正弦余弦函数之叠合.doc

§3-6 正弦餘弦函數之疊合

(甲)正餘弦的疊合

我們考慮正餘弦函數圖形，如圖中虛線的圖，圖形像波動的形狀，有高有低，起伏很規則。高的地方就是波峰，低的地方就是波谷。如果兩個波動同時進行，疊合在一起後，會變成什麼樣子呢？

從上圖可以看出，y=sinx+cosx的圖形基本上與y=sinx(或y=cosx)的圖形類似，只是振幅與位置有些改變或移動。進一步觀察，當sinx=cosx時，此時y=sinx+cosx的圖形出現波峰與波谷，且y=sinx+cosx的圖形向右移動若干單位。
我們猜測y=sinx+cosx 可表為y=rsin(x+q)，要如何決定r與q 呢？

y=rsin(x+q)=r(sinx×cosq+cosx×sinq)=sinx+cosx Þr×cosq=1 且 r×sinq =1
Þr2=2 Þr=
Þcosq= 且 sinq = Þ可取q=
Þy=sinx+cosx=sin(x+)
(1)疊合的方法：
考慮y=f(x)=a×sinx+b×cosx，a,b為實數，根據前面例子的推測，我們也按照前面例子的做法，將y=f(x)=a×sinx+b×cosx化成y=f(x)=rsin(x+q)
y=rsin(x+q)=r(sinx×cosq+cosx×sinq)=asinx+bcosx
Þ Þ(*)2+(**)2 Þr2=a2+b2 Þr=
Þcosq= 且 sinq=。

q的找法如下：
在以原點為圓心之單位圓上，根據cosq= 且 sinq=，先判別出q終邊的位置，在找出q的值。我們將這些結果寫成一個定理：

若設a,b為實數，且a2+b2¹0，
則函數y=a×sinx+b×cosx可以表為y=×sin(x+q)，
其中q為滿足sinq=，cosq=的角q。

證明：
因為y=asinx+bcosx=(sinx+cosx)，
而且()2+()2=1，點P(，)在單位圓上，因此可找到一個角度q，使得sinq=，cosq=，
所以y=(cosq×sinx+sinq×cosx)= sin(x+q)。

[討論]：
如果選擇點Q(，)，則點Q亦在單位圓上，因此可找到 一個角度j，滿足cosj=，sinj=，
於是y=a×sinx+b×cosx=( sinjsinx+ cosjcosx)= cos(x-j)。

例如：
將y=f(x)=sinx+cosx 疊合成正弦與餘弦函數
(1)將y=f(x)=sinx+cosx 疊合成正弦函數先求兩係數的平方和
的正平方根==2，再將原式提出2
y=f(x)=sinx+cosx =2(sinx+cosx) =2(sinx×cosq+cosx×sinq) =2sin(x+q)
Þcosq=且sinq= Þq為第一象限角Þ取q=
Þ y=f(x)=sinx+cosx=2sin(x+)

(2) 將y=f(x)=sinx+cosx 疊合成餘弦函數先求兩係數的平方和的
正平方根==2，再將原式提出2
y=f(x)=sinx+cosx =2(sinx+cosx) =2(sinx×sinq +cosx×cosq ) =2cos(x-q)
Þsinq=且cosq= Þq為第一象限角Þ取q=
Þ y=f(x)=sinx+cosx=2cos(x-)

(2)圖解正餘弦函數的疊合：
DF+DE=asinx+bcosx
CG=AC×sin(x+q)，其中AC=，而tanq =
因為DF+DE=CG
所以asinx+bcosx=sin(x+q)

結論：
(1)可將正餘弦函數的線性組合asinx+bcosx化成正弦函數，也可化成餘弦函數。

(2)-£ y=a×sinx+b×cosx£

(3) f(x)=a×sinx+b×cosx的週期為2p 。

(4)y= asinx+bcosx=sin(x+q)的圖形是先將正弦函數y=sinx的圖形向左(q>0時)，或向右(q<0時)平移|q|單位後，再上下伸縮倍而得到的圖形。

(5)函數y=asinx+bcosx=sin(x+q)的週期為2p，振幅為，
最大值為，最小值為-。

[例題1] 設且，若，
則m = 。(93學科能力測驗) Ans：306
[例題2] 設y=cosx-sinx+1，在下列範圍內，求y的最大值與最小值。
(1)x ÎR (2) £x£ Ans：(1)3,-1 (2) 2,-1

