九年级上册数学期末考试试卷及答案(人教版).doc

初三上学期数学期末试题及答案
(完卷时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．下列二次根式中，最简二次根式是
A． B． C． D．
2．一元二次方程x(x－1)＝0的解是
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝－1
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A
B
C
D

A
B
C
O
第4题图
4．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝15°，则∠BOC的度数是
A．15° B．300° C．45° D．75°
5．下列事件中，必然发生的是
A．某射击运动射击一次，命中靶心 B．通常情况下，水加热到100℃时沸腾
A
B
C
D
E
第6题图
C．掷一次骰子，向上的一面是6点 D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
6．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，DE＝6，则BC的值为
A
B
C
O
第7题图
A．6 B．12 C．18 D．24
7．如图所示，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为
A．8cm了 B．6cm C．5cm D．4cm
A
B
C
O
第9题图
D
8．若两圆的圆心距为5，两圆的半径分别是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则两圆的位置关系是
A．相交 B．外离 C．内含 D．外切
9．将一副直角三角板(含45°角的直角三角板ABC与含30°角的直角三角板DCB)按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于
A．1∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3
10．已知二次函数y＝x2－x＋，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取m－1、m＋1时，对应的函数值为y1、y2，则y1、y2满足
A．y1＞0，y2＞0 B．y1＜0，y2＞0 C．y1＜0，y2＜0 D．y1＞0，y2＜0
第13题图
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．二次根式有意义，则x的取值范围是__________________．
12．将抛物线y＝2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是____________．
13．如图所示，某公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落点在黑色石子区域内概率是_____________．
14．某小区2011年绿化面积为2000平方米，计划2013年底绿化面积要达到2880平方米．如果每年的增长率相同，那么这个增长率是__________________．
A
C1
第15题图
C2
C3
C4
C5
B1
B2
B3
B4
B5
D1
D2
D3
D4
…
15．如图所示，n＋1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn＋1DnCn的面积为Sn，则S1＝________，Sn＝__________(用含n的式子表示)．

三、解答题(共7小题，共90分)
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
0
x
y
A
B
C
第17题图
16．计算：(每小题8分，共16分)
(1) ×÷ (2) ＋6－2x
17．(12分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1) 分别写出图中点A和点C的坐标；
(2) 画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB'C'；
(3) 在(2)的条件下，求点C旋转到点C' 所经过的路线长(结果保留π)．
A
B
C
D
O
第19题图
18．(11分)在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同．小明和小亮做摸球游戏，游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由．
19．(12分)如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
(1) 求直径AB的长；
(2) 求阴影部分的面积(结果保留π)．
20．(12分)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)的关系符合一次函数y＝－x＋140．
(1) 直接写出销售单价x的取值范围．
(2) 若销售该服装获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价为多少元时，可获得最大利润，最大利润是多少元？
(3) 若获得利润不低于1200元，试确定销售单价x的范围．
21．(13分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB边上的一动点(D不与A、B重合)，过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处．连结BA'，设AD＝x，△ADE的边DE上的高为y．
(1) 求出y与x的函数关系式；
(2) 若以点A'、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似，求x的值；
(3) 当x取何值时，△A' DB是直角三角形．
A
B
C
D
x
A'
第21题图
E
A
B
C
第21题备用图

22．(14分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－2，0)、B(0，1)两点，且对称轴是y轴．经过点C(0，2)的直线l与x轴平行，O为坐标原点，P、Q为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上的两动点．
A
B
C
O
x
y
P
Q
l
第22题图
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 以点P为圆心，PO为半径的圆记为⊙P，判断直线l与⊙P的位置关系，并证明你的结论；
(3) 设线段PQ＝9，G是PQ的中点，求点G到直线l距离的最小值．

数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题：
1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D 10．A
二、填空题：
11．x≥1 12．y＝2x2＋3 13． 14．20% 15．；
三、解答题：
16．(1)原式＝3×5÷ ………………………………………………4分
＝3×5 ………………………………………………6分
＝15 ……………………………………………………………8分
(2)原式＝×3＋6×－2x· ………………3分
＝2＋3－2 ……………………………6分
＝3 …………………………………8分
17．解：(1)A(1，3)、C(5，1)； …………………………………4分
(2)图形正确； ……………………………………………8分
(3)AC＝2， ……………………………………………10分
弧CC'的长＝＝π． …………………12分
18．解：

或
第2次
第1次
红
红
白
红
(红，红)
(红，红)
(红，白)
红
(红，红)
(红，红)
(红，白)
白
(白，红)
(白，红)
(白，白)

