数学第四节二次根式.doc

第四节 二次根式
考点概览
1．掌握二次根式、最简二次根式的概念，能根据这些概念解决实际问题．
2．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质把二次根式化简成最简二次根式．同时能根据二次根式的非负性求字母或代数式的值．
3.能识别最简二次根式、同类二次根式。
4．掌握二次根式的运算法则，能灵活运用这些法则进行计算以及化简求值．
知识梳理

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考点1：二次根式的有关概念
1．二次根式：形如(≥0)的式子叫做二次根式．
温馨提示：二次根式的判断需要两个条件：
⑴带根号这里特指二次根号，通常情况下简写为“”；
⑵被开方数是非负数．
2．最简二次根式：满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：⑴被开方数的因数是整数，因式是整式；
⑵被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
温馨提示：最简二次根式的判断依据：
⑴被开方数不含分母；
⑵被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都为1.
二次根式化简的结果必须是最简二次根式或整式或分式．
3.同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
考点2 二次根式的性质
4.()2=a(a≥0)．
5.=|a|=
6.=•(a≥0，b≥0)．
7.=(a≥0，b＞0)．
温馨提示：化简二次根式的技巧
在化简时，要根据被开方数的不同特征，采取不同的化简策略，化简二次根式主要有以下类型：
⑴被开方数为整数
当被开方数是整数时，直接按照积的算术平方根的性质化简即可．
⑵被开方数是小数
当被开方数是小数时，应先将小数化成分数，再进行开方．
⑶被开方数是带分数
因为是带分数，不能直接进行开方运算，因此应先将带分数化为假分数后，再根据二次根式的性质进行化简．
⑷被开方数为单项式
当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式(即将单项式写成(am)2或(am)2·b的形式)，然后再开方．
⑸被开方数为数的和(或差)形式
当被开方数为数的和(或差)形式时，先求出被开方数的和(或差)，再进行化简．
⑹被开方数是多项式
当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方，切莫直接各自开方．如本题直接各自开方得2x2y+2x2y．
⑺被开方数是分式
当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式，然后再进行开方运算．
考点3 二次根式的运算
8．二次根式的加减法法则：二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并二次根式。
9．二次根式的乘法：•=(a≥0，b≥0)．
10．二次根式的除法：=(a≥0，b＞0)。
11.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、惩罚对假发的分配率，以及多项式的乘法公式，都是用于二次根式运算。

基础自测

1．在实数范围内有意义，则a的取值范围(　B　)
A．a≥3 B．a≤3 C．a≥-3 D．a≤-3
2．下列二次根式中，最简二次根式是(　C　)
A． B． C． D．
3．计算÷=(　A　)
A． B．5 C． D．
4．下列计算正确的是(　A　)
A．−＝ B．+＝
C．×＝6 D．÷＝4
5．当x=8时，二次根式的值为(　A　)
A．3 B．-3 C．±3 D．
6．下列等式一定成立的是(　B　)
A．−＝ B．×＝
C．＝±3 D．−=9
7．若二次根式有意义，则a的取值范围为　　a≥5　 ．
8．计算•的结果是　　2　 ．
9．若m＞2，化简=　　m-2　 ．
10．计算：(2-)(2+)=　　1　 ．

考法探究

考法1 二次根式有意义的条件
【例1】(2014•铜仁市)代数式有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x≥-1且x≠1 B．x≠1
C．x≥1且x≠-1 D．x≥-1
【解析】根据题意得x+1≥0且x-1≠0，
解得 x≥-1且x≠1．
【答案】A．
【归纳总结】解答这类问题时，主要根据：⑴分母不为0；⑵二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，通过不等式求得取值范围．
【类题训练】1(2015·中考预测) 使 有意义的x的取值范围是(　A　)
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【点拨】根据题意得：2x-4＞0，解得：x＞2．
考法2：二次根式 (a≥0)的双重非负性
【例2】(2014•张家界)若+(y+2)2=0，则(x+y)2014等于(　　)
A．-1 B．1 C．32014 D．-32014
【解析】∵+(y+2)2=0，
∴解得
∴(x+y)2014=(1-2)2014=1．
【答案】B．
【归纳总结】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根)．当几个非负数的和为0时，必须满足其中的每一个非负数都等于0．
【类题训练】2(2015·中考预测) 已知x y是实数，
+y2-6y+9=0，则xy的值是(　B　)
A．4 B．-4 C． D．-
【点拨】原式可化为：+(y-3)2=0，
则3x+4=0，x=-；y-3=0，y=3；∴xy=-×3=-4．
考法3：二次根式的化简
【例4】把下列二次根式化为最简二次根式：
⑴； ⑵．
【解析】⑴将被开方数1200分为400×3，利用二次根式的乘法逆运算变形，再利用二次根式的化简公式化简，即可得到最简结果；
⑵根据=，进而化简求出即可．
【答案】⑴==×=20．
⑵===．

