第1章122知能优化训练.doc

1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．2
解析：选B.S△ABC＝AB·AC·sin A＝sin 60°＝.
2．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则(　　)
A．A＝30° B．A＝60°
C．A＝30°或150° D．A＝60°或120°
解析：选D.∵S＝bcsin A＝，∴×2×sin A＝.
∴sin A＝.∴A＝60°或120°.
3．在△ABC中，AC＝，AB＝，cos A＝，则S△ABC＝________.
解析：在△ABC中，cos A＝，
∴sin A＝，
∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝×××＝.
答案：

4．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.
解：在△ADC中，
cos C＝＝＝.
又0°＜C＜180°，∴sin C＝.
在△ABC中，＝，
∴AB＝ AC＝××7＝.

一、选择题
1．在△ABC中，a2＝b2＋c2－bc，则角A为(　　)
A. B.
C. D.或
解析：选A.∵a2＝b2＋c2－bc，
∴cos A＝＝，即A＝.
2．在△ABC，下列关系一定成立的是(　　)
A．a＜bsin A B．a＝bsin A
C．a＞bsin A D．a≥bsin A
解析：选D.由正弦定理知＝，∴sin B＝sin A.
又∵在△ABC中，0＜sin B≤1，
∴0＜sin A≤1，
∴a≥bsin A．故选D.
3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应三边之比a∶b∶c等于(　　)
A．3∶2∶1 B.∶2∶1
C.∶∶1 D．2∶∶1
解析：选D.由已知得A＝90°，B＝60°，C＝30°.
又由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶＝2∶∶1.故选D.
4．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：选A.b2－bc－2c2＝0，
∴(b－2c)(b＋c)＝0.
∴b＝2c.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，
解得c＝2，b＝4，
∵cos A＝，∴sin A＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝.
5．三角形两边长之差为2，其夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的两边长分别是(　　)
A．3和5 B．4和6
C．6和8 D．5和7
解析：选D.设a－b＝2，∵cos C＝，∴sin C＝.
又S△ABC＝absin C，
∴ab＝35.由a－b＝2和ab＝35，
解得a＝7，b＝5.
6．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝(　　)
A. B．1
C．2 D.
解析：选D.S△ABC＝acsin B＝c＝2，∴c＝4.b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8×＝25，∴b＝5.∴R＝＝＝.
二、填空题
7．在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则△ABC是________三角形．
解析：法一：∵72＞52＋32，即a2＞b2＋c2，
∴△ABC是钝角三角形．
法二：∵cos A＝＜0，
∴△ABC是钝角三角形．
答案：钝角
8．(2011年江南十校联考)在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于________．
解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 30°，
∴AC2－2AC＋3＝0.∴AC＝.
∴S△ABC＝AB·ACsin 30°＝×2××＝.
答案：
9．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为________．
解析：由S△ABC＝，得AB·ACsin A＝，
即×2AC×＝，∴AC＝1，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝22＋12－2×2×1×＝3.
∴BC＝.
答案：
三、解答题
10．在△ABC中，已知a＝2bcos C，求证：△ABC为等腰三角形．
证明：由余弦定理，得cos C＝.
又cos C＝，∴＝.整理得b2＝c2.
∴b＝c.∴△ABC是等腰三角形．
11．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2.
(1)求角C；
(2)求a边的长．

解：(1)由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，
sin C＝＝，则C＝60°.
(2)由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，
则()2＝a2＋42－2×a×4×，即a2－4a－5＝0.
所以a＝5或a＝－1(舍)．
因此a边的长为5.
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A＝，A·A＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．

解：(1)因为cos A＝，
所以sin A＝.
又由A·A＝3，得bccos A＝3，
所以bc＝5.
因此S△ABC＝bcsin A＝2.
(2)由(1)知，bc＝5，
又b＋c＝6，
所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5.
由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，
所以a＝2.