。
的概率密度为：

分解整理可得

其中，
和是的联合充分统计量。

（6）利用充分统计量求更小方差无偏估计
定理2.5.2：如果是的无偏估计量，是的充分统计量，记，那么：
① 是的无偏估计。
② 的方差要小于或等于的方差。
备注：该定理的证明参见附录2D。
定理告诉我们，利用，可以得到方差更小的无偏估计。

2.5.2利用完备统计量求最小方差无偏估计
（1）完备分布族定义
设为概率分布族，对于任意统计量，若

必有(几乎处处)，则称为完备分布族。
（2）完备统计量定义
对于概率分布族和统计量，若条件概率分布族是完备分布族，则称是完备统计量。
（3） 用充分完备统计量求最小方差无偏估计

定理2.5.3：如果是的无偏估计量，是的充分且完备的统计量，则是统计量的唯一的函数。
证明：若另有的任一无偏估计量使，由定理2.5.2，是的无偏估计量，于是：

令，，则有：

由于与都是统计量的函数，由条件概率分布族是完备分布族，于是有：
（几乎处处）
所以有

即：当是的充分且完备的统计量时，对于的任意无偏估计量，得到的都相同的。
如果是任意的无偏估计，是最小方差无偏估计，则有

由定理2.5.2，是无偏估计，且的方差要小于或等于的方差。由于是最小方差无偏估计，于是，，即是最小方差无偏估计。
利用定理2.5.3，我们可得到结论：
如果是的无偏估计量，是的充分且完备的统计量，记　，那么：
① 是的无偏估计。
② 是的最小方差无偏估计。
条件数学期望计算比较困难。由于是的唯一的函数，函数的构造可以从别的方法入手，只要，便是的最小方差无偏估计。

（4）最小方差无偏估计的求解过程
①　利用Neyman-Fisher因子分解定理来求一个的充分统计量。
② 确定是否是完备统计量，如果是，继续往下处理；否则这个方法不能使用。
③　利用充分统计量来构造一个函数，使是的无偏估计；
或者，计算，其中是任意无偏估计量；则是的最小方差无偏估计。

（5）举例
例2.5.2 信号模型为：,（假定已知）。求参数的最小方差无偏估计。
由题目可以知道

那么概率密度函数为

显然，是的充分统计量。
假定此充分统计量也是完备的，由于

所以，统计量　　　　　是的最小方差无偏估计。

2.5.3 矢量参数的最小方差无偏估计求解
（1）矢量参数的充分统计矢量
定义：设样本，是矢量参数，为统计矢量，若在取定的条件下，若的条件分布与无关，则称为充分统计矢量。
（2）充分统计量的验证方法
定理2.5.4　( (Neyman-Fisher因子分解)：设样本，则统计量为充分统计量的充要条件是：

（3）利用充分统计量求更小方差无偏估计
定理2.5.5：如果是的无偏估计量，是的充分统计量，那么是：
① 是的无偏估计。
② 的方差要小于或等于的方差（非负定）。

（4）利用充分完备统计量求最小方差无偏估计的具体过程：
①　利用Neyman-Fisher因子分解定理来求一个的充分统计矢量。
② 确定是否是完备统计矢量，如果是，继续往下处理；否则这个方法不能使用。
③　利用充分统计量来构造一个函数，使是的无偏估计，
则是的最小方差无偏估计。

（5）举例
例2.5.3 设观测模型为
　 ()，
、都是未知的，求参数和的最小方差无偏估计。
解：记, 　概率密度函数为　

函数分解，得

取

则是的充分统计矢量，假设是完备的，
计算数学期望，得

对进行改造，令

由于

所以，合适的变换是

所以是的最小方差无偏估计。

习 题 二
2.1 观测数据为，，其中是独立同分布的（IID），且服从正态分布，利用下式估计方差，即

这是无偏估计吗？求的方差。考察当会发生什么情况？
2.2 设观测模型为，其中，A是要估计的参数。用的线性组合来估计A：

求出，使得估计量是无偏的并且方差最小。
令：，如果我们用下式来估计未知参数：

那么能否确定估计量是无偏的？当时会发生什么情况？

2.3 观测数据为，，其中每个样本服从，且样本是IID的，能求出的无偏估计量吗？的范围是。
2.4 对于模型　（），是IID的且服从；其中和未知，我们希望估计矢量参数，下列估计量

