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中考中存在性问题
陕西　　张力凡
　　存在性问题是一种常见的探索性问题，也是中考中命题者用来考查同学们探索能力、猜想能力和归纳能力的常用题型之一，其解法的一般思路是假设存在，然后导出某个结论，如果该结论合理，则说明假设成立，其结论存在；如果该结论不合理，则说明假设错误，所探索的结论不存在．举例如下：
　　例1　（2006年诸暨市）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10． 点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
　　（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
　　（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
　　（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．
　　析解：（1）由已知条件得：梯形周长为24，高为4，面积为28．
　　过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，则根据已知可求得：，
　　∴；
　　（2）存在．理由是：
　　由（1），得．
　　解得x1=7，x2=5（舍去）；
　　∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7；
　　（3）不存在．理由是：
　　假设存在，则S△BEF∶SAFECD=1∶2，（BE+BF）∶（AF+AD+CE＋DC）=1∶2，
　　则有．
　　整理，得：3x2－24x+70=0．
　　因为方程没有实数解，∴不存在这样的实数x．
　　即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分．
　　例2　（2006年烟台市）如图2，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴交于A、C两点．
　　（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；
　　（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D，求证：点D在l2上；
　　（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图象上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．
　　析解：（1）设l2的解析式为y=a（x-h）2+k，
　　∵l1与x轴的交点A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l1与l2关于x轴对称，
　　∴l2过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）．
　　∴y=ax2+4．∴0=4a+4，得a=-1．
　　∴l2的解析式为y=-x2+4；
　　（2）设B（x1，y1），∵点B在l1上，∴B（x1，x12-4），
　　∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称，
　　∴B、D关于O对称，∴D（-x1，-x12+4）．
　　将D（-x1，-x12+4）的坐标代入l2：y=-x2+4，得
　　左边=右边，∴点D在l2上；
　　（3）设平行四边形ABCD的面积为S，则
　　，
　　①当点B在x轴上方时，y1＞0，
　　∴S=4y1，它是关于y1的正比例函数，且S随y1的增大而增大．
　　∴S既无最大值也无最小值；
　　②当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0，
　　∴S=-4y1，它是关于y1的正比例函数，且S随y1的增大而减小．
　　∴当y1=-4时，S有最大值16，但没有最小值，此时B（0，-4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上．
　　∴AC⊥BD．
　　∴平行四边形ABCD是菱形，此时S最大=16．
我们先来看下面一个作图题.
　　如图1，已知线段AB，在过A点的直线a上求作点P，使△ABP为等腰三角形.

　　分析 由于腰和底不确定，所以要按等腰三角形的边分情况讨论；当AB是腰时，哪一个角是顶角不确定，所以再按顶角进一步分类讨论.

　　请读者自行完成，满足条件的点有4个.
　　在近年来的中考题中，涉及等腰三角形的存在性问题很多，其类型及思考方法多为上述作图题(已知一边求作等腰三角形).请看下面两例.
　　例1 (07年龙岩市)如图2，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC.
　　(1)求抛物线的对称轴；
　　(2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
　　(3)探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由.
　　解 (1)抛物线的对称轴
　　.
　　(2)由C(0,4)及得B(5,4)，
　　又AC=BC=5，OC=4，　　
　　∴OA=3.
　　∴A(-3,0).
　　把点A坐标代入y=ax2-5ax+4中，
　　解得，
　　∴.
　　(3)存在符合条件的点P共有3个，以下分三类情形探索.
　　设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M.过点B作BQ⊥x轴于Q，如图3，易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=.
　　①以AB为腰且顶角的顶点为A的△PAB有1个：△P1AB.
　　∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80.
　　在Rt△ANP1中, 　　

