多小波图像插值算法研究.doc

多小波图像插值算法的研究
张晓威，郑雄波，朱磊收稿日期：2008-01-20
基金项目：国家自然科学基金资助项目（10771043）
作者简介：张晓威(1965-), 男, 教授,硕士；
郑雄波(1979-), 男, 讲师,硕士。

（哈尔滨工程大学理学院，黑龙江 哈尔滨 150001）
摘要：与单小波变换一样，多小波变换同样具有多分辨分析的特性，1次多小波变换可以将图像分解成4个低频子带和12个高频子带，而且原图像的大小是每个子带的4倍。根据多小波变换的这一特点，利用原图像与经过1次多小波变换后的各高频子带的信息，并考虑各子带的分形维数，提出了一种新颖的灰度图像插值算法。实验结果表明，与传统的插值算法相比，例如双线性插值与双三次多项式插值，该算法的插值效果较好，且克服了单小波插值中出现的斑点干扰。
关键词：多小波变换；图像插值；图像的分形维数
中图分类号：TP391
Study to the image interpolation algorithm based on
multiwavelet transform
ZHANG Xiao-wei,ZHENG Xiong-bo,ZHU Lei
(college of science of Harbin Engineering University, Harbin , 150001)
Abstract: Similar to the scalar wavelet transform, the multiwavelet transform also have multiresolutuion characterristics. By one level multiwavelet decomposition, the image is transformed into four low frequency bands and twelve high frequency bands, and the size of original image is four times larger than that ones in the transformed bands. With this characteristics of multiwavelet transformations, and making use of the information obtained from the original image and the high frequency bands after transformation ,also taking the fractal dimensions of high frequency bands into account, the paper has proposed a novel image interpolation algorithm for grey images. The experimental results shows that the new algorithm has overcome shortcomings of the blur effects when interpolating with the scalar wavelet transform and has better results comparing with the traditional image interpolation methods such as bilinear or bicubic ones.
Key word: multiwavelet transform; image interpolation; fractal dimension of the image

图像插值是在数字图像处理中经常遇到的一类问题，通过插值可以实现图像分辨率的增强，因此广泛地应用于医学图像、光学遥感图像分辨率的提高等方面[1,2]。目前，传统的插值算法主要有邻近插值、双线性插值、双三次多项式插值以及双三次样条插值等，这些算法的优点是计算量小，插值误差也比较小，但插值后图像往往会出现方块效应和细节退化（边缘模糊）的现象[3]。为了提高差之后图像的质量，研究者从不同角度提出了其他的插值方法，如人工神经网络方法[4]、非线性滤波法[5]、方向插值法[6]和Bayyesian分析法[7]等。Yokoya等提出以分形几何为基础的分形内插方法[8]，其思想是利用图像像素灰度值之间存在的统计自相似性对图像进行插值，效果较为理想。但利用传统的分形方法精确的求出其自相似变换往往十分困难，且方法比较复杂。
近年来由于小波理论的兴起，基于小波变换的图像插值算法[9,10]成为研究的热点。目前基于小波变换的图像插值的方法主要是利用小波变换具有多分辨分析的特点，将图像变换到小波域，对高频子带进行插值，再与原图像进行小波反变换得到对原图像的2倍放大图像，这种方法由于在高频部分插值导致重构图像有斑点干扰[11]。与单小波一样，多小波也具有多分辨分析的特点，而且同时拥有正交性、紧支撑、实对称、高阶消失矩等性质，由于多小波具有单小波所不具备的性质，因此越来越受到研究者的关注[12]。为了解决高频部分插值所引起的误差，该文提出了一种基于多小波变换的图像插值算法，该算法利用1级多小波变换将灰度图像分解成16个子带，结合原图像与12个高频子带的特征将高频子带放大2倍，将其作为插值图像一次多小波分解后的高频系数，而将原图像作一次多小波变换后的系数作为插值图像二次分解后的高频和低频系数，进行2级多小波反变换，得到将原图像放大两倍的插值图像。实验结果表明该算法不仅较好的解决了线性插值等算法中出现的方块效应和细节退化的现象，还克服了单小波变换插值中出现的斑点干扰，很好的提高了图像的分辨率，改善了视觉效果。
1、多小波变换原理
对于紧支撑实函数，若向量函数满足如下两尺度矩阵方程
（1）
则称向量函数为两尺度方程的多尺度函数，为的重数，为伸缩因子，其中为矩阵。若还有，则称是正交的。如果构成了上的一个多分辨分析，并记是由 所张成的子空间的闭包，是在中的正交补空间，由多分辨分析的定义可知，存在相互正
交且与正交的向量函数,函数 张成子空间且是上的一组正交基，从而存在矩阵序列，使得下式成立：
（2）
并称为正交多小波。对于，有展开式

