几何画板培训教程迭代帮助文件.doc

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迭代帮助文件

专用名词：
迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程
迭代图象：迭代操作产生的象的序列。
迭代图：原象到初象映射相关联的所有对象的集合。
迭代规则：由一个或多个从原象到初象的映射定义迭代执行方式。
原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”
初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象相关联。
迭代深度：迭代执行的次数。
原象点：作为原象的点对象。应为自由点。
原象值：作为原象的度量值或计算结果。应为独立的值。
迭代
此命令依照一个预先定义的迭代规则对一系列有关系的几何对象构造迭代图象。此命令只有当你选定了一些联合的原象点或原象计算结果时才为可用状态。原象点必需是独立的点或路 径上的点，而且必需在当前画板中定义了其它点。原象计算结果必需是参数值或独立的计算结果，而且必需同时定义计算结果象和几何对象。
创建迭代
任何参量用来定义一个迭代必需有几何子点
在画板中迭代操作和迭代结构总是伴随着例子创建，并且在点和参数后定义。 用工具和菜单构造由一组独立点或参数产生(你希望的数学关系)一定数目关联对象(点或计算值)。独立对象作为迭代原象或种子，与之相应的相关联的对象作为迭代图。然后在变换菜单 中执行【迭代】显示初象与原象之间的关系。迭代对话框允许你指定你想对迭代结构的迭代 数。结果为原象及关联于原象的每个对象的迭代图象的集合。

一般地，如果一个几何点A作为原象用于构造一个关联的点A'，则这个迭代的图象或是迭代的轨道是A'，A''等系列点。在上方左侧的图示三角形ABC和它的中点A'B'C'已经被构造。在上方右侧的图示，三角形的 独立顶点已经在迭代对话框与它们的中点建立了映射，此构造关系被迭代了4次。结果是一系列点、线段的图象定义的初始结构，作为三角形向中点三角形迭代。
显示选项
当你使用迭代对话框时，你能用【显示】中的命令来控制迭代的显示。你能：
·         增加或减少迭代的次数。
·         显示完整的迭代，或仅显示最终的迭代。一个对象的系列迭代图象有时称为此对象的
轨道。
注意：当你的迭代规则中只有一个映射时，更多的是希望显示完整的迭代；当有两个或两个以上的映射时，更多的是期望显示最最终的迭代。
迭代实例

在画板中，依照上图定义一个迭代规则，指定原象与相应的初象对应。

示例，以三角形ABC三边中点，构造中点三角形DEF。重复以上过程，以三角形DEF三边中点再构造一中点三角形，如此重复做下去。

在画板中指定这样的一个迭代规则，为每个原象定义它的初象。即使需重复的结构包括同三角形三个顶点一样的三个边，你只需用A、B、C、D、E、F这几个点指定迭代规则即可。画板会自动算出这个迭代中那些相关联于原象点的其它对象。在此例中，画板将在迭代中包括三角形的三边。
For best results, construct the entire pre-image but construct only the points of the image.【】 Let Sketchpad construct the other parts of the image.【让画板构造图象的其它部分。】
例如，对中点三角形进行迭代，构造三角形ABC作为原象，中点D、E、F作为初象点。

构造这些对象之前，请先选择A、B、C三点定义为原象，从变换菜单中选择迭代命令弹出迭代对话框，为每个原象选择相应的初象。为三角形每个原象点，点击初象(中点)。当你点击每个中点的时候，画板会同时显示原象三角形迭代的映射结果。对三个原象点与中点映射后，点击【迭代】执行迭代关闭对话框。

你可能需要移动对话框以使画板中的源三角形及它的中点可见
依照你定义迭代规则画板产生映射的一组迭代图象。在这个例子中有六个迭代图象，即源三角形的每个顶点与边。你能选择处理每个分离的迭代图象。例如，你能隐藏或删除源三角形三个顶点的迭代图象，或改变源三角形三条边的迭代图象的颜色。你能用“迭代属性”改变迭代次数来改变显示的迭代图象。你能用【迭代】创建从原象到初象的一个或多个指定的映射。
迭代属性