[例題3] 設y=3sinx+4cosx+10，0£x£，則當x=？時，y有最大值M=？
Ans：x=-sin-1，時M=15
[例題4] 設0£x£p，求y=3-2×cos()+2sinx的最大值，最小值。
Ans：5，3- (利用和角公式先化簡cos())

(練習1) 求csc10°-sec10°之值。 Ans：4
(練習2) 設sinx－cosx＝acos(x－q)，
其中a＞0，而0＜q＜2p，則a＝　　　　　，而q＝　　　　　。Ans：a＝2；q＝
(練習3) (1)y=sinx-cosx Þ最大值為_______，最小值為_______。
(2)y=sinx-cosx+1 Þ最大值為_______，最小值為_______。
(3)y=5sinx-12cosx Þ最大值為_______，最小值為_______。
(4) y=-40sinx+9cosx Þ最大值為_______，最小值為_______。
(練習4) 試求下列各函數的極大值與極小值
(1)f(x)=sinx+cosx+5
(2)g(x)=2sin(x-)+2cosx+5
(3)設x-y=，求h(x)=2cosx+2siny+5的極大值與極小值。
Ans：(1)極大值=7，極小值=3 (2)同1(3)同1
(練習5) 設y=sin()+cos2x
(1)若y=asin(2x+b)，其中a>0，0£b<2p，求實數a,b之值。
(2)若0£x£，求y之最大值 與最小值 。
Ans：(1)a=，b= (2)，-
(乙)三角函數的極值

[例題5] 在下列條件下，求y=2sin2x-3cosx+1之最大值及最小值。
(1)0£x£2p， Ans：M=，m=-2 (2)0 £x£，Ans：M=1，m=-2
[例題6] (2倍角+疊合求極值)
設0£x£p，若f(x)=3sin2x+4sinx×cosx-cos2x，則
(1)當x= 時，f(x)有最大值= 。
(2)當x= 時，f(x)有最小值= 。
[答案]：(1)，5 (2)，-3
[解法]：
將f(x)=3sin2x+4sinxcosx-cos2x
=3´+4´ -
=2sin2x-2cos2x+1
=4(sin2x-cos2x)+1
=4sin(2x-)+1
因為0£x£p，所以-£2x-£ Þ -1£sin(2x-)£1
當2x-=Þx=，f(x)有最大值5。
當2x-= Þx=，f(x)有最小值-3。
作法：正餘弦偶次式，求極值
f(x)=a sin2x + b sinx cosx + c cos2x + d
(1)判定角方相同(∵角方依次為：x2,xx,x2，均視為2次方)

(2)利用降次公式化同角，
sin2x=___________，sinx cosx=____________，cos2x=_____________
(3)產生疊合標準型Þ將正弦+餘弦化為單一函數
f(x) = a sin2x + b sinx cosx + c cos2x + d

= a´_________+b´_________+c´__________+d

= sin2x + cos2x + (a+c+2d)
化f(x)=A sin2x + B cos2x + C 型後，求最大最小值。

[例題7] 設f(q)=sinq cosq +sinq +cosq +1
(1)q為任意實數時，f(q)之最大值為 ，最小值為 。
(2)£q£時，f(q)之最大值為 ，最小值為 。
[提示：令t=sinq +cosq ]
Ans：(1)+，0 (2) +，2
[解答]：先令 t=sinq +cosq 則t2=sin2q+cos2q+2sinqcosq
∴sinqcosq= 且t=sinq+cosq=sin(q+)
(1)原式 f(q)=sinq cosq +sinq +cosq +1
= +t+1= t2+t+ = (t+1)2
又qÎRÞ-£t£
∴f(q)之最大值為 (+1)2，最小值為0。
(2) £q£時Þ£q+£Þ£sin(q+)£1
1£ sin(q+)£Þ1£t£
∴f(q)之最大值為 (+1)2，最小值為2。

A
B
C
O
D
[例題8] 某公園內有一半徑50公尺的圓形池塘，池塘內有美麗的荷花池與錦鯉。為了方便遊客觀賞，並使整體景觀更為雅緻，打算在池塘上建造一座“T”字型木橋(如右圖)。試問這座木橋總長+最長有多長？此時與兩段木橋的長度各為多少？
Ans：總長50+50公尺，此時=40,=50+10

[例題9] 如圖，扇形OAB的中心角ÐAOB=90°，半徑==1，P為弧AB上的動點，^，^，令ÐAOP=q，+=S，
(1)請以q表示S。(2)求S之最大值。 Ans：(1)cos2q+sinq cosq (2)