列对表格或树状图正确， …………………………………………………6分
由上述树状图或表格知：
P(小明赢)＝，P(小亮赢)＝． ……………………………………………10分
∴此游戏对双方不公平，小明赢的可能性大． ………………………………11分
19．解：(1) ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°， ……………………………………1分
∵∠B＝30，
∴AB＝2AC， ……………………………………3分
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝AB2＋62， …………………………………5分
∴AB＝4． ………………………………………6分
(2) 连接，
∵AB＝4，∴OA＝OD＝2， …………………………………………………8分
∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠AOD＝90°， …………………………………………………………………9分
∴S△AOD＝OA·OD＝·2·2＝6， ……………………………………10分
∴S扇形△AOD＝·π·OD2＝·π·(2)2＝3π， ………………………………11分
∴阴影部分的面积＝ S扇形△AOD－S△AOD＝3π－6． ……………………………12分
20．解：(1) 60≤x≤90； ……………………………………………………………………3分
(2) W＝(x―60)(―x＋140)， ……………………………………………………………4分
＝－x2＋200x－8400，
＝―(x―100)2＋1600， ……………………………………………………………5分
抛物线的开口向下，∴当x＜100时，W随x的增大而增大， …………………………6分
而60≤x≤90，∴当x＝90时，W＝―(90―100)2＋1600＝1500． ………………………7分
∴当销售单价定为90元时，可获得最大利润，最大利润是1500元． ……………………8分
(3) 由W＝1200，得1200＝－x2＋200x－8400，
整理得，x2－200x＋9600＝0，解得，x1＝80，x2＝120， ……………………………………11分
由图象可知，要使获得利润不低于1200元，销售单价应在80元到120元之间，而60≤x≤90，所以，销售单价x的范围是80≤x≤90． ………………………………………………………12分
21．解：(1) 过A点作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，则BM＝BC＝3，
∵DE∥BC，∴AN⊥DE，即y＝AN．
在Rt△ABM中，AM＝＝4， …………………………………………………………2分
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC， ……………………………………………………………………………3分
∴＝，
∴＝，
∴y＝(0＜x＜5)． ………………………………………………………………………4分
(2) ∵△A'DE由△ADE折叠得到，
∴AD＝A'D，AE＝A'E，
∵由(1)可得△ADE是等腰三角形，
∴AD＝A'D，AE＝A'E，
∴四边形ADA'E是菱形， ………………………………5分
∴AC∥D A'，
∴∠BDA'＝∠BAC，又∵∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，
∴∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，
∴有且只有当BD＝A'D时，△BDA'∽△BAC， …………………………………………7分
∴当BD＝A'D，即5－x＝x时，
∴x＝． ………………………………………………………………………………8分
(3) 第一种情况：∠BDA'＝90°，
∵∠BDA'＝∠BAC，而∠BAC≠90°，
∴∠BDA'≠90°． ………………………………………………………………………9分
第二种情况：∠BA'D＝90°，
∵四边形ADA'E是菱形，∴点A'必在DE垂直平分线上，即直线AM上，
∵AN＝A'N＝ y＝，AM＝4，
∴A'M＝|4－x|，
在Rt△BA'M中， A'B2＝BM2＋A'M2＝32＋(4－x)2，
在Rt△BA'D中，A'B2＝BD2＋A'D2＝(5－x)2－x2，
∴ (5－x)2－x2＝32＋(4－x)2，
解得 x＝，x＝0(舍去)． ……………………………………………………11分
第三种情况：∠A'BD＝90°，
解法一：∵∠A'BD＝90°，∠AMB＝90°，
∴△BA'M∽△ABM，
即＝，∴BA'＝， ……………………………12分
在Rt△D BA'中，DB2＋A'B2＝A'D2，
(5－x)2＋＝x2，
解得：x＝． ……………………………………………13分
解法二：∵AN＝A'N＝ y＝，AM＝4，
∴A'M＝|x－4|，
在Rt△BA'M中， A'B2＝BM2＋A'M2＝32＋(x－4)2，
在Rt△BA'D中，A'B2＝ A'D2－BD2＝x2－(5－x)2，
∴ x2－(5－x)2＝32＋(x－4)2，
解得x＝5(舍去)，x＝． ………………………………………………………13分
综上可知当x＝、x＝时， △A'DB是直角三角形．
22．解：(1) ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，∴b＝0． …………………………1分
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，0)、B(0，1)两点，
∴c＝1，a＝－， ……………………………………3分
∴所求抛物线的解析式为y＝－x2＋1． ……………4分
(2) 设点P坐标为(p，－p2＋1)，
如图，过点P作PH⊥l，垂足为H，
∵PH＝2－(－p2＋1)＝p2＋1， …………………6分
OP＝＝－p2＋1， ………………8分
∴OP＝PH，
∴直线l与以点P为圆心，PO长为半径的圆相切． …………………………………9分
(3) 如图，分别过点P、Q、G作l的垂线，垂足分别是D、E、F. 连接EG并延长交DP的延长线于点K，
∵G是PQ的中点，
∴易证得△EQG≌△KPG，
∴EQ＝PK， ………………………………………11分
由(2)知抛物线y＝－x2＋1上任意一点到原点的距离等于该点到直线l：y＝2的距离，
即EQ＝OQ，DP＝OP， …………………………………12分
∴ FG＝DK＝(DP＋PK)＝(DP＋EQ)＝(OP＋OQ)， ……13分
∴只有当点P、Q、O三点共线时，线段PQ的中点G到直线l的距离GF最小，
∵PQ＝9，
∴GF≥4.5，即点G到直线l距离的最小值是4.5． …………………………………14分
(若用梯形中位线定理求解扣1分)

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