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分位数回归及其实例
一、 分位数回归的概念
分位数回归(Quantile Regression):是计量经济学的研究前沿方向之一，它利用解释变量的多个分位数（例如四分位、十分位、百分位等）来得到被解释变量的条件分布的相应的分位数方程。与传统的OLS只得到均值方程相比，它可以更详细地描述变量的统计分布。
传统的线性回归模型描述了因变量的条件分布受到自变量X的影响过程。普通最dx--乘法是估计回归系数的最基本的方法，它描述了自变量X对于因变量y的均值影响。如果模型中的随机扰动项来自均值为零而且同方差的分布，那么回归系数的最dx--乘估计为最佳线性无偏估计(BLUE)；如果近一步随机扰动项服从正态分布，那么回归系数的最dx--乘法或极大似然估计为最小方差无偏估计(MⅥ甩)。但是在实际的经济生活中，这种假设常常不被满足，饲如数据出现尖峰或厚尾的分布、存在显著的异方差等情况，这时的最小二乘法估计将不再具有上述优良性且稳健性非常差。最小二乘回归假定自变量X只能影响因变量的条件分布的位置，但不能影响其分布的刻度或形状的任何其他方面。
为了弥补普通最dx--乘法(0Ls)在回归分析中的缺陷，Koenkel"和Pxassett于1978年提出了分位数回归(Quantile Regression)的思想。它依据因变量的条件分位数对自变量X进行回归，这样得到了所有分位数下的回归模型。因此分位数回归相比普通最小二乘回归只能描述自变量X对于因变量y局部变化的影响而言，更能精确地描述自变量X对于因变量y的变化范围以及条件分布形状的影响。
分位数回归是对以古典条件均值模型为基础的最小二乘法的延伸，用多个分位函数来估计整体模型。中位数回归是分位数回归的特殊情况，用对称权重解决残差最小化问题，而其他的条件分位数回归则用非对称权重解决残差最小化。
一般线性回归模型可设定如下：

在满足高斯-马尔可夫假设前提下，可表示如下：

其中u为随机扰动项为待估解释变量系数。这是均值回归（OLS）模型表达式，类似于均值回归模型，也可以定义分位数回归模型如下：

对于分位数回归模型，则可采取线性规划法（LP）估计其最小加权绝对偏差，从而得到解释变量的回归系数，可表示如下：

求解得：
其中，

从参数的估计方法来看，一般线性回归模型的原理是使得被解释变量y与其拟合值之差（称作残差）的平方和最小，而分位数回归是使得这个残差的绝对值的一个表达式最小，这个表达式不可微，因此传统的求导方法不再适用，而是采用线性规划方法或单纯形算法。这也是它与一般线性回归最大的不同点之一。随着计算机技术的不断突破，上述算法可以很方便地由各种软件实现。现在主流统计、计量与科学计算软件SAS、STATA、EViews、MATLAB等中都可以加载分位数回归软件包。
分位数回归能够捕捉分布的尾部特征，当自变量对不同部分的因变量的分布产生不同的影响时．例如出现左偏或右偏的情况时。它能更加全面的刻画分布的特征，从而得到全面的分析，而且其分位数回归系数估计比OLS回归系数估计更稳健。近10多年来，分位数回归在国外得到了迅猛的发展及应用，其研究领域包括经济、医学、环境科学、生存分析以及动植物学等方面。
二、分位数回归的实例
下面举一个实例，关于我国地区经济增长收敛的分位数回归分析。 β-收敛的分位数回归分析。
绝对β-收敛的检验
分三阶段对中国经济增长的绝对收敛情况分位数回归方法进行分析。
表1 1978-2007年关于中国经济绝对收敛的OLS估计和分位数回归结果
变量
分位数
1978-1991
1992-2003
2004-2007

0.1
-0.2448(-6.93***)
0.1309(2.84*** )
-0.1098(-6.15***)

0.25
-0.2711(-5.49***)
0.1554(1.72*)
-0.0482(-0.76)

0.5
-0.3253(-4.28***)
0.1914(2.17**)
-0.0386(-0.88)

0.75
-0.2301(-2.05**)
0.1842( 1.55)
-0.0497(-1.01)

0.9
-0.3854(-5.86***)
0.2328(7.43***)
-0.1067(-2.20**)

OLS
-0.2791(-4.06***)
0.1727(2.96***)
-0.0806（-2.59**）

常数
0.1
2.8573(12.75***)
0.3483( 0.99 )
1.4088(8.11***)

0.25
3.0627(9.77***)
0.2172(0.31)
0.8984(1.54)

0.5
3.4860(7.70***)
0.0158(0.02)
0.8556(2.08**)

0.75
3.0649(4.36***)
0.2203( 0.24)
1.0185(2.20**)

0.9
4.1783(9.6***)
-0.0141(-0.06)
1.5943(3.30***)

OLS
3.2428(7.95***)
0.1893(0.42)
1.2535（4.30***）

分位数回归结果分析
通过观察表1，看出人均生产总值在第一阶段从十分位到九十分位β系数显著为负，存在着绝对收敛，而且β系数的绝对值呈现逐渐增加的趋势。而从1992年到2003年这一阶段可以明显看出十分位，四分之一分位，中位数，四分之三分位，九十分位β系数均为正，而且显著性水平都很高，β系数从十分位的0.1309增加到九十分位的0.2328，存在着显著的递增趋势，因此不存在绝对收敛。在第三阶段，只有十分位和九十分位β系数通过了显著性检验，其余水平下的β系数都不是很显著，但是总体上β系数均是负的，说明这阶段也存在着绝对β-收敛。这与许绍元、李善同(2006)得到的结果相似，他们认为我国的地区差距经历了一个先缩小后持续扩大的历程。与20世纪90年代相比，近年来我国的地区差距发展趋势出现了一定的变化，2000-2004年，我国的地区差距仍然在持续扩大，但扩展的速度比20世纪90年代有所减缓，2004年出现了地区差距缩小的迹象。