只有迭代图象和迭代的规则才有属性面板。用此属性面板设置迭代数，指定是否显示所有迭代或只显示最终迭代，决定随机点在在迭代中的行为。
迭代数: 这个数决定迭代重复多少次。最小值为1，最大值依迭代的复杂程度(越复杂迭代的迭代数的最大值越小，反之越大。 如果迭代数-迭代深度-补充一个度量值或计算值定义，当迭代首次创建时，当前值即为迭代深度，不能被编辑。
 你能通过先选定迭代图象然后用键盘上的+/-来改变迭代数。
显示为: 设置首选项迭代显示所有的迭代图象 (每次迭代生成的图象). 设置末选项迭代仅仅显示最后的一次迭代图象，即使设置了迭代数。
移动对象上的点: “到与初始对象上的点相对类似的位置”，指的是迭代图象每次迭代时某对象上的自由点在对象上的位置与迭代图中相对应对象上的自由点在对象上的位置相类似。“到所在对象的随机位置”，指迭代图象中的某对象上的自由点的位置随机。
    选中迭代图象用键盘!对迭代对象路径上的点进行随机化处理。
迭代和迭代图象
为了迭代一个行为或一个操作重复某些次数。在数学中，迭代指应用某些数学结构,计算结果或其它处理先前结果的相同操作的过程 。此操作必需在一些输入后定义一个输出，并且迭代用前一步的输出作为下一步的输入。
画板允许你对在画板中建立的任何数学关系进行迭代。你能用迭代创建重复的变换。(如棋盘方格)，产生不规则碎片形和其它与自身相似的对象，或其它系对象。
在代数学中，一个迭代是一个计算结果的循环(用一个输入值计算一个输出值)。迭代反复地应用前面的计算结果作为下一步迭代的输入。 若要开始迭代过程，首先必需有个开始值，称为种子。比如：以5为种子进行加2处理，第一次迭对5进行加2处理，即5+2=7，第二次迭代则对第一次迭代的结果7进行加2处理，即7+2=9 如此下去产生以下数值序列7,9，11,13,15,17,...... 
在几何学中，一个迭代用一个操作处理一组对象产生一组新的对象。源对象组作为输 入，新对象组作为输入。若要开始操作过程，必需有一组对象作为原象。以“向右平移 1厘米”的变换为例，如果你应用此变换于作为原象的三角形ABC，初象为三角形A'B'C'将向右平移1厘米。迭代此变换将产生一个全等的三角形系列，从原象三角形ABC为开始每个都相对于前面的三角形向右平移1厘米。
在这些例子中，把加2操作或向右平移1厘米变换作为任何单独的值或三角形的迭代规 则。在迭代序列中的每个值或图象作为下一步迭代的值或图象。我们说47到49的映射是在加2操作下进行的。所有的迭代规则都是由原象(种子)和映射操作定义的。当你对原象应用一次操作时，初象作为原象的操作结果。当你进行迭代操作时，你可得到第二次，第三次，第四次的迭代图象等等。
多映射迭代
给每个迭代的独立点指一个初象，你能创建一个单一的迭代映射。此映射描述如何变换原象创建一个初象。对于更多的迭代来说，每个迭代步产生一个单独源对象的副本。对于这样的迭代，迭代规则由一个映射组成。可是对于其它的迭代，一步迭代产生两个或更多个源对象的副本。每个源对象的副本需要它自己的映射，因此迭代需要多映射。例如，一个镶嵌有小方格的平等四边行需要你在水平方向垂直方向上迭代棋盘方格。
不规则碎片形和棋盘方格是最普通的几何结构，构造它们的迭代规则需要多迭代映射
用多映射构造一个迭代规则，使用迭代对话框为第一个映射指定1-3步以内的迭代。然后结构菜单中选择【增加新映射】并为第二个映射中的每个源点指定新的初象。当你所有的映射设置好后，点击【迭代】，执行迭代。

