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第一章 ：集合与函数概念
一、 集合的含义与表示
（一）.集合定义：某些指定的对象集在一起就形成了集合。
说明：集合中的对象必须是指定的；如：“高一9班的所有同学”、“欧洲各国的首都”等都可以组成一个集合；但像“高一9班的高个子男生”、“中国的较大河流”、“校园里的帅哥”等就不能组成集合。
元素与集合的关系只有“属于”和“不属于”的关系。
（二）.元素的三大特征：确定性；互异性；无序性
（三）.集合的表示方法：例举法：把集合中的元素一一例举出来，并用花括弧“”括起来表示集合的方法，叫做例举法。描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。格式为：
典型例题：
1. 用例举法表示：方程的解集 ；方程组的解集 。（注意两者的区别）
2. 已知结合，则用例举法写出 ， 。
3. 请用描述法表示直线上的所有点 和不等式的解集 。
4. 已知集合，判断是不是集合中的元素？
5. 定义集合运算：.设，则集合的所有元素之和为 。
6. 已知集合若集合中只有一个元素，试求实数的值，并用例举法表示集合.

7. 已知结合，则集合中的元素个数为 .
8. 已知集合，且，则 .
二、 集合间的基本关系
（一）.子集定义：对于两个结合，集合中的元素都是集合的元素，则集合是集合的子集，记作读作集合包含于集合（或集合包含集合）。
（二）.真子集定义：集合是集合的子集且，则集合是集合的真子集，记作读作集合真包含于集合。
（三）.集合相等：若且则
(四）.空集定义：不含任何元素的集合叫做空集用符号表示；规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：重要结论：若集合中有个元素，则集合的子集有个，真子集有个，非空真子集有个。
典型例题
1. 已知集合，则集合的关系正确的是（ ）。
. . . .
2. 已知集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求集合的非空真子集的个数.

3. 若集合且.求的取值集合.

4. 已知非空集合满足：①，②若，则，符合上述条件的集合的个数是 .
5. 设集合，且，求实数的值.

6. 集合的真子集个数为 .
7. 已知：集合，定义某种运算：则中的最大元素是 ;集合的所有子集个数是 .
8. 设集合，若，则的取值范围是 .
9. 已知集合.（I）若，求实数的取值范围；（II）若，求实数的取值范围；（III）集合与能否相等？若能，求出实数的取值；若不能，请说明理由.

三、 集合的基本运算
1. 并集：.
2. 交集：.
3. 补集：.
说明：借助韦恩图进行理解和利用数轴进行交、并、补的运算；注意基本运算的性质：;;.
典型例题
1. 设集合则 ;
2. 设集合，且，则的取值集合为
3. 已知集合，则 .
4. 已知集合.若则的取值范围是 ；若则的取值范围是 .
5. 已知全集，集合.若则的取值范围是 ；若则的取值范围是 .
6. 已知集合.（I）若,求实数的取值范围；（II）若求实数的取值范围.

7. 已知全集，集合，求,,.

四、 函数及其表示
（一）函数定义的理解：（1）集合是非空数集，说明函数的定义域和值域都不可能为空集；（2）集合中的任意（即每一个）元素在集合中都只有唯一元素与之对应，说明集合到集合的对应可以是一一对应或者多对一但绝对不可能是一对多；（3）函数的三要素：定义域、对应法则、值域，三者缺一不可；（4）值域的理解：与集合中元素对应的集合中的元素组成的集合才叫值域，说明集合不一定是值域；（5）定义域和对应法则相同则值域一定相等，说明判断两个函数是否为统一函数只需看定义域和对应法则是否一样即可.(6)树立函数定义域优先的法则，也就是说解决函数问题应首先看定义域.
典型例题
1. 下列对应是否为集合到集合的函数.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
2. 下列各组函数为相等函数的是（ ）
.； .；
.； .；
.表示炮弹飞行高度与飞行时间的关系式和二次函数.
变式：已知函数的定义域为区间，则函数的图像与直线的焦点个数为 .

