蒙特卡罗方法详解与MATLAB实现PPT课件.ppt

单击此处编辑母版样式,单击此处编辑幻灯片母版样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,蒙特卡罗方法概述,蒙特卡罗方法的基本思想,蒙特卡罗方法的收敛性，误差,蒙特卡罗方法的特点,蒙特卡罗方法的主要应用范围,作 业,1,2025/3/25 周二,蒙特卡罗方法,又称,随机抽样技巧,或,统计试验方法,。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的,发明,，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。,2,2025/3/25 周二,蒙特卡罗方法的基本思想,二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的,发明,，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科学试验中就已发现，并加以利用。,两个例子,例,1.,蒲丰氏问题,例,2.,射击问题（打靶游戏）,基本思想,计算机模拟试验过程,3,2025/3/25 周二,例,1.,蒲丰氏问题,为了求得圆周率,值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为,2l,的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为,2a,（,l,a,）的平行线相交的频率代替概率,P,，再利用准确的关系式：,求出,值,其中,为投计次数，,n,为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。,4,2025/3/25 周二,一些人进行了实验，其结果列于下表,：,实验者,年份,投计次数,的实验值,沃尔弗,(Wolf),1850,5000,3.1596,斯密思,(Smith),1855,3204,3.1553,福克斯,(Fox),1894,1120,3.1419,拉查里尼,(Lazzarini),1901,3408,3.1415929,5,2025/3/25 周二,例,2.,射击问题（打靶游戏）,设,r,表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，,(,r,),表示击中,r,处相应的得分数（环数），,f,(,r,),为该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。该运动员的射击成绩为,用概率语言来说，,是随机变量,(,r,),的数学期望，即,6,2025/3/25 周二,现假设该运动员进行了,次射击，每次射击的弹着点依次为,r,1,，,r,2,，,，,r,N,，则,次得分,g,(,r,1,),，,g,(,r,2,),，,，,g,(,r,N,),的算术平均值,代表了该运动员的成绩。换言之，为积分,的估计值，或近似值。,在该例中，用,次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望,的估计值（积分近似值）。,7,2025/3/25 周二,基本思想,由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数,学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。,当随机变量的取值仅为,1,或,0,时，它的数学期望就是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随机变量（仅取值为,1,或,0,）的数学期望。,8,2025/3/25 周二,因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数,f,(,r,),的随机变量,(,r,),的数学期望,通过某种试验，得到,个观察值,r,1,，,r,2,，,，,r,N,（用概率语言来说，从分布密度函数,f,(,r,),中抽取,个子样,r,1,，,r,2,，,，,r,N,，），将相应的,个随机变量的值,g,(,r,1,),，,g,(,r,2,),，,，,g,(,r,N,),的算术平均值,作为积分的估计值（近似值）。,9,2025/3/25 周二,为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。,10,2025/3/25 周二,计算机模拟试验过程,计算机模拟试验过程，就是将试验过程（如投针，射击）化为数学问题，在计算机上实现。以上述两个问题为例，分别加以说明。,例,1.,蒲丰氏问题,例,2.,射击问题（打靶游戏）,由上面两个例题看出，蒙特卡罗方法常以一个“概率模型”为基础，按照它所描述的过程，使用由已知分布抽样的方法，得到部分试验结果的观察值，求得问题的近似解。