深度参数
当你定义一个迭代时，你能使用画板中的一个度量值，参数值，计算值来作为迭代的深度。你在选定定义迭代的原象执行【迭代】之前，应该选择一个值作为所定义迭代的深度。按下shift键时点击变换菜单，其中的【迭代】变成了【深度迭代】。选择此命令出现迭代对话框用以定义迭代的一般选项。一旦迭代被定义，你所选择度量值、参数值、计算值的整数部分将被定义为迭代的深度。(如果深度值不合法，将设置深度值为0。如果深度值太大不能显示所有迭代图象，画板用所能显示的最大值作为迭代深度)
如果一个迭代的深度被一个参数或计算结果定义，你不能用属性改变此深度
随机迭代点

有时你会发现指定的某对象上的点作为一个迭代规则原象的初象。例如，类似于其它例子当 中一个三角形三个顶点的中点，你可以映射三角形的顶点到其对应边上的一独立点。此时，【构造】菜单将显示【移对对象上的点到】(这一栏)，当你选择【到与初始对象上点相对类似的位置】，画板将显示每个迭代图象上的点到初始对象上点相对类似的位置。如果你拖动被构造对象上的初象点到一个新的位置时，所有的迭代图象将调节相应点到与初始对象上点相对类似的位置。另一方面，如果你选择【到所在对象的随机位置】，每个迭代图象初象点将显示在一个新的位置处。
构造一个迭代后，你能用迭代属性试验以上这两种情况
结构选项
当你使用迭代对话框时，你能使用【结构】来控制迭代的结构。你能：
·     增加迭代映射或删除当前的迭代映射。
·     创建的迭代图象是否显示点对象。时常-特别是在多映射迭代时，你不想看到
迭代图象点，只想保留迭代图象的线段，多边形等。此选项打开时画板自动为你
创建没有点的迭代图象，同样选项关闭时画板自动为你创建有点的迭代图象。
·      为所有的迭代度量值创建一个表。
·      设置迭代对象上的点处于初始对象上点相对类似的位置。
迭代值表
当你创建一个迭代时，如果某个迭代结果的一个或多个度量值发生改变，画板会创建一个迭代值的表。此表为每个可见值建立一个受迭代的影响的列，表的第一列的n个值表示迭代数。（即经过的第几次迭代）表的每行所描述的数据表示在此次迭代上的度量值。
例如：在画板中包函一个参数种子，初始值为100，计算100/2，如果你建立以100为原象以100/2为初象的迭代，画板将产生表，以100/2作为100－＞100/2的迭代象。

在一个迭代表中的值的行数随着你增加或减少迭代数而自动调整。如果你不想创建迭代值的表，请取消迭代对话框中构造选项菜单中的【生成迭代数据表】，创建迭代所创建的表不需要时，你可以选中此表从画板中删除。
终点

有时你想用迭代图象的最后一个点对象。你想把一个构造关联于这个点上。
用“多映射迭代”生成的迭代，你不能构造它的终点
为了构造一个点迭代图象象的终点，请选择点的迭代图象上的点。从【变换】菜单中选择【终点】，点迭代图象的终点被构造。如果迭代的深度发生变化，则终点将因此而移动。
当你选择某个点迭代图象时，【迭代】命令将变成【终点】
在上面的例子中，一个迭代常常用来构造一个掷球的飞行路径问题。（不显示原象点，定义球的速率和引力的大小）一些次数的迭代后求解球的高，终点被构造并用于度量地面与终点的距离。
使用迭代对话框
构造一个或多个对象的迭代图象：
1.  选择迭代规则的原象。你可以选择独立的点，路径上的点或独立的参数作为迭代的原象。(总之，初始对象必需是不依赖于其它对象的点或值。依赖于原象的点或值在迭过程中将自动地作为迭代图被迭代)
2. 从变换菜单中执行【迭代】，弹出迭代对话框。

