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一元二次方程的起源与应用
一年七班 唐梦雷
一、定义：（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
二、 起源
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
三、一元二次方程的广泛应用
例1：下列关于的方程，哪些是一元二次方程？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5） ；（6） ；（7）；（8）
注意点：
①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数．
例1:当k 时，关于x的方程是一元二次方程。
例2：方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
例3：若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。
例4：若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）
A. m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1
（一）、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项。
例1：方程的一次项系数是 ，常数项是 。
例2：（2012•洪山区模拟）若将一元二次方程化成一般形式后，一次项和常数项分别是 ；
例3：一元二次方程化为一般式后为，试求的值的算术平方根？
（二）、方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。（简而言之：将该方程的解，代入原方程可以得到一个等式）
例1：（2013•牡丹江）若关于x的一元二次方程为（a≠0）的解是，则的值是 。
例2：（2012•鄂尔多斯）若是方程的一个解，则的值为（　　）
A．3 B．-3 C．9 D．-9
例3：关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。
例4：已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。
（三）解一元二次方程的解法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
①直接开方法：
对于，等形式均适用直接开方法
例1、解方程： =0;
例2、若，则x的值为 。
下列方程无解的是（ ）
A. B. C. D.
②配方法：
在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例1：试用配方法说明的值恒大于0。
例2：已知x、y为实数，求代数式的最小值。
例3：已知为实数，求的值。
例4：若，则t的最大值为 ，最小值为 。
③公式法：
条件：
,
例1：（1）； （2）； （3）
④因式分解法：
十字相乘法：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
如， ，
例1：的根为（ ）
A B C D
例2：方程的解为（ ）
A. B. C. D.
例3：解方程：
例4：已知,且,则的值为
例5:选择适当方法解下列方程：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
四、专项训练：
（一）整体思想：
整体思想方法是指用“全局”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.
例1：若，则4x+y= 。
例2： 。
例3：若，则x+y=
例4：若，，则x+y= 。
例5：已知的值为2，则=
例6：（苏州市）若，求的值？
（二）降次的思想：
通过变形，把高次项逐步转化为一次式或常数,从而达到降次的目的
例1：解方程
例2：如果，那么代数式的值。
例3：已知是一元二次方程的一根，求的值。
例4：解方程组

（三）当一元二次方程的解为“1”或“-1”时
对于一元二次方程的一般形式（），如果有一个根为1，则；如果有一个根为-1，则；反之也成立；
巧求方程的解：① ②
例1：已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程
必有一根为 。
例2：方程的一个根为（ ）
A B 1 C D
（四）判别式“”的应用
判别式：根据一元二次方程的系数，判断该方程是否有实数根
例1：（2013•珠海）一元二次方程：①，②．下列说法正确的是（　　）
A．①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解
例2：若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。
例3：（2013•潍坊）已知关于x的方程，下列说法正确的是（　　）
A．当=0时，方程无解
B．当=1时，方程有一个实数解
C．当=-1时，方程有两个相等的实数解
D．当≠0时，方程总有两个不相等的实数解．
例4：（2013•六盘水）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。
例5：关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
例6：已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例7：为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解
（五）韦达定理：
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
对于而言，当满足①、②时，
才能用韦达定理。

注意：切记盲目用韦达定理，而忽视了
例1：（2013•雅安）已知是一元二次方程的两根，则的值是（ 　　）
A．0 B．2 C．-2 D．4
例2：（2013•天门）已知α，β是一元二次方程的两根，那么α2+αβ+β2的值为（ 　　）
A．-1 B．9 C．23 D．27
例3：已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，那么这个直角三角形的斜边长是（ ）
A. B.3 C.6 D.
例4：（2013•泸州）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　）
A．5 B．-5 C．1 D．-1
例5：已知，，，求
例6：若，，则的值为 。
例7：已知是方程的两个根，那么 .
（六）应用题
类型一：单循环赛制（注意区别双循环赛）
例1：（2013•东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数有多少？

例2：（2011•黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定45条直线．则n的值为
例3：（襄樊市改编）如图，锐角的内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同的射线，可得6个锐角；画3条不同的射线，可得10个锐角；…；照此规律，画多少条射线可以得到66个角？

类型二：几何中的一元二次方程
例1：（2009•庆阳）如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为

例2：（2011•台湾）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14

例3：（2013•衢州）如图在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2） 当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，
求正方形的边长．

类型三：薄利多销的商家
例1：（2013•泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

例2：（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
类型四：增长率的问题
例1：（2012•钦州）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．

例2：（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

例3：（2013•巴中）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率？

巩固练习（二）
1.（2012•洪山区模拟）若将一元二次方程化成一般形式后，一次项和常数项分别是 ；
2.一元二次方程化为一般式后为，试求的值的算术平方根？
3.（2013•牡丹江）若关于x的一元二次方程为（a≠0）的解是，则的值是 。
4.（2012•鄂尔多斯）若是方程的一个解，则的值为（　　）
A．3 B．-3 C．9 D．-9
5. （苏州市）若，求的值？

6.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

7. 已知，，求的值？

8. （2012•潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为多少？

9. （2012•南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有多少支？

10.（2010•本溪）为执行“两免一补”政策，丹东地区2007年投入教育经费2 500万元，预计2009年投入3 600万元，则这两年投入教育经费的平均增长率为多少？
11.（2013•玉林）已知关于的方程有两个实数根-2，．求的值？
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