,11,2025/3/25 周二,例蒲丰氏问题,设针投到地面上的位置可以用一组参数（,x,）来描述，,x,为针中心的坐标，,为针与平行线的夹角，如图所示。,任意投针，就是意味着,x,与,都是任意取的，但,x,的范围限于,0,，,a,，夹角,的范围限于,0,，,。在此情况下，针与平行线相交的数学条件是,针在平行线间的位置,12,2025/3/25 周二,如何产生任意的,（,x,）,？,x,在,0,，,a,上任意取值，表示,x,在,0,，,a,上是均匀分布的，其分布密度函数为：,类似地，,的分布密度函数为：,因此，产生任意的,（,x,）,的过程就变成了由,f,1,(,x,),抽样,x,及由,f,2,(,),抽样,的过程了。由此得到：,其中,1,，,2,均为（,0,1,）上均匀分布的随机变量。,13,2025/3/25 周二,每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分布的随机变量中抽样得到,（,x,），,然后定义描述针与平行线相交状况的随机变量,s,(,x,),，为,如果投针,次，则,是针与平行线相交概率,的估计值。事实上，,于是有,14,2025/3/25 周二,例射击问题,设射击运动员的弹着点分布为,用计算机作随机试验（射击）的方法为，选取一个随机数,，按右边所列方法判断得到成绩。,这样，就进行了一次随机试验（射击），得到了一次成绩,(,r,),，作,次试验后，得到该运动员射击成绩的近似值,环数,7,8,9,10,概率,0.1,0.1,0.3,0.5,15,2025/3/25 周二,蒙特卡罗方法的收敛性，误差,蒙特卡罗方法作为一种计算方法，其收敛性与误差是普遍关心的一个重要问题。,收敛性,误差,减小方差的各种技巧,效率,16,2025/3/25 周二,收敛性,由前面介绍可知，蒙特卡罗方法是由随机变量,X,的简单子样,X,1,，,X,2,，,，,X,N,的算术平均值：,作为所求解的近似值。由大数定律可知，,如,X,1,，,X,2,，,，,X,N,独立同分布，且具有有限期望值（,E(X),），则,即随机变量,X,的简单子样的算术平均值,，,当子样数,充分大时，以概率,1,收敛于它的期望值,E(X),。,17,2025/3/25 周二,误差,蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案。该定理指出，如果随机变量序列,X,1,，,X,2,，,，,X,N,独立同分布，且具有有限非零的方差,2,，即,f,(X),是,X,的分布密度函数。则,18,2025/3/25 周二,当,N,充分大时，有如下的近似式,其中,称为置信度，,1,称为置信水平。,这表明，不等式 近似地以概率,1,成立，,且误差收敛速度的阶为 。,通常，蒙特卡罗方法的误差,定义为,上式中,与,置信度,是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出 。,19,2025/3/25 周二,下面给出几个常用的,与,的数值：,关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。第二，误差中的均方差,是未知的，必须使用其估计值,来代替，在计算所求量的同时，可计算出 。,0.5,0.05,0.003,0.6745,1.96,3,20,2025/3/25 周二,减小方差的各种技巧,显然，当给定置信度,后，,误差,由,和,N,决定。要减小,，或者是增大,N,，或者是减小,方差,2,。在,固定,的情况下，要把精度提高一个数量级，试验次数,N,需增加两个数量级。因此，单纯增大,N,不是一个有效的办法。,另一方面，如能减小估计的均方差,，比如降低一半，那误差就减小一半，这相当于,N,增大四倍的效果。因此降低方差的各种技巧，引起了人们的普遍注意。后面课程将会介绍一些降低方差的技巧。,21,2025/3/25 周二,效率,一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样的时间增加。在固定时间内，使观察的样本数减少。所以，一种方法的优劣，需要由,方差,和,观察一个子样的费用,（使用计算机的时间）两者来衡量。这就,是蒙特卡罗方法中效率的概念。它定义为 ，其中,c,是观察一个子样的平均费用。显然 越小，方法越有效。,22,2025/3/25 周二,蒙特卡罗方法的特点,优点,能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。,受几何条件限制小。,收敛速度与问题的维数无关。,具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。,误差容易确定。,程序结构简单，易于实现。,缺点,收敛速度慢。