　　，
　　∴.
　　②以AB为腰且顶角的顶点为B的△PAB有1个：△P2AB.
　　在Rt△BMP2中，　　

　　∴.
　　③以AB为底，顶角的顶点为P的△PAB有1个，即△P3AB.
　　画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C.
　　过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P3CK∽Rt△BAQ.
　　∴.
　　∵P3K=2.5，
　　∴CK=5.
　　于是OK=1.
　　∴P3(2.5, -1).
二次函数中考存在性问题专题
1. 如图：抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点． （1） 求抛物线的解析式． （2）已知AD ＝ AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解法一：设抛物线的解析式为y ＝ a (x ＋3 )(x － 4)
因为B（0，4）在抛物线上，所以4 ＝ a ( 0 ＋ 3 ) ( 0 － 4 )
解得＝ －1/3， 所以抛物线解析式为
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
所以AD＝AB＝ 5，AC＝AD＋CD＝3 ＋ 4 ＝ 7，CD ＝ AC － AD ＝ 7 – 5 ＝ 2
因为BD垂直平分PQ，所以PD＝QD，PQ⊥BD，所以∠PDB＝∠QDB
因为AD＝AB，所以∠ABD＝∠ADB，∠ABD＝∠QDB，所以DQ∥AB
所以∠CQD＝∠CBA．∠CDQ＝∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB， 即
所以AP＝AD – DP ＝ AD – DQ＝5 –＝ ，，所以t的值是
（3）答对称轴上存在一点M，使MQ＋MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为，所以A（－ 3，0），C（4，0）
两点关于直线对称，连接AQ交直线于点M，则MQ＋MC的值最小
过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED＝∠BOA＝90，DQ∥AB，∠ BAO＝∠QDE，
△DQE ∽△ABO， 即
所以QE＝，DE＝，所以OE ＝ OD ＋ DE＝2＋＝，所以Q（，）
设直线AQ的解析式为
则 由此得 ，所以直线AQ的解析式为 联立
由此得 所以M则：在对称轴上存在点M，使MQ＋MC的值最小．
2.（沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转600后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）点在轴上理由如下：
连接，如图所示，在中，，，，由题意可知：点在轴上，点在轴上．
（2）过点作轴于点，在中，，
点在第一象限，点的坐标为由（1）知，点在轴的正半轴上
点的坐标为点的坐标为抛物线经过点，
y
x
O
D
E
C
F
A
B
M
题意，将，代入中得
解得
所求抛物线表达式为：
（3）存在符合条件的点，点．
理由如下：矩形的面积以为顶点的平行四边形面积为．
由题意可知为此平行四边形一边，又边上的高为2依题意设点的坐标为
点在抛物线上解得，，
，以为顶点的四边形是平行四边形，，，
当点的坐标为时，点的坐标分别为，；
当点的坐标为时，点的坐标分别为，．
3.（芜湖）如图，已知 ，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．（1）求C点坐标及直线BC的解析式;（2）抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．
解： （1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：△ABO∽△ACD， ∴．
由已知，可知： ．
∴．∴C点坐标为．
直线BC的解析是为： ，化简得：
（2）设抛物线解析式为，由题意得： ， 解得：

∴解得抛物线解析式为或．
又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．
∴满足条件的抛物线解析式为（准确画出函数图象）
（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，
故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上．
由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．
如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中，，∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为
同理可求得直线与y轴交点坐标为∴两直线解析式；．
根据题意列出方程组： ⑴；⑵∴解得：；；；
∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，，
4.（襄樊）如图15，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E．（1）求OE的长；（2）求过O，D，C三点抛物线的解析式；（3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把ΔFAC分成面积之比为1：3的两部分？
解：（1）四边形是矩形，，
．又，．
．，
即，解之，得．
（2）．如图4，过作于，
．，．，
．．
因点为坐标原点，故可设过三点抛物线的解析式为．
解之，得．
（3）抛物线的对称轴为，其顶点坐标为．
设直线的解析式为，则解之，得．
设直线交直线于，过作于．
．．或，或，或．或，即或．，．
直线的解析式为．当时，．
直线的解析式为．当时，．
当秒或秒时，直线把分成面积之比为的两部分
5.（株洲）如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x2的图象为. （1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为，如图（2），求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标.（3）设P为y轴上一点，且S△ABC=S△ABP，求点P的坐标.（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使为等腰三角形. 若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.
（1）等 （满足条件即可）
（2）设的解析式为，联立方程组，
解得：，则的解析式为， 点C的坐标为（）
（3）如答图23-1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则，，，，，.得：.
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为，则点G的坐标为（0，），设点P的坐标为（0，）
①当点P位于点G的下方时，，连结AP、BP，则，又，得，点P的坐标为（0，）.
②当点P位于点G的上方时，，同理，点P的坐标为（0，）.
综上所述所求点P的坐标为（0，）或（0，）
(4) 作图痕迹如答图23-2所示.
由图可知，满足条件的点有、、、，共4个可能的位置.

答图23-2
E
F
答图23-1