勾股定理的几种推广.doc

科研论文

勾 股 定 理 的 几 种 推 广

姓 名： 项 继 宇
学 校： 韶山市银田学校
学 段： 初中
学 科： 数 学
手 机： 15673226675
勾股定理的几种推广

摘要：本文利用联系的观点，发散思维，从不同的角度来理解勾股定理和发现问题，分别从射影，质点的运动，几何的割补思想，代数，数列等角度，尝试把勾股定理推广到更一般的情形，得到了一些结论，供大家参考。

关键字：勾股定理 推广

几何学家陈省身说过，中学几何中最重要的定理就是三角形内角和定理和勾股定理，其他定理就没有那么重要了。 勾股定理作为中学阶段一个重要的定理，有着广泛的应用，是度量几何发展的光辉成就。本文尝试从不同的角度理解勾股定理，从不同角度推广勾股定理，由低维向高维的推广已有很多文章研究，本文将不再重述：

在Rt△ABC中,a,b是直角边,c是直角边，
称之为勾股定理。

1. 在勾股定理中，把b看成是底a上的高，勾股定理反应了底a和高b,与
另一边c 之间的关系。在一般的三角形中呢？

定理[1]： 任意三角形中，锐角（或钝角）所对边的平方等于另两边的平方和
减去（加上）这两边中一边与另一边在这边上射影乘积的二倍。

证明：如图d 是a 上的高，有勾股定理可得：

故：
其中：是b在a 上的射影。在锐角三角形中，证明方法同样。

2. 质点A沿某一方向移动b后，转动90°再移动a ，这时质点A的位移的长度
c,可表示成：。现考虑：
① 点
易知： 即为余弦定理。
实际上定理[1]和余弦定理本质是相同的。
②质点（假设两次转动的方向相同，在同一平面内）
如图：a,b,c表示向量，设

可以看到与余弦定理有着很好的相似性，也可以继续推下去。这里由于转动方向和角度的不确定性，采用向量的方法总是可求的，注意在空间中可能较为复杂，在三维空间中向量可能是空间的，这时夹角不能有已知角度来确定，后文中我们给出一个与角度无关的边的等量关系。

3. 勾股定理的几何推广
勾股定理的发现源于土地丈量过程中产生的割补思想。在直角三角形ABC中，以每条边为边长向外做一个正方形，两直角边产生的正方形的面积和等于斜边产生的正方形面积。源于这种思想，我们试图推广到任意三角形。
定义：在任意△ABC中如图，分别以两个较短边为边长，向外部做一个正方形，把△ADE称为△ABC的补三角形。
直角三角形的补就是直角三角形。
锐角三角形的补是钝角三角形，钝角三角形的补是锐角三角形。

定理[2]：分别以三角形两条较短边（交点为A）为边长的两个正方形面积的和与补三角形的外接圆过A点的直径与最长的边组成平行四边形的面积相等。

证明：如图：△ABC的补三角形为,设
的外接圆半径为R。
延长FA到G，使得FA=AG，连接GE,GD
易知：
且ACEG,ABDG均为平行四边形。

不妨设
则：
故：

得证。

实际上在这里平行四边形ACEG,ABDG分别于两个正方形同底等高，故面积相等。对勾股定理的几何推广有许多的方式，主要的思想都是一样的。

4. 勾股定理的代数推广。
一个自然的问题：在Rt △ABC中，c为斜边，有, 两个式子能不能合成一个式子？

定理[3]：在△ABC中，a,b,c分别表示三边，设a为最大边，存在k>1，使得成立。
证明：构造函数，
其中a,b,c是三角形的边长。显然都是大于0小于1的。
设,
单调减小。
注意到：
所以存在使得成立。.
定理[4]：在△ABC中，设a为最大边，存在k>1，使得成立，
（1）若为锐角三角形的充分必要条件是： k>2
（2）若为直角三角形的充分必要条件是：k=2
（3）若为钝角三角形的充分必要条件是：1<k<2
证明：若△ABC为锐角三角形，有余弦定理可知：
同时
考虑函数，,单调减小，
所以 使得成立。（2）（3）采用相同的方法可证！

考虑函数，当 使得，
即 因为单调减小，
故 即： 为锐角三角形。
定理[3]不依赖于角度给出了任意三角形三边之间的一种等量关系，我们还可以把定理[3]推广到n边形。

定理[5]在边长为的n边形中，为最大边，则存在k>1
使得成立。
证明:考察函数
易知，单调减小，，
所以存在使得成立。
定理[5]在空间中同样适用。同时我们也必须指出，k 我们在理论上证明了总是存在的，但实际中并不好求，着也是局限所在。

5.若分别以1，1为直角三角形两直角边，可得斜边为，再以1，为两直角边，得三边为，这样总是以较大两个数为直角边，迭代下去，可得一个数列。
若记，试求
记,为著名的斐波那契数列：
则，所以=
斐波那契数列在实际优选问题有很大的用处，有许多性质，借此我们也可以来研究以上数列的性质。
有趣的是黄金分割点！
注意若取不同的初始值，由特征函数法，数列的通项总是可求的。若用直角三角形把上述数列的生成过程表示出来，那最后的图形类似于分形几何中的勾股树，实际上勾股树的生成方法也与此类似。在直角三角形中，如果三边都是整数，则称为一组勾股数，勾股数也有很多有趣的性质，例：大于等于3的奇数总是能找到其他两个整数构成勾股数；大于等于4的每一个偶数，也总能构成勾股数；在勾股数中至少有一个是3的倍数，至少有一个是4的倍数，至少有一个是5的倍数等，在这里就不证明了。

参 考 文 献
[1] 张奠宙，沈文选.中学几何研究[M].高等教育出版社.2003
[2] 张奠宙，张广祥.中学代数研究[M].高等教育出版社.2003
[3] 王益彪. 初中数学解题教学[J].理科爱好者，2010,3:69.