命题求参数范围.doc

1．对∀x∈R，kx2－kx－1<0是真命题，则k的取值范围是(　　)
A．－4≤k≤0 B．－4≤k<0 C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0
解析：　依题意，有k＝0或解得－4<k≤0. 答案：C
2．令p(x)：ax2＋2x＋1＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：　对∀x∈R，p(x)是真命题，
就是不等式ax2＋2x＋1＞0对一切x∈R恒成立．
(1)若a＝0，不等式化为2x＋1＞0，不能恒成立；
(2)若，解得a>1；
(3)若a＜0，不等式显然不能恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是a＞1.
3．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0<x<4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．
解析：　命题p是真命题，则x2－2x－2≥1， ∴x≥3或x≤－1，
命题q是假命题，则x≤0或x≥4. ∴x≥4或x≤－1.
4．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选取适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题，“若p，则綈q”为假命题．
解析：　A：5x－1>a，即x>.
若视A为p，则B为q，¬q为x≤1，
命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”，
“若p，则¬q”为“若x>，则x≤1”．
由数轴易得当≥1，即a≥4时，符合题意；
若视B为p，则A为q，¬q，为x≤，命题“若p，则q”为 “若x>1，则x>”，
“若p，则¬q”为“若x>1，则x≤”．
由数轴易得当≤1，即a≤4时，符合题意．
故符合题意的a可取1，此时，p：x>1，q：x>.
尖子生题库☆☆☆
5．已知命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数，当甲、乙有且只有一个是真命题时，求实数a的取值范围．
解析：　当甲为真命题时，记集合A＝{a|(a－1)2－4a2<0}＝，
当乙为真命题时，记集合B＝{a|2a2－a>1}＝{a|a<－或a>1}．
∴当甲真乙假时，集合M＝A∩(∁RB)＝
当甲假乙真时，集合N＝(∁RA)∩B＝.
∴当甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是M∪N＝.
6．已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．
解析：　q是p的必要不充分条件，
则p⇒q但qp.
∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1. ∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤ .
∴满足条件的a的取值范围为.
7．求证：0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
证明：　充分性：∵0<a<，∴Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，
则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0可变成1>0.
显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
必要性：∵ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，
∴a＝0或 解得0≤a<.
故0≤a＜是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
8．已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
解析：　先化简B，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}，
①当a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}；
②当a＜时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}．
因为p是q的充分条件，所以A⊆B，从而有
，解得1≤a≤3. 或，解得a＝－1.
综上，所求a的取值范围是{a|1≤a≤3或a＝－1}．

9．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2) ¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解析：　(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a<x<3a，
当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时实数x的取值范围是1<x<3.
由解得即2<x≤3.
所以q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.
若p∧q为真，则⇔2<x<3， 所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2) ¬p是¬q的充分不必要条件， 即¬p⇒¬q且¬q⇒/¬p.
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，则AB.
所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是(1,2].
10．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解析：　(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；
(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立， 即 4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R； 当m≠0，a∈[－1,1]．
11．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．
解析：　(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，
即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立， 只需m＞－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4.
(2)若m－f(x0)>0， ∴ m>f(x0)．
∵f(x0)＝x－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4. ∴m>4.
12．是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．
解析：　由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1，
令A＝{x|x>2或x<－1}，
由4x＋p<0，得B＝，
当B⊆A时，即－≤－1，即p≥4，此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，
∴当p≥4时，4x＋p＜0是x2－x－2>0的充分条件．
13．已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．
解析：　∵函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3＝[x＋(a2－a)]2－a2，在[－2，＋∞)上单调递增，
∴－(a2－a)≤－2，即a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.
即p：a≤－1或a≥2
由不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R得，即解得0≤a＜4
∴q：0≤a＜4.
∵p∧q假，p∨q真． ∴p与q一真一假．
∴p真q假或p假q真，
即或
∴a≤－1或a≥4或0≤a＜2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．