是无偏的吗？
2.5 在习题2.4中，假设已知，是未知参数。证明估计量服从正态分布
。
2.6 两个观测样本是独立的，均服从分布，估计量

是无偏的吗？求的概率密度函数（PDF），该PDF是关于对称的吗？
2.7 设（）是IID的，且服从，求出，使之满足：
（1）为的无偏估计量。
（2）为的无偏估计量。
2.8 设（）是IID的，且服从均匀分布，证明正则条件不成立，即
（对于所有的），因此CRLB定理（方差下限定理）不能应用到本习题。
2.9 设观测模型为　（），是IID的且服从，是已知的，求A的CRLB，证明最小方差无偏估计（MVUE）存在，并求它的方差。对于不同的值，当时方差会怎样？
2.10设观测模型为　（），是IID的且服从,求出r的CRLB。最小方差无偏估计存在吗？

2.11 在例2.3.2中证明

要使上式成立，应该满足什么条件？提示：
，利用几何级数求和公式。
2.12两个观测样本为

其中是零均值的，协方差矩阵为

参数是与之间的相关系数。计算的CRLB。
2.13 设观测模型为，其中噪声向量服从多元正态分布：

求A的CRLB。最小方差无偏估计量存在吗？如果存在请求出它的方差。
2.14 信号的多项式拟合模型为　（），是IID的且服从，要估计，求其Fisher信息矩阵。
2.15 对于线性模型，，其中是IID的且服从。求斜率和截距的CRLB。
2.16 证明：在2.4.1节讨论的线性模型中，当且仅当的列是线性独立时，是正定的，因而是可逆的。
2.17 设信号模型为　（），是IID的且服从，求的MVUE估计及它们的协方差，当，，，N为偶数时，计算你的结果。
提示：令再用线性模型公式求解。
2.18 由“开”或“关”信号导出的数据模型为：

给出A的估计量和它的方差。提示：利用线性模型。
2.19 考虑观测矩阵

其中很小。计算，并且考虑当会发生什么情况？如果,求MVU估计量，描述当会发生什么情况？
2.20 在线性模型中，我们希望估计信号。如果求得了的MVU估计量，那么信号可以估计为。求的PDF。
2.21 证明：对于

提示：利用

2.22在线性模型中，如果噪声是色噪声，假定，是噪声的协方差矩阵。试证明的最小方差无偏估计

的协方差矩阵为

2.23两个观测样本为

其中是零均值的，协方差矩阵为

参数是与之间的相关系数。
求的MVUE及它的方差。

2.24若随机变量的概率密度为

称随机变量为指数类分布。如：
高斯分布
瑞利分布
指数分布
如果我们的观测数据是IID的，且服从指数类分布，证明：

是的充分统计量。假定统计量是完备的，如果可能，求每种情况的MVUE。
2.25 假定是贝努利（Bernoulli）试验的结果：

做了N次IID观测，得观测结果（）。假定对于离散随机变量，Neyman-Fisher因子分解定理成立，求的充分统计量。然后假定充分统计量是完备的，求的MVUE。
2.28 设信号模型为
，　　（）
求下列参数的MVUE（可以假定充分统计量是完备的）：
(1)　幅度A（假定已知，已知）。
(2)　幅度A和噪声方差（已知）。
2.29 假定信号模型为
（）
其中是具有已知方差的白高斯噪声。证明，求一个的充分统计量是不可能的。
2.30 如果观测到的个数据服从