,误差具有概率性。,在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关。,23,2025/3/25 周二,能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程,从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、形象的特点。,24,2025/3/25 周二,受几何条件限制小,在计算,s,维空间中的任一区域,D,s,上的积分,时，无论区域,D,s,的形状多么特殊，只要能给出描述,D,s,的几何特征的条件，就可以从,D,s,中均匀产生,N,个点,，得到积分的近似值。,其中,D,s,为区域,D,s,的体积。这是数值方法难以作到的。,另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特卡罗方法，不会有原则上的困难。,25,2025/3/25 周二,收敛速度与问题的维数无关,由误差定义可知，在给定置信水平情况下，蒙特卡罗方法的收敛速度为，与问题本身的维数无关。维数的变化，只引起抽样时间及估计量计算时间的变化，不影响误差。也就是说，使用蒙特卡罗方法时，抽取的子样总数,N,与维数,s,无关。维数的增加，除了增加相应的计算量外，不影响问题的误差。这一特点，决定了蒙特卡罗方法对多维问题的适应性。而一般数值方法，比如计算定积分时，计算时间随维数的幂次方而增加，而且，由于分点数与维数的幂次方成正比，需占用相当数量的计算机内存，这些都是一般数值方法计算高维积分时难以克服的问题。,26,2025/3/25 周二,具有同时计算多个方案与多个未知量的能力,对于那些需要计算多个方案的问题，使用蒙特卡罗方法有时不需要像常规方法那样逐个计算，而可以同时计算所有的方案，其全部计算量几乎与计算一个方案的计算量相当。例如，对于屏蔽层为均匀介质的平板几何，要计算若干种厚度的穿透概率时，只需计算最厚的一种情况，其他厚度的穿透概率在计算最厚一种情况时稍加处理便可同时得到。,另外，使用蒙特卡罗方法还可以同时得到若干个所求量。例如，在模拟粒子过程中，可以同时得到不同区域的通量、能谱、角分布等，而不像常规方法那样，需要逐一计算所求量。,27,2025/3/25 周二,误差容易确定,对于一般计算方法，要给出计算结果与真值的误差并不是一件容易的事情，而蒙特卡罗方法则不然。根据蒙特卡罗方法的误差公式，可以在计算所求量的同时计算出误差。对干很复杂的蒙特卡罗方法计算问题，也是容易确定的。,一般计算方法常存在着有效位数损失问题，而要解决这一问题有时相当困难，蒙特卡罗方法则不存在这一问题。,28,2025/3/25 周二,程序结构简单，易于实现,在计算机上进行蒙特卡罗方法计算时，程序结构简单，分块性强，易于实现。,29,2025/3/25 周二,收敛速度慢,如前所述，蒙特卡罗方法的收敛速度为,，,一般不容易得到精确度较高的近似结果。对于维数少（三维以下）的问题，不如其他方法好。,30,2025/3/25 周二,误差具有概率性,由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信水平下估计的，所以它的误差具有概率性，而不是一般意义下的误差。,31,2025/3/25 周二,在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关,经验表明，只有当系统的大小与粒子的平均自由程可以相比较时（一般在十个平均自由程左右），蒙特卡罗方法计算的结果较为满意。但对于大系统或小概率事件的计算问题，计算结果往往比真值偏低。而对于大系统，数值方法则是适用的。,因此，在使用蒙特卡罗方法时，可以考虑把蒙特卡罗方法与解析（或数值）方法相结合，取长补短，既能解决解析（或数值）方法难以解决的问题，也可以解决单纯使用蒙特卡罗方法难以解决的问题。这样，可以发挥蒙特卡罗方法的特长，使其应用范围更加广泛。,32,2025/3/25 周二,蒙特卡罗方法的主要应用范围,蒙特卡罗方法所特有的优点，使得它的应用范围越来越广。它的主要应用范围包括：粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面。随着科学技术的发展，其应用范围将更加广泛。,蒙特卡罗方法在粒子输运问题中的应用范围主要包括：实验核物理，反应堆物理，高能物理等方面。,蒙特卡罗方法在实验核物理中的应用范围主要包括：通量及反应率，中子探测效率，光子探测效率，光子能量沉积谱及响应函数，气体正比计数管反冲质子谱，多次散射与通量衰减修正等方面。,33,2025/3/25 周二,作 业,用蒲丰投针法在计算机上计算,值，取,a,=4,、,l,=3,。,分别用理论计算和计算机模拟计算，求连续掷两颗骰子，点数之和大于,6,且第一次掷出的点数大于第二次掷出点数的概率。,34,2025/3/25 周二,