拖对迭代对话框以露出你要点击的初象
3. 在迭代规则中为每个映射中的原象选择相应的初象。为每个原象点选择一个关联于原象点的初象点。为每个原象参数值选择一个关联的初象计算值。迭代规则中初象是相对于原象而言的，当原象位置或值发生变化时初象的位置或值随之变化。

4.   你能用【显示】改变迭代的外观。参考“显示选项”对可用选项的描述。
5.  你能用【结构】来改变迭代的结构。参考“结构选项”对可用选项的描述。
6. 一旦你为每个原象指定了初象，点击【迭代】将得到最后的迭代结果。构造的迭代显
示出来。用“迭代属性”来改变迭代的深度或其它属性。
用迭代工作
一旦你创建了一个迭代并产生一些迭代图象，你可以：

·         选择，改变颜色，隐藏或删除整个迭代图象的单个迭代图象。例如，在上面图示的迭
代中，你可能想隐藏或删除图象中迭代三角形的顶点，以致只看到三角形的边。
·         经过数次对结构的迭代后。用属性对话框可以查看任何迭代图象的属性，并且可以调
节迭代数。
·         选择一个或多个迭代图象后你可以用键盘的+/-调节迭代数。
·        用迭代属性对话框改变迭代的其它属性。
当定义一个新的迭代时，你可以用迭代对话框作：
·         创建迭代在迭代中每个迭代步至少产生一个的原象的副本。因此迭代可以创建棋盘方
格和不规则碎片形。
·     在画板中创建迭代的深度被一个参数或其它计算机结果所控制。
如何构造一个雪橇的坐垫
由于迭代功能能应用于画板的任何类型结构，它的一些设置选项可能初次看起来好像比
较复杂另人困惑。最好的方法是通过一个实例来理解它。在这个例子中，你将用迭代定
义一个我们所熟知的雪橇的坐垫。这个不规则的几何图形是用三个小三角形内部替换大
三角。然后将得到的三个小的三角形内部的每一个再由更小的三个三角形内部替换，如
此进行下去。由于在每个阶段你将用三个不同的三角形替换原象三角形，你将需要定义
三个映射。
1. 新建画板，用直尺工具构造一个三角形ABC。
2. 构造其三边的中点。用文本工具把三个顶点标签改为A、B、C，三个中点的标签改
为D、E、F，下面将解释。

你现在有一个原象三角形，它内含许多小三角形，如三角形AFE，三角形EBD等
等。注意那三个较小的三角形，三角形AFE，三角形FBD和三角形EDC，它们形成
源三角形内部“角”。
3. 选择A、B、C三点，从【变换】菜单中选择【迭代】
4. 在迭代对话框中，映射

此映射为源三角形到左边小三角形FBD的映射。你可以看到在源三角形左边小三角
形里有一组迭代三角形。
注意在这一步中你映射B点到它本身，由于这个顶点，同在源三角形与左边小三角形上。
5. 用【结构】菜单中的【添加新映射】到迭代规则中。在新的映射下，映射

6. 用【结构】菜单再次向迭代规则增加第三个和最后一个映射。第三个映射如下

7. 点击【迭代】按钮

注意不要增加迭代的次数太多，由于每个迭代增加三次
选中迭代生成的图象，你能用键盘的+/-来增加或减少迭代的次数。如果你迭代一个无穷大的次数，最终能得到一个雪橇的坐垫图象。如果你想象在每个迭代步中原始的三角形被小三角形替换，想一想，当增加迭代次数时，所有小三角形的面积将发生什么？由于这三个小三角形不能替换源三角形，面积必然变小。因此迭代图象的面积会变得越来越小。面积受什么限制？如何求出面积值？周长怎样变化？不规则碎片形将以惊人的速度频繁地递增。
在一个新的画板中你重复上面的步骤使面积形象化，在一个三角形ABC里，构造三角形
内部。当你指定完成三个映射确定迭代后，隐藏源三角形ABC的内部，以致能看见源三角形内部的小三角形内部。

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