（二） .函数定义域的求法
1. 当函数以解析式形式给出来时，定义域是使得函数解析式有意义的取值集合；如分式型的分母不等于零，开偶次方根的被开方式大于或等于零，零次幂的底数不等于零，指数的底数大于零且不等于，对数的真数大于零底数大于零且不等于；若是几种形式组合而成的则定义域为分别满足几个形式的不等式组的解集.注意定义域一定要有集合或者区间表示.
2. 当函数以实际问题形式给出来时，除了要满足解析式有意义意外还要有实际意义；如高度或长度要大于零，时间不能为负值等.
3. 复合函数的定义域求法.
典型例题
1. 求下列函数的定义域（用区间表示）
（1） ； （2）；

（3） ； （4）；

（5） ； （6）；

2.变式训练：（用区间表示）
（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ；
（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ；
（3）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ；
（4）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ；
（5）若函数的定义域为，则的取值范围是 .
（三）.函数值域或最值的求法
（1）观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数值域；
（2）配方法：对二次函数及二次型函数先进行配方，然后利用自变量的取值范围和二次函数值域求法进行求解；
（3）判别式法：将函数视为关于的二次方程，利用判别式求函数值的范围.常用于求一些分式型或无理型函数值域，要特别关注函数自变量的取值范围；
（4）换元法（包括代数换元和三角换元）：通过对解析式的适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数值域；
（5）分离常数法：通过变形将函数分离成一个常数和一个熟知的函数表达式，再通过求熟知函数的值域，以达到求原函数值域的方法；
（6）反函数法：利用反函数的定义域即为原函数值域的性质；
（7）数形结合法：画出函数图像从而观察出函数值域；
（8）均值等式法：利用均值不等式“正、定、等”的条件求函数值域；
（9）导数法：利用求导判断函数单调性求出函数的最大值与最小值从而求值域.
典型例题
1. 求下列函数的值域
（1） ； （2）； （3）；

（4） ； （5）；

（6） ； （7）； （8）；

（9） ； （10）； （11）；

（12） 对任意，记（表示取中的较大者）则函数的最小值为 ；记则函数的最大值为 .
（13） 若函数的定义域为，值域为则的范围是 .
（四） 函数解析式的求法（函数表示方法有：解析法、图像法和列表法）
1. 配凑法：已知复合函数表达式求的表达式，若的表达式右边容易配成的形式，则可直接配凑；列如：
（1） 已知，求；

（2） 已知，求

2. 换元法：根据要求式子的结构特征，巧妙的设置新的变量来代换原式子的变量，对新变量求出结果后再返回去求原变量的结果.列如：
（1） 已知函数，求；

（2） 已知函数，求.

(3)若，则= .

3. 待定系数法：当某个恒等式中出现某些尚待确定的系数时，利用恒等式的性质求出这些尚待确定的系数的方法.列如：
（1） 如果，求一次函数的表达式；

（2） 二次函数满足，求的解析式.

4. 方程组法：利用方程思想，采用解方程组的方法消去不需要的函数式子，而得到的方法称为方程组法，也叫消去法.列如：
（1） 设是定义在上的函数，且满足，求；

（2） 设是奇函数，是偶函数，且满足，求.

5. 利用函数性质求解析式：利用函数奇、偶性求解析式.列如：
（1） 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，求在的解析式；

（2） 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，求在的解析式；

（五） 分段函数和映射
说明：1.分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪一个范围，从而选择相应的解析式，总体原则是分段考察综合书写；2.注意区别函数与映射的定义，能够解决原像和像的简单问题.
典型例题
1. 画出下列函数图像并指出其单调区间：（1）；