【类题训练】4(2015·中考预测) 化简：
⑴； ⑵．
解：⑴=9xy．
⑵===．
【例5】化简：−(3＜a＜4)．
【解析】先将a2-6a+9整理成(a-3)2的形式，再根据二次根式的性质解答．
【答案】：∵3＜a＜4，
∴原式=|a-3|-|a-4|=(a-3)-(4-a)=2a-7．
【归纳总结】解答此类问题，先根据题目所给条件确定式子的符号，然后再根据化简二次根式或绝对值的法则进行．
【类题训练】5(2015·中考预测) 已知-1＜a＜2，化简−．
解：根据已知条件，可知a+1＞0，a-2＜0，再根据二次根式的性质：=|a|进行计算．
∵-1＜a＜2，∴a+1＞0，a-2＜0．∴−==a+1+a-2=2a-1．
考法4：二次根式的运算
【例6】计算：⑴(-4-)；
⑵×+÷−．
【解析】⑴先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算；⑵根据二次根式的乘除法法则计算×和÷，然后合并被开方数相同的二次根式即可．
解：⑴原式=(4−−2)
=(2−)=2-2．
⑵原式=××+××÷-4=2+2-4=．
【归纳总结】在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式，然后按照运算顺序进行运算即可．
【类题训练5】 (2015·中考预测) 计算：
⑴×+(−1)2；
⑵(5+3)(5−2)；
⑶(3−1)(3+1)−(3−1)2．
【解析】⑴先乘法运算，运用二次根式的乘法法则，仿照差的完全平方公式进行运算；
⑵可以类比多项式乘以多项式的法则进行计算，然后合并被开方数相同的二次根式；
⑶根据平方差和完全平方公式进行计算即可．
解：⑴原式=+2-2+1=3+3-2=3+．
⑵原式=25-10+15-6
=25-10+10-6=19．
⑵原式=(3)2-12-[(3)2-6+1)
=18-1-(18-6+1)=18-1-18+6-1=6-2．

真题试练

3．(2013•红河州)计算的结果是(　B　)
A．-3 B．3 C．-9 D．9
【点拨】原式利用二次根式的化简公式可得，原式=|-3|=3．

5. (2013•长沙)计算：-=　　　 ．
【点拨】原式=2-=．
6．(2014•福州)计算：(+1)(-1)=　　1　 ．
【点拨】(+1)(-1)=()2−1＝1．
7．(2014•黄冈)计算：-=　 ．
【点拨】原式=2-=．
8．(2014•青岛)计算：=2+1．
【点拨】原式=+=2+1．

10．

11．(2014•大连)(1-)++()-1．．
解：原式=-3+2+3=3．
综合测评

一、选择题
1．(2014•达州)二次根式有意义，则实数x的取值范围是(　D　)
A．x≥-2 B．x＞-2 C．x＜2 D．x≤2
【点拨】由题意得，-2x+4≥0，解得x≤2．
2．下列式子中二次根式的个数有(　B　)
⑴； ⑵ ； ⑶-； ⑷；
⑸ ； ⑹(x＞1)．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【点拨】根据二次根式的意义和性质：被开方数必须是非负数，可知⑴、⑶、⑸是二次根式；⑵、⑹的被开方数是负数，二次根式没有意义，不是二次根式；⑷是三次根式．是二次根式的有三个．

4．若|x-2y|+=0，则xy的值为(　A　)
A．8 B．2 C．5 D．-6
【点拨】首先根据非负数的性质，可列方程组求出x、y的值，再代入xy中计算即可．由题意，得：解得
所以xy=(-2)×(-4)=8．

6．如果＝1−2a，则(　B　)
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
【点拨】∵＝1−2a，∴1-2a≥0，解得a≤．
7．设=a，=b，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是(　A　)
A．0.3ab B．3ab
C．0.1ab2 D．0.1a2b
【点拨】∵＝=0.3·•，
又∵=a，=b，∴=0.3ab．
二、填空题(每小题7分，共28分)

10. .已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是__3______.(写出一个即可)
. 点拔：答案不唯一，如3 满足2a -4=2k2(k为任意有理数)均可.

11．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则(2@6)@8=　　6　 ．
【点拨】∵x@y=，
∴(2@6)@8=@8=4@8==6．

三、解答题
13. .计算-×+．
解：原式= - +2=4 -+2=4+.
14.化简：2a–－6ab (b≥0)；
解：原式=2ab－ab－2ab=－ab.

16.阅读下列材料，然后回答问题.　
　在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝； ＝；　
＝＝=-1.
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：
====.　　
(1)请用不同的方法化简；
(2)化简：+++…
+.
解： (1)解法一：===.
解法二：====.
(2)原式=++…+

==.