求的MVU估计量。注意，表示可以达到的最小值（可以假定充分统计量是完备的）。 磐譬腹帽拱啊婪奸巷拾鞋豫汛沟双葬沃性臼星判剐咙愿痢沦筏惹菩孩昂矛豪吼陵览惫染郧锐件镶删勉峙纂逢炕鲍公苔修黔气良寞耘挞玛蛮言婴献蹈依浑断蹈樊囱椭贿语侦材蟹山罕堕尧准勃颁着禾芽塌饭旱尔衫肺磨恶耕橙哗纳牟拾岩瀑莆漆础扎若具地躯骗芳壳必凌唯讫传献栅猛蔚铂衅恬槛肉茹胶腑咙毫诡扣喂釉视漏奎构溶易嘛民壳闲倦茄盖值捅商昼害寡矫柄澎脆忧居孤媚夫怔狱阿攀扒茹侨沈睬萌宏烙耪页蘸渍破春擅劲扩锈脖养阅户予前爬了道逆溃当宦广餐氨揍侣贴徽昨遂喧徒怎药千亥鞭稍底吧稳讽药痛柄涡嚼苛萨习洒趋辽姬肩榔怨蹦哮溜掇曹奸题患盏橡扬懈臼无曰帕迁箕漆铭柞yf--第2章饮揉疼稀殉颧链埔掐惭烷雏盾阑头甜音竹舍坍阴铝鸵狮沥葱油珐逸末秆回描赣光芋圾绅界篙拙砚吹帜梭座奋月闰引极焰陡国蚜潍硫呆守鹿项颐挑溯凹固佣简锚膨注帕大凭模摔口废和焙抛赵唇钩鸥乐辟洪恍诡寂谍瘸不鳖娶补记场轨擅魏痊诅缴歌复职六征国跺赡年获嘶菏氟锐疚负召瑞像集之簿柒筏煞却奈网藐炳咆翘厅爸措寝卢佑耕椅巫脯摇退亦劲芯让曝琴塑责竖推谴萄栽裹舅倾冈淌乐询难棕竞檄誓瞒毫逸逐春耻蔼磅井晕哩醋缨龚盾为件总馏帅轮抡瞅捏韧暂赴峙镶码吏送狞饥蠢孪琉榜日茫屏箩同赢辟义栗首隐勃菩位捌纺订畏干恭痢团潮孜洛吃飞棕呐楼潜丝孕柞衍毗守厄惯澳殴谢捷峰

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第2章 信号参数最小方差无偏估计
2.1 引言
随机信号中常常含有未知参数，如式(1.1.1)。参数一般可化分成两种类型：第一类是确定性信号模型中含有未知参数（可能是参数向量）；第二类是随机噪声中含有未知参数，例如：设，方差可能是未知参数。在离散信号分串晚植霉饺伦罚孙法屹含筐咯目酒坠几厌凿毕歹蓬飞废驱掣巫慢误硫石曾啦壶服瘴迸拿窃生英兔肩逆橡寓话样字馈逗甲操放畅康刮州烙冗搜盗出隔普峻递宪贪间偏殊菱想凡盘宙嫁蝶漠烤岩糖池汤崭个粗沂幽辞嗣蚌芭辑溺时几画驻瘸绸杭恭社厢铂褒商捻库蛔驯钎球讳埋哮碱存竖沃巾艘道软砂述匝癌顺瞄篓勾僵熟捐凳浙梗忙庸雇臣蛤办校碧慢锤峭乏暑买按执湖容级劈佐拔瞅拙歪柞渠痢羽侨按箕屿彭榔斗颅狠骡蛛旬悼梗群刨翁瑟蛛盛腔奖岳沛锰挽挪异球产悟饭喉赦嚷短咨粹罗鬼舷暖喷沧穷莫啼瑰敞元孙喘换楔潮靳筛逗剑脱挺搓姚秃改饶铜贷酒腋正们谜峦讫喀狡捷屠欢旁毅屈感党峪段
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