（2） ； （3）；

2. 设函数，若则实数的取值为 ；若函数在上为减函数，则的取值范围是 .
3. 设集合到集合的映射满足，则元素的像为 .元素的原像为 .
五、 函数的基本性质
（一） 函数的单调性和最大（小）值
1. 单调性的定义：设函数 的定义域为：如果对于定义域的某个区间上的任意两个自变量，当有（或），则称为区间上的单调增函数（或单调减函数），对应的区间称为单调增区间（或单调减区间）.
说明：（1）单调区间是针对定义域内的某个区间而言的，而不一定是整个定义域；（2）是任意的两个值，而不是特殊的两个值，所以在证明单调性时不能只取两个特殊的值代替一般情况，除非是要说明该函数在某区间内不具有单调性；（3）单调性定义具有正反异推的性质即：若是增函数则：（若是减函数则：），这是解决抽象不等式的理论依据；（4）若一个函数的单调增区间（或减区间）有两个及两个以上则区间之间不能用“并集符号”连接，而只能用“逗号，”连接；（5）单调性定义的变形形式：对于区间内的任意两个不相等的自变量，都有在区间内为增函数（在区间内为减函数）；（6）复合函数的单调性满足“同增异减”（7）连续不断的函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，在开区间上不一定有最值.
2. 典型例题
（1） 用定义法证明下列函数的单调性：①；

②；③；④.

（2） 求证：函数在为减函数，在为增函数，做出函数图象并求出其值域.

（3） 做出函数的图像，并指出其单调区间和值域.

（4） 求函数的单调区间；

（5） 已知函数.①当时，求的最小值；②若对任意恒成立，求实数的取值范围.
（6） 已知函数对任意正实数，都有，且当时有，①试判断在上的单调性；②若，求不等式的解集.

（7） 已知函数对任意实数，都有，且当时有.①证明：函数在上是增函数；②若，求不等式的解集.

（8） 已知定义在的函数满足：①当时，；②；③对任意的实数，都有.（i）求证：；（ii）求证：在定义域内为减函数；iii）求不等式的解集.

（9） 已知定义在的函数满足当时.（i）求的值；（ii）判断的点调性；（iii）若，求在上的最小值.

（10） 已知函数，是上的增函数，则的取值为 .
（11） （11）已知函数，是上的减函数，则的取值为 .
（12） 已知函数，若，则的取值为 .
（13） 已知函数.（i）若区间上是单调函数则实数的取值范围是 ；（ii）若区间上不是单调函数则实数的取值范围是 ；（iii）若区间上有最值数则实数的取值范围是 ；
（二） 函数奇、偶性
1. 奇偶函数的定义：对于函数定义域内的任意都有（或者）则称为奇函数（或者偶函数）.
说明：（1）判断函数奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称（若定义域不关于原点对称则为非奇非偶函数），其次用定义判断与（或者）的关系，最后得出结论；（2）分段函数的奇偶性要分段求解.
2. 奇偶函数的性质：（1）奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称；（2）奇函数在关于原点对称区间上的点调性相同，偶函数在关于原点对称区间上的点调性相反；（3）若奇函数的定义域包含原点，则.

典型例题
1. 判断下列函数的奇偶性
（1） ；（2）；（3）；

（4） ；（5）；（6）；

（7） .

2. 已知函数的定义域为且满足：①对任意实数满足；②当时；③.（I）判断函数的奇偶性；（II）求证：函数为上的减函数；（III）求不等式的解集；（IV）若求的取值范围.

3. 若偶函数在上是减函数，则满足的实数的取值范围是 .
4. 若函数是定义在的偶函数，在上是减函数，且，则使得不等式的的取值范围是 .

5. 设函数是定义在的奇函数，当时，（为常数），则= .

6. 已知是奇函数，且其定义域为，则实数= .
7. 若函数是定义在上的奇函数，且当时，则的解析式为 .
8. 已知是偶函数，是奇函数，且求的表达式.

9. 若函数是偶函数，且在上是增函数，又，则的解集为 .
10. 若函数是偶函数，则从小到大的顺序是 .
第二章 ：基本初等函数
一、 指数与指数幂的运算
（一） 次根式的定义及表示
1. 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，当为奇数时记作，当为偶数时记为；
2. 根式的概念及性质：式子叫做根式，是根指数，是被开方数；规定：，，，其中.

