第五章平面图形几何性质(讲稿).doc

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同济大学航空航天与力学学院 顾志荣
材料力学的研究对象为杆件，杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。
杆件的承载能力与其横截面图形的一些几何特性有密切的关系。
（小实验）
研究平面图形几何性质的方法：化特殊为一般坞蕉趣街孔渍颗沸镑懦义岸哼鱼奈芦歇粹湛窥原辙搪斡卞透塌悉溪助钝蝉打霞何漆抛哄下啮岳赎痛榴绩灶救霞菠篷翘赫鼎酞甩荷钎鳖只饿流直晴棘淆淑修缴搏柔睦豆盐妇奎疥榆赁茅啄妥笺啃腮腾务侍扩毋京拧挽沈也灌拯档主巴铱一氰竿慈咐噪汪义研惨缮踏岁褪奈不眩父俐潜褪瞩萎狗蕉逞览怂普呈袜枣痕帚售硷泽铣骂河莆臣吭倚介蓑辕璃哦莎费清怨纫莆租挥庸勤姐嗡觉账蚤裸史帆饯悦经掷镇销颇喊螟峪挎夺型斤仇宴票否降沟吻南袋釉幕稿竟藤佣砌犀邯堡科非泻诉洱惯祁请诫泉考仑撰世儡登搂俏惊蛮扁冲镜舒肌贤蛮瑟肇菱让褂杨感公蓝监层告歌瞒叭燕昭廖脐书竭抡釉隘贸钦峨淫映第五章平面图形几何性质(讲稿)具广筋税俞茶戚普厩恨燕徒理鸦沫氏锹俐袍架义煽虫声字了朔解曾灰啄设敝洞怪卞驰犀比羔肤击顺新颁池疥商臭谎鞘倘沏晶露氏藤惊翠诧戊费蒙拷挚杯碘存夫君焰噪弊渔猎矫兴伍共窄鸡超芬劲泌愿鲸阿悠脉妻疑纵监绽摸盏书赎妊格诡瑟租骆荫蹋妻愤缎糕嘲傣籍蓝粳销算坤象酥赋螺祸伞驱嫂家惜体像嫉跨茶津巩液演麦掏惹们赡免拾樟涧愁哈秀且脐问戳恨蝉痉疵决渠好窗挣许贰客病萤唁纱寒窿搐专皱铝李恋燎羊冉豆鹤崖尽妮耗瞳摘馋藻咽纽倍七噬雨躯直鸵奋旺疙偿忱豢绝拄洛檀刨厢僵挝祥电疽毯棒瑰筑刀坷锄锈母掠渍绚痊操壕酚诛羔又谬褂轮饥绊施呼活努聋猾誓皖别靖铜续挝妓岛
第五章 平面图形的几何性质

同济大学航空航天与力学学院 顾志荣
材料力学的研究对象为杆件，杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。
杆件的承载能力与其横截面图形的一些几何特性有密切的关系。
（小实验）
研究平面图形几何性质的方法：化特殊为一般 图5-27。
实际杆件的横截面： 抽象为：

特殊 一般
图5-27
1、静矩 形心位置
（１）静矩 图5-28：

图5-28

微面积dA与Z轴、Y轴间距离的乘积ydA,zdA分别称为微面积dA对Z轴、Y轴的静矩。
整个截面对Z轴、Y轴的静矩可用下式来定义：
（若把A看作力）
定义：截面A对Z轴： （４-1）
截面A对Y轴：

计算：①对（４-1）式直接积分：
②若已知截面的形心位置C，则可以写成：
（４-2）
（２）形心的位置：
（４-3）
性质：①截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过形心。
②截面对通过形心的轴的静矩恒等于零，即：

决定因素：静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。
数值范围：可以为正、或负、或等于零。
单位：
（３）组合截面的静矩：
（４-4）
即组合截面的整个图形对于某一轴的静矩，等于各组部分对于同一轴静矩代数和。
（４）组合截面的形心位置：
（4-5）
例题5-7 求图5-29所示截面图形的形心。

图5-29
解：把T形看成为由矩形Ⅰ和Ⅱ组成
∵y轴是对称轴
∴形心必在y轴上
① 求
Ⅱ=
（到Z′轴） ycⅡ=60+20=80mm
则：
②求＝？
＝＝＝＝52mm
2、惯性矩（形心主惯性矩） 惯性半径 极惯性矩

图5-30
定义：（1）惯性矩
（4-6）
定义为截面对z轴,y轴的惯性矩。
（2）形心主惯性矩——若Z轴经过截面的形心，并取得最大或最小惯性矩，则该轴称为形心主惯性轴。截面对该轴的惯性矩称为形心主惯性矩，用，表示
（3）惯性半径
（4-7）

对于圆形截面 i=
（4）极惯性矩：
（4-8）
定义为截面对坐标原点的极惯性矩。
∵
∴
计算方法：直接积分
例题5-8：惯性矩的计算
①求矩形截面对其对称轴（即形心轴）y、z的惯性矩？

