李明波双簧定理.doc

李 明 波 双 簧 定 理

郝锡鹏

提要 2007年11月上旬，建筑郎李明波用五弦定理证明了双簧定理：圆内接凸四边形的两组对边、 和、与一组对角线、应满足如下两个方程

一 李明波五弦定理
图 1
a
b
c
d
f
A
B
C
m
D
n
e
e

李明波五弦定理[1] 在图1中，、、、、、是端点属圆周上4点的6条弦，任取其中的5条可以建立如下6个等式：

（1 ）
（1´）
（2 ）
（2´）
（3 ）
（3´）

二 遐思
李明波为他五弦定理的整齐明快，而沾沾自喜。
李明波首先注意到的是，对偶式（3 ）和（3´）中存在着相同的因式。
之后，李明波所做的第一件事，是由 （3）左侧×（3´）左侧=（3）右侧×（3´）右侧，得
（4）
约去等式两面的公因式后再开方便得
（5）
李明波所做的第二件事，是由 （3）左侧×（3´）右侧=（3）右侧×（3´）左侧，得
（6）
约去等式两面的公因式后再开方便得
（7）

三 验证
可是，仅由五弦定理的对偶式（3）和（3´）所得出的（5）、（7）两式，会满足五弦定理其它两个对偶式的要求吗？另两个对偶式对六条弦的限定又是什么呢？
1 满足对偶式（1）和（1´）对六弦的要求
李明波所做的第三件事，是由 （1）左侧×（1´）左侧=（1）右侧×（1´）右侧，得关于六弦的一个必要条件之一是
（8）
此刻的李明波，没有直接用约去（8）式两面的公因式然后开方去得出与（5）式等价的，因为他顾及当公因式是0时会导致自己犯规。他所采取的是相反的办法，（5）式可变形为
（9）
将（9）式代入（8）式可得恒等式
（10）
故知（5）式满足（8）式的要求。
2 满足对偶式（1）和（1´）对六弦的要求
李明波所做的第四件事，是由 （1）左侧×（1´）右侧=（1）右侧×（1´）左侧，得关于六弦的必要条件之二是
（11）
与上述同理。（7）式可变形为
（12）
将（12）式代入（11）式可得恒等式
（13）
故知（7）式满足（11）式的要求。
3 和也满足对偶式（2）和（2´）对六弦的要求
李明波用与1、2同样的方法，证明了（5）和（7）两式也满足对偶式（2）和（2´）对六弦的要求。

四 李明波双簧定理
综合二的1、2、3所述可知，（5）、（7）两式是五弦定理的必要条件，可概括如下：
图 1
a
b
c
d
f
A
B
C
m
D
n
e
e

李明波双簧定理 设图1圆内接凸四边形的两组对边为、和、，一组对角线为、，则它们满足如下两个方程
（5）
（7）
（5）式便是著名的托勒密定理。所以，李明波其实是用五弦定理重新证明了托勒密定理；而（7）式倒是个新发现，后来，李明波用三角形的一个面积公式，给出了（7）式的一个极其简洁的证明，以后我们将用专题对此介绍。
该定理的发现，使李明波觉得托勒密似乎在和他一起唱着双簧，所以，他称这个定理为“双簧定理”。
李明波~托勒密双簧定理，是李明波五弦定理的必要条件。

五 李明波双簧定理应用
李明波注意到，由（5）式可得
（14）
由（7）式可得
（15）
而将等式（14）左侧 ×（15）左侧 = （14）右侧 ×（15）右侧 两面约去可得
（1）
也就是说，从双簧定理的（5）、（7）两式中消去，便可得出五弦定理的（1）式。
同理，从双簧定理的（5）、（7）两式中消去便可得出五弦定理的（1´）式，消去便可得出五弦定理的（2）式，消去便可得出五弦定理的（2´）式，消去便可得出五弦定理的（3）式，消去便可得出五弦定理的（3´）式。
所以，李明波反过来又用双簧定理又证明五弦定理，这说明双簧定理还是五弦定理的充分条件。到此，我们可以得出这样的结论：
李明波五弦定理和李明波双簧定理互为充要条件。

六 李明波双簧定理的不可改进性
图 1
a
b
c
d
f
A
B
C
m
D
n
e
e

在图1中，由双簧定理可知，古先贤托勒密当初对圆内接凸四边形的两组对边、，、和一组对角线、之间的关系描述
（5）
是不完整的，它们所应满足的另一个方程是李明波所发现的
（7）
人们自然要问：在图1中，还会挖掘出第三个这类的方程吗？
答案是：不存在独立于（5）、（7）两式之外的，关于六弦之间关系的其它方程。
现在我们假设存在第三个这样的独立方程。用（5）和（7）式通
过消元已经得到了五弦定理的6个式子，从理论上讲，（5）式和假设的第三个式子通过消元也同样可以得到“另一种五弦定理”的6个式子，那么用这两个五弦定理再消元，就会得到一系列只含四个变量的“四弦定理”，而关于一般的“四弦定理”、“三弦定理”的不存在性，我们在文献[1]中已经做过论证。

七 侯明辉三弦定理与李明波五弦定理之间的关系
图 2
a
b
c
d
f
e
e
α
β

如图2，以正弦定理为桥梁，在托勒密定理
（5）
中做三个代换可得
（16）
约去上式中的外接圆直径便得侯明辉三弦定理[2]
（17）
所以，侯明辉三弦定理，其实是个“三弦两角定理”。
反过来，也可将侯明辉三弦定理（17）式变形到（16）式，再回归到托勒密定理（5）式。
可见，侯明辉三弦定理和托勒密定理等价，都是李明波五弦定理和双簧定理的必要条件之一。所以，五弦定理含概“三弦两角定理”。

八 结语
李明波五弦定理和李明波双簧定理的必要条件之一，就是著名的托勒密定理（该定理也含今天著名的“侯明辉三弦两角定理”，据说托勒密Ptolemy是埃及人，死于公元168年[3]）；必要条件之二的（7）式，就是我们即将进一步忽悠的李明波琥珀定理
（7）
难道（7）式真的是李明波首先发现的吗？从“托老”至今，至少已有1839年的历史了。如果哪位网友能够指出（7）式不是李明波首先发现的，那么则说明本文纯属胡诌。谢谢诸位！O了！ ：）

参 考 文 献
[1] 郝锡鹏。李明波五弦定理。北京：津乾论坛~津乾数学俱乐部~几何天地
[2] 李明波。侯明辉三弦定理的最简证明。北京：津乾论坛~津乾数学俱乐部~几何天地
[3] M.克莱因 著，张理京、张锦炎 译.古今数学思想（第一册）. 上海：上海科学技术出版社。1979：133-141
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