其中，记，，与标量小波的推导过程相仿，可得到一维多小波变换的分解公式(DMWT)
（3）
和一维多小波变换的重构公式(IDMWT)
（4）
对于二维信号，多小波的一次分解按如下步骤进行：先将预处理后的信号逐行做一维多小波变换，然后施行预处理，再逐列做一维多小波变换，即可将二维信号变换到多小波域内，图1是二重二带多小波（）的二次分解示意图。

图1 多小波二次分解示意图
Fig. 1 Diagram of two level multiwavelet decompositions
二重二带多小波（）对二维信号的每一次分解，都进一步将信号的低频部分继续分解成低频子带和高频子带。对于多小波变换后的数据，使用IDMWT进行逆变换，并进行相应的后处理，即可还原变换前的信号。
2、 多小波图像插值算法
2.1 多小波图像插值的数学模型
由图1可知，对大小为的灰度图像预滤波并进行1次多小波变换之后得到16个子带，其中有4个低频子带和12个高频子带，低频子带描绘图像的平滑信息，高频子带描绘图像的细节信息。将每个子带看作一幅图像，其大小均为。如果保持原多小波系数不变，构造12个大小为的多小波系数矩阵作为大小为的图像进行一次多小波变换以后的高频子带，再与原系数进行2次多小波反变换则可实现对原图像的2倍插值。问题的关键是如何构造的高频子带才能使放大后的图像细节丰富，边缘清晰，并能有效地抑制信噪比？
由于高频子带描绘的是图像的细节信息，而原图像包含了高频子带的所有信息，利用原图像与高频小波系数之间的这种关联，将二者结合构造的高频子带将比单纯对原高频子带进行简单插值时所提供的信息量更丰富。由于原图像的大小为，高频子带的大小为，因此构造的高频子带的问题可以转化为如下的数学模型：如果已知的图像和的图像，其中为在某种数学变换下缩小4倍的图像，求放大2倍或者缩小2倍后的图像。
记
， （5）
其中为的子块，为的子块，其中，且，为的子块，其中。
记，其中，同时记各元素的标准差为，则
（6）
令
（7）
设，取
（8）
令（）为权系数矩阵，选取适当的权系数矩阵，就可以通过和得到放大2倍的图像。
若取，则，相当于将重复放大2倍；
若取，则，相当于将原图像缩小2倍，的元素为中相邻4个元素的标准差。
当时，中元素的值综合了图像和的特征，越大，则的特征在中表现得越明显；否则，的特征在中表现得越明显。的取值根据原图像的特征来决定，如果图像的细节信息比较丰富，则应尽量保留高频子带的特征，即让的特征在中表现得更明显，因此应取较大的值；否则，应取较小的值。
在上面的插值算法中，式（8）中权系数的选择决定了插值效果的好坏，该文在多小波域内利用分形维数来确定权系数矩阵的值。
2.2 多小波域内子带的分形维数及权系数矩阵的确定
定义 设为上的有界子集，是直径最大为，覆盖的集的最小个数，如果极限

存在，则称此极限值为的盒维数[13]。
若将灰度图象在每一点的灰度值视为空间的另一维，则可将灰度图象看成空间的子集。对图像的某个子集，令表示使用边长为的区域覆盖时所要包含的最少立方体的个数，则的分形维数可由下式决定：