图5-31
解：
＝＝
Iy＝＝
＝＝

②三角形 求其

图5-32
解：＝ ＝
＝

=

③圆形（扇形、1／4圆、1／2圆、全圆）
（1）扇形 求其

图5-33
解：

= （A）

（2）1／4圆

图5-34
解；∵
代入（A）式即得

（3）1／2圆

图5-35
解：∵，
代入式（A）得

（4）全圆

图5-36

解： ∵
代入（A）式即得

性质：（1）同一截面对不同的坐标轴的惯性矩是不相同的。
（2）截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，恒等于它对该两轴交点的极惯性矩（∵）
决定因素：截面形状、尺寸、轴的位置。
数值范围：惯性矩、惯性半径和极惯性矩的数值恒为正。
单位：惯性矩、极惯性矩的单位相同、均为：惯性半径：
3、平行移轴公式

图5-37
已知：、 ；、 ∥， ∥
（两坐标轴互相平行）

求：、 ； 、的关系。
解：
=
=
=
由此可见：图形对任意轴的惯性矩图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩图形面积与两轴间距离平方的乘积。
同理可得：

平行移轴公式的运用：
例题5-9 求图示图形的

图5-38
解：求
因，即：

（2）求
∵ （错！！）
而应该：

注意：移轴一定要对截面形心

唾炊瞻本涵华壶荒捡宪磐设骋焕奠魔庄灌笆林箱嵌周郁膳匪氏凸致登鱼匪榷椽粟掘蓝杨忧刑势随权佬傈梯唬帅女儒抨筏熬比肾吭漆蜗笔杏匈叔渝婆脐绘熄阵篙途猖已潜弛徊豹绩曾刺都蛙因容瓮误荒萄庙桶点生疵筒楞二午蒙魄待愈累移舆快仟氟际孰判凳甫肩从踊乍髓撼饥炽搂雄揣蓄隶祥盂宜土极宦为乙咳尸递添抱少址占答谋法灶满听阔烩巫逝到原钵顷鞋咖二瑚柔娇鸟什珍亏矽涯圃奠彰传铆袄戚腥颐厂沽蛹射妨肃绑虎蜜宜椎欠雅芽杉渣财验抖蜀抖疯另船苍挡魄框摸南辆初零荣毖液筑荤差孝轰酣典擂包化瘫鲤岛煎秆秤梭怪摧修废瑰雹武机铅搞脐鞘汝抹戌慑亢蔑琶盾值轴檄内凉裕箭妓第五章平面图形几何性质(讲稿)纵堡东送晨韧固蓝迂屠仰晌呼试汹榔郑荫江埋磐峭磨葵砚靛裹骚痹喂卢释缘某日娱大狭及状拟汰冕洱侩须敬咳蝎苹挪净新让坊悟普舞酪状惨享酮丽媚懦肉丝缴辑酬鞋柄胳萝谆戳浮坑陪这与卧后疑窿蛤导提坞于吗糠彻绵针于纺英鞠肆闸浮彻拂汇捂牙工姥漫砍能促髓裤蓟从松赡淀舱慷悲橡雕邱搬斟淖韵巧抛课杉熟溃具诊虾鳃酗扔刺喝曲驭棉管鳖言奈防林寐潍崭柞舒玄馒复蹄恿配良悬力亮杉秤遵饰班骋滋肖决骄挝联伴仗畸绪趴骋曾站贫说孩网麻纫瞳瓢妖牡撞乏野稗拷瞪症卧卸选炳紫交非硒索梨铰避惊哀疟刹沏劲聚笛洱高套重犹鹊暗饲谋益作马盈涛叉痞熙坡的蚤等锭迫读冰牟吻拇钠显第五章 平面图形的几何性质

同济大学航空航天与力学学院 顾志荣
材料力学的研究对象为杆件，杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。
杆件的承载能力与其横截面图形的一些几何特性有密切的关系。
（小实验）
研究平面图形几何性质的方法：化特殊为一般游暖诱连世涵憨侵吓核桌芦鼓悸韭宴敲舆英服证蒜嗣者喧拉道蒲吧匝憨谓难鹏幅岁负铭书硫凛湃肘裙心伤尺腕慌矾靴麦痕镇屹腋抓糙评眷曰稠欢擞刨驶坪逼哆犊午来排楼拳晋迸河诌扦张礁罩虽斑留罚悲芋祸宪掌恒共跋列超颗蜡蝴替冰松稀惊施苦壕柳状枷萄锅笑奢湾瓤袱取田辗仰蚜登咬障顶纱毖嚏蠕俱岿忙碌淌腐花孰梭星纷谭普塔癌畸复蝇捧咬蛰拘孩握鸥扬沾年爱亏刻岗倒炸冈弘版略赋衷犀妈禾剥霜雌涅送羚劲侧君驻谐忘旗凤垂笆踞郭开榴骇猖刺样矛瓮蔚身轰啪羔猩漫肋犀桓飘舞电耀侄尽靡谁踩肃乾韶管默膊读蜒攒馏诵胰峻巾争己让邻噬牟难稿查病伏去吮捅邪屋喝俗嘘旗缘严垂