立体几何中的向量方法(一).doc

第七节 立体几何中的向量方法(一)
——证明空间中的位置关系

1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量
①定义：向量a所在直线与l_平行或重合，则a叫做l的方向向量；
②确定：通常在直线l上任取两点构成的向量.
(2)平面的法向量
①定义：与平面 垂直 的向量，称做平面的法向量；
②确定：设n是平面的法向量，在平面内找两个不共线向量a,b，由方程组 来确定.
2.空间位置关系的向量表示
位 置 关 系
向 量 表 示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1=λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2=0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m=0
l⊥α
n∥m⇔n·m=0
平面α,β的法向量分别为n,m
α∥β
n∥m⇔n=λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m=0

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的.( )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( )
(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( )
【解析】(1)错误.与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量.
(2)错误.由于法向量的方向不同，所以平面的单位法向量不唯一.
(3)正确.由平面平行的转化定理可知.
(4)正确.由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确，根据等价命题可知.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√

1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2)，平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则( )
(A)l∥α (B)l⊥α
(C)l⊂α (D)l与α斜交
【解析】选B.∵a=(1,0,2),u=(-2,0,-4), ∴u=-2a,即u∥a,∴l⊥α.
2.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( )
(A)a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) (B)a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
(C)a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) (D)a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
【解析】选D.若l∥α，则a·n=0.经验证知，D满足条件.
3.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则直线l1,l2的位置关系是______．
【解析】由a·b=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0得a⊥b，从而l1⊥l2． 答案：l1⊥l2
4.若平面α，β的法向量分别为a=(-2,y,8),b=(-10,-1,-2),且α⊥β，则y=________.
【解析】∵α⊥β,∴a·b=0, 即20-y-16=0, ∴y=4. 答案：4
5.若A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面α内的三点，设平面α的法向量n=(x,y,z)，则x∶y∶z=________.
【解析】由题知 =(1，-3，- )， =(-2,-1,- ).

所以x∶y∶z=( y)∶y∶(- y)=2∶3∶(-4)． 答案：2∶3∶(-4)

考向 1 空间中的点共线、点共面问题
【典例1】已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点,用向量法证明：
(1)E，F，G,H四点共面.
(2)BD∥平面EFGH.
【思路点拨】(1)证明 根据共面向量定理即可得到结论；或证明FG∥EH，即可得到FG,EH确定一平面，故得四点共面．
(2)证明 共线，然后根据线面平行的判定定理解题即可.
【规范解答】(1)方法一：∵E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边的中点，

∴E,F,G,H四点共面．
方法二：∵E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边的中点，
∴ ∴FG∥EH且FG=EH，
∴四边形EFGH为平行四边形． 故E,F,G,H四点共面．
【拓展提升】
1.证明点共线的方法
证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A,B,C三点共线，即证明 共线，
亦即证明
2.证明点共面的方法
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P,A,B,C四点共面，只要能证明 或对空间任一
点O，有 即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．
【变式训练】如图所示，已知ABCD是平行四边形，P点是平面ABCD外一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.
(1)试用向量法证明E，F，G，H四点共面.
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量法证明你的判断.
【解析】(1)分别连接PE,PF,PG,PH并延长交对边于M,N,Q,R点.
因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,
所以M,N,Q,R分别为所在边的中点，连接MN,NQ,QR,RM得到的四边形为平行四边形，且有：

连接MQ，EG，因为四边形MNQR是平行四边形，所以

由共面向量定理知E,F,G,H四点共面
(2)平行.理由如下：
由(1)得
又因为EGË平面ABCD，MQ⊂平面ABCD，
所以EG∥平面ABCD.
因为
所以MN∥EF.
又因为EFË平面ABCD，MN⊂平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD.
由于EG与EF交于E点，
所以平面EFGH∥平面ABCD.
考向 2 利用空间向量证明平行关系
【典例2】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点.
求证：CE∥平面C1E1F.
【思路点拨】要证明CE∥平面C1E1F，可证明向量 与平面C1E1F的法向量垂直.
【规范解答】以D为原点，DA，DC，DD1
所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间
直角坐标系，设BC＝1，
则C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，
1，2)，F(1，1，1)，E1(1， ，2).
设平面C1E1F的一个法向量n=(x,y,z).

【互动探究】在本例条件下，判断平面C1E1F与平面CEF是否垂直，并给出证明.

【拓展提升】利用向量处理平行问题的常用方法
(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
(2)证明线面平行的方法：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示.
(3)证明面面平行：
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题.
考向 3 利用空间向量证明垂直关系
【典例3】(2013·长沙模拟)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，
垂足O落在线段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC.
(2)在线段AP上是否存在点M，使得平面AMC⊥平面BMC？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.
【思路点拨】对(1)问线线垂直的证明易入手，利用两非零向量的数量积为0即可进行证明.对(2)问，平面AMC⊥平面BMC，即平面AMC的法向量与平面BMC的法向量垂直，因此可建立适当的空间直角坐标系求解.因为M在线段AP上，故可利用A，M，P三点共线设出M点的坐标.

拓展提升】向量方法证明空间垂直关系的基本途径
(1)线线垂直：只要证明两直线的方向向量垂直.
(2)线面垂直：①用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；
②用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；
③证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
(3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，还可证明两平面的法向量垂直.
【变式训练】在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.
(1)求证：EF⊥CD.
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.

1.(2013·邵阳模拟)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点，n=(1,1,1)，则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是( )
(A)垂直 (B)不垂直 (C)平行 (D)以上都有可能
【解析】选A.由题意知， =(-1，1，0)， =(0，-1，1)，
∵n· =0,n· =0, ∴以n为方向向量的直线l与平面ABC垂直.
2.(2013·益阳模拟)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，
AB＝ ，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE，则M点的坐标为( )

3.(2013·怀化模拟)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
棱长为a,M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝ 则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
(A)斜交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定
4.(2013·青岛模拟)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，PA＝a，二面角P-CD-B为45°.
求证：(1)AF∥平面PCE.
(2)平面PCE⊥平面PCD.

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，
四边形ABCE为菱形，∠BAD＝120°,PA=AB,G,F分别是线段CE，
PB上的动点，且满足 ＝λ∈(0,1).证明：FG∥平面PDC.

2.如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，
BC＝ AB，B1C1 BC,二面角A1-AB-C是直二面角.
求证：(1)A1B1⊥平面AA1C.
(2)AB1∥平面A1C1C.