(練習6) y=cos2x－3cosx＋3　之最大值為______，最小值為_______。Ans：7,1
(練習7) 設0£x£，則f (x)＝sin2x＋sinxcosx＋2cos2x最大值為　　　　　，最小值為　　　　　。Ans：；1
(練習8) 設0£x£2p，f(x)=1+sinx+cosx-sinx cosx ，則下列何者為真？
(A)f(x)最大值為2 (B)f(x)最小值為1- (C)x=0,,2p時f(x)有最大值
(D)x=225°時，f(x)之值為最小值 (E)f(x)之最大值與最小值之和為-
Ans：(A)(C)(D)(E)
綜合練習
(1) 求 - 的值。
(2) 關於函數y=f(x)=(sinx+cosx)的圖形，
下列敘述那些是正確的?
(A)y=f(x)的週期為。(B) y=f(x)的振幅為。
(C)y=f(x)的圖形與y軸的交點為(0,)。
(D)y=f(x)的圖形與x軸有無限多個交點。
(E)y=f(x)的圖形對稱於原點。
(3) 關於函數y＝sinx-cosx之圖形(A)週期為2p　(B)週期為p　(C) y之最大值為2　(D) y之最大值為　(E)對稱於原點。
(4) 下列哪些函數的最小正週期為 π ？ 。(92學科能力測驗)
(1)sinx+cosx (2)sinx-cosx (3)|sinx+cosx| (4)|sinx-cosx| (5)|sinx|+|cosx|
(5) y=cosx-sinx，0£x£p ，在x=a時，有最大值M，在x=b時，有最小值m，求a ,b ,M,m。
(6) 下列各題經過變換後，求其最大值與最小值。
(a)求y=sin(x+)+sin(x-)之最大值與最小值。
(b)求y=2sinx+2sin(x+)之最大值與最小值。

(7) 函數y=12sinx-5cosx，x的範圍如下，分別求y的最大值與最小值。
(a)x ÎR (b)0£x£

(8) 設£x£，y＝cos2x－4sinx－3，
則(a)當　x＝_________時，y　有最小值為_________。
(b)當　x＝_________時，y　有最大值為_________。

(9) 設<x<，解cosx-sinx=1。
(10) 如右圖，正方形A與B的面積和為1，
(a)設正方形A與B的邊長分別為sinq、cosq，
請利用sinq與cosq來表示DMNL的面積。
(b)請求出DMNL的面積的最大值。
(11) 設x+y=，求sinx+2siny的最大值為何？
(12) 求y=3sin2x+4sinxcosx-cos2x 其中£x£p，求y的最大值與最小值，並說明此時x值為何？。

(13) 如右圖，以為直徑做一圓，且=2，P點在半圓上，設ÐPAB=q，
(a)試以q表示3+4 (b)試求3+4的最大值。

進階問題
(14) 求y= 的極值。

(15) 半徑為r的圓內接矩形，令其對角線夾角為q；
(a)試以r，q 表其周長。 (b)試求周長的最大值。

(16) 已知扇形OAB的圓心角為，半徑為1，P為AB弧上
的動點，^於C點，^於D點，試求
四邊形PCOD的最大面積。

綜合練習解答
(1) 4
(2) (C)(D)
(3) (A)(D)
(4) (3)(4)
(5) a=0，M=1；b=，m=-2
(6) (a)最大值為，最小值- (b)最大值為2，最小值-2
(7) (a)M=13,m= -13(b)M=12, m= -5
(8) (a) ,-7 (b),
(9) x=
(10) (a)cosq(sinq-cosq) (b)
[解法]：
(a) DMNL=×=×cosq×(sinq-cosq)
(b) ×cosq×(sinq-cosq) =(cosq sinq -cos2q) =[sin2q-]
=[sin2q-cos2q-] =×[sin(2q-)-] DMNL的面積的最大值為
(11) [提示：y= - x，sinx+2siny=sinx+2sin( - x)=2sinx+cosx]
(12) x=，最大值5與x=最小值1-2
(13) (a)6cosq +8sinq (b)10
(14) 0£y£ [提示：令y= Þsinx-y×cosx=3y-1 Þsin(x+a)=3y-1Þsin(x+a)= Þ||£1 Þ 0£y£。]
(15) (a)4r()，(b)4
(16) [提示：連，並設ÐPOB=q，0£q£，則四邊形PCOD的面積=sinq cosq +sin(-q)cos(-q)=[sin2q+sin(-2q)]=(sin2q+cos2q)=sin(2q+)]
~3-6-10~