其中是常数，两边取对数得
（9）
改变的大小可得到不同的，最后使用线性回归求出相对于斜率的负值，此值就是得分形维数。
实际模拟计算表明，在多小波域内分形维数相对较大的子带所含有的细节信息也较丰富，而分形维数较小的子带比较平滑，因此利用分形维数来确定权系数矩阵的值在很大程度上可以刻画该子带内小波系数的变化情况。
记由式（9）得到的高频子带（）的分形维数为，各高频子带最大的分形维数记为同时令

其中为的全1矩阵，则子带的权系数矩阵可由式（10）确定
（） （10）
其中为调节因子，在该文取。

3、 仿真计算
为了验证多小波插值算法的效果，选用6幅大小为的标准256级灰度图像，分别是pepper、lena、elain、baboon、couble以及sailboat，逐行逐列隔点抽样得到的图像作为原始图像，对这些原始图像使用文献[12]中的方法进行预滤波与后处理，使用GHM多小波对其进行多小波变换，使用2.1中的方法对图像进行插值，得到放大2倍后的图像。
图2为取，对lena图像进行GHM多小波插值的结果，其中图2（a）为抽样前的原始图像，图2（b）是对抽样后的lena图像进行多小波插值后的图像，图2（c）、（d）是lena图像第230到290行，第220列到300列局部放大的插值效果图。

(a) 原图像 (b) 多小波插值图像

(c) 原图像局部 (d) 多小波插值图像局部
图2 lena图像的插值效果
Fig.2 Interpolation effect for lena image
图3为取，对peppers图像进行GHM多小波插值的结果，其中图3（a）为抽样前的原始图像，图3（b）是对抽样后的peppers图像进行多小波插值后的图像，图3（c）、（d）是lena图像第150到370行，第190列到360列局部放大的插值效果图。
为了定量分析插值图像与原始图像之间的差别，采用峰值信噪比来评价插值效果的好坏，峰值信噪比（PSNR）的定义如下：
PSNR （11）
其中为插值图像，为隔点抽样前大小为的标准灰度图像。表1详细列出了对6幅图像分别进行邻近插值、双线性插值、双三次多项式插值以及多小波插值后的峰值信噪比。通过对采用不同插值算法放大的图像峰值信噪比的比较，不难发现采用该文提出的多小波插值算法的效果较其他插值算法的效果要好，而且有图2和图3可以看出该算法还克服了单小波插值算法中出现的斑点干扰。

(a) 原图像 (b) 多小波插值图像

(c) 原图像局部 (d) 多小波插值图像局部
图3 peppers图像的插值效果
Fig.3 Interpolation effect for peppers image
表1 不同插值算法峰值信噪比(dB)
Table1 The PSNR of images use different interpolation algorithm(dB)

lena
pepper
elain
baboon
couple
sailboat
邻近插值
27.3824
24.4129
23.5784
18.8125
24.8561
23.9614
双线性插值
30.5191
25.2290
24.3434
19.5173
27.0533
25.9336
双三次多项式插值
32.1239
27.0735
26.1689
19.9531
24.8893
26.3334
多小波插值
32.3267
30.8199
27.9171
24.0973
27.0835
28.1926
4、 结束语
通过将图像变换到多小波域，在小波域内结合原图像与经过多小波变换后各高频子带的多小波系数，并考虑各个高频子带的分形维数，提出了一种自适应于图像本身的多小波图像插值算法。由于在对高频子带插值的过程中，同时利用了高分辨率图像以及低分辨率的高频多小波系数，因此经过插值放大后的图像细节丰富，边缘清晰，并克服了使用单小波变换放大图像时的斑点干扰现象，同时具有较高的信噪比。实验结果同时表明，与传统插值算法相比，该算法的效果较好。但是目前该算法中权系数矩阵所有元素的取值都相等，如何使权系数矩阵中元素的值根据图像不同位置的特征而变化是该算法今后需要进一步研究的方向。
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