专题概率统计.doc

戴氏教育集团 开阳校区
戴氏中考·高考 高中数学专用讲义 主讲：胡老师
专题、概率统计
1 基础知识
知识要点1
1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率.
3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.
②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.
注意：i.对立事件的概率和等于1：.
ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有，因此有.推广：若事件相互独立，则.
注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与与B，与也都相互独立.
ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.
iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.
④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：.
4. 对任何两个事件都有
概率统计 知识要点2
一、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：
ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

…

…
P

…

…
有性质①； ②.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中]
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记.
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.

1
2
3
…
k
…
P
q
qp

…

…
我们称ξ服从几何分布，并记，其中
5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定＜时，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为.
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即～.[我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.
二、数学期望与方差.
1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

…

…
P

…

…
则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2. ⑴随机变量的数学期望：
①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
ξ
0
1
P
q
p

⑵单点分布：其分布列为：.
⑶两点分布：，其分布列为：（p + q = 1）
⑷二项分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）
⑸几何分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）
3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.
4.方差的性质.
⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布： 其分布列为
⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1）
⑷二项分布：
⑸几何分布：
5. 期望与方差的关系.
⑴如果和都存在，则
⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则
⑶期望与方差的转化： ⑷（因为为一常数）.
三、正态分布.
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”
是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.
⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方，与x轴不相交.
②曲线关于直线对称.
③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.
⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是.
注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通
常用表示，且有.
2 典型例题
考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝;
等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数;设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数;依公式求值;答，即给问题一个明确的答复.
(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);特例：对立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.
(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);
特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝.其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步，判断事件的运算即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
第三步，运用公式求解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.
例1．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．
[考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.
[解答过程]0.3提示:

例2.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）
[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.
[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为
.
考点2离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地，设离散型随机变量可能取的值为，，……，，……，取每一个值（1，2，……）的概率P（）=，则称下表.

…

…
P
P1
P2
…

…

为随机变量的概率分布，简称的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1），1，2，…;（2）…=1.
②常见的离散型随机变量的分布列：
（1）二项分布：次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且，其中，，随机变量的分布列如下：

0
1
…

…

P

…

称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记： .
（2） 几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量的概率分布为：

1
2
3
…
k
…
P
p
qp

…

…
例1． 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望,并求出该商家拒收这批产品的概率.
[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A
用对立事件A来算，有
（Ⅱ）可能的取值为．，，

．
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率
．所以商家拒收这批产品的概率为．
例2． 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.
（注：本小题结果可用分数表示）
[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，该选手被淘汰的概率
．
（Ⅱ）的可能值为，，，
．
的分布列为

1
2
3

．
考点3 离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望：…；期望反映随机变量取值的平均水平.
⑵离散型随机变量的方差：……；
方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
⑶基本性质：；.
(4)若～B(n，p)，则 ; D =npq（这里q=1-p） ;
如果随机变量服从几何分布，，则，D =其中q=1-p.
例1．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：
ε
0
1
2
η
0
1
2
P

P

比较两名工人的技术水平的高低。 .
解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：
，；
工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：
，
由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dε>Dη，可见乙的技术比较稳定.
例2. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

1
2
3
4
5

0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（Ⅱ）求的分布列及期望．
[解答过程]（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
， ．
（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．，
，
．
的分布列为

（元）．
考点4 抽样方法与总体分布的估计
抽样方法
1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.
2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.
3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.
总体分布的估计
由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.
总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.
当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.
当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.
总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.
例1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .
解答过程：A种型号的总体是，则样本容量n=.
考点5 正态分布与线性回归
1.正态分布的概念及主要性质
（1）正态分布的概念
如果连续型随机变量 的概率密度函数为 ，x 其中、为常数，并且＞0，则称服从正态分布，记为（，）.
（2）期望E =μ，方差.
（3）正态分布的性质
正态曲线具有下列性质:①曲线在x轴上方，并且关于直线x＝μ对称.
②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.
③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.
（4）标准正态分布：当=0，=1时服从标准的正态分布，记作（0，1）
（5）两个重要的公式：①,② .
（6）与二者联系.：若，则 ;
②若，则.
2.线性回归
简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.
变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.
具体说来，对n个样本数据（），（），…，（），其回归直线方程，或检验公式为：.其中，其中分别为||、||的平均数.
例1.如果随机变量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，则P（－1＜ξ≤1）＝等于( )
A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2）
C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）
3.当堂检测
1． 甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投中相互之间没有影响，求（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率．

2． 工人看管三台机床，在某一小时内，三台机床正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.85，且各台机床是否正常工作相互之间没有影响，求这个小时内：（1）三台机床都能正常工作的概率；（2）三台机床中至少有一台能正常工作的概率．

3． 甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8．（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；（2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率．

4． 沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（绿灯亮通过）的概率分别为，，，对于在该大街上行驶的汽车，求：（1）在三个地方都不停车的概率；（2）在三个地方都停车的概率；（3）只在一个地方停车的概率．

5． 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动．已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是．问：（1）第二次闭合后，出现红灯的概率是多少?（2）三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的概率是多少?

6． 袋内装有35个球，每个球上都记有从1到35的一个号码，设号码n的球重－5n+15克，这些球以等可能性从袋里取出（不受重量、号码的影响）．（1）如果任意取出1球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率

7． 口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中取出２个球，若是同色的概率为 ，求：(1) 袋中红色、白色球各是多少？(2) 从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的概率为多少？

8．加工某种零件需要经过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为，且各道工序互不影响（1）求该种零件的合格率（2）从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率
（3）假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率（用最简分数表示结果）

9． 同时抛掷15枚均匀的硬币一次(1)试求至多有1枚正面向上的概率；(2)试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等?请说明理由.

C
D
B
A
M
10．如图，用表示四类不同的元件连接成系统.当元件至少有一个正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件正常
工作的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系统
正常工作的概率.

11． 有一批种子，每粒发芽的概率为，播下5粒种子，计算：（Ⅰ）其中恰好有4粒发芽的概率； （Ⅱ）其中至少有4粒发芽的概率；（Ⅲ）其中恰好有3粒没发芽的概率. （以上各问结果均用最简分数作答）

12．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.（1）摸出2个或3个白球；（2）至少摸出一个黑球.

4.高考专题：
1.【2012高考安徽10】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于
（A） （B） （C） （D）
2.【2012高考浙江12】从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是___________。
3.【2012高考重庆15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率
为 （用数字作答）。
4.【2012高考上海文11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）
5.【2012高考江苏6】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．
6.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）

30
25

10
结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）
7.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析:（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。

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乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。