（二） 分数指数幂的意义及有理指数幂的运算性质
1. 正分数指数幂，规定：；负分数指数幂，规定：；的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义；
2. 有理指数幂的运算性质：（1）；（2）；（3）；
典型例题
（一） 分数指数幂与根式的互化
1. 将下列根式转化为分数指数幂、将分数指数幂转化为根式
（1） ； （2）； （3）；（4）.

2. 分数指数幂与根式的计算与化简求值
（1） ； （2）；

（3） ； （4）.

（二） 有理指数幂的综合运用
1. 已知，求下列各式的值.
（1） ；（2）； （3）； （4）.

2. 计算下列各式的值
（1） ； （2）；

（3） ；

（4） ；

（5） .

二、 指数函数及其性质
（一） 指数函数定义：形如形式的函数叫做指数函数.
说明：要判断一个函数是否为指数函数的依据是：是否是形如形式的函数，其中的系数为；底数满足；指数位置上只有自变量，而不是其他表达式（如就不是指数函数，而是指数函数复合而成的函数）；定义域是.
（二） 指数函数的图像与性质
指数函数的性质如下表

图像

定义域和值域
定义域为：；值域为：

性质
恒过定点：
奇偶性：非奇非偶函数
在上单调递增
在上单调递减
当时，；
当时，.
当时，；
当时，.
当时，底数越大，图像向上越靠近轴.
当时，底数越小，图像向右越靠近轴.
（三） 指数函数图像的变换
1. 平移规律：左加右减，上加下减
若已知函数的图像，则把其图像向左（或向右）平移个单位，可得到（或）的图像，也可写作：；将函数的图像向上（或向下）平移个单位，可得到函数的图像，也可写作：.
2. 对称规律
函数图像关于轴对称即图像关于轴对称；函数图像关于轴对称即图像关于轴对称；函数图像关于原点对称即图像关于原点对称.
典型例题
1. 若函数是指数函数，则的取值为 .
2. 指出下列函数哪些是指数函数 .
(1) ；（2）;(3);(4);(5);
(6) ;(7).
3. 函数的图像过定点 .
4. 函数过定点则实数的值为 .
5. 画出下列函数图像并根据图像支出其单调区间
（1） ； （2）.

6. 求下列函数的定义域和值域
（1） ；（2）；（3）；（4）.

7. 求下列函数的单调区间及其值域
（1） ； （2）.

8. 比较下列各组数的大小
（1） ； （2）； （3）.

9. 解下列不等式
（1） ； （2）.

（III）判断函数的单调性并证明.
10. 函数在区间上有最大值，则的值为 .
11. 已知，则函数的最大值为 ，最小值为 .
12. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
13. 已知函数在上满足，且当时，.
（I）求的值；（II）判断函数的单调性；（III）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

14. 若函数，是上的增函数，则实数的取值范围是 .
三、 对数与对数的运算
（一） 对数定义及其性质
1. 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
2. 两种特殊的对数：常用对数，以为底的对数，记作；自然数对数，以这个无理数为底的对数，记作.
3. 指数与对数的关系：，注意各个字母不同的称谓.
4. 负数与没有对数，的对数等于即，底数的对数等于即.
（二） 对数运算性质
1. ；
2. ；
3. ；
4. ；对数恒等式：；
5. 换底公式：；特别的.
典型例题
1. 计算或者化简下列各式
（1） ；（2）；

（3） ；（4）；

（5） ； （6）.

2. 已知，求证：.

3. 设，求= .
4. .已知 .
5. 方程的解是 .
四、 对数函数及其性质
（一） 对数函数定义：一般地，把形如的函数叫做对数函数，其中是自变量.
说明：判断一个函数是否为对数函数必须满足：（1）系数为；（2）底数大于且不等于；（3）对数的真数仅为自变量.
（二） 对数函数图像及其性质
指数函数的性质如下表

图像

定义域和值域
定义域为：；值域为：

性质
恒过定点：
奇偶性：非奇非偶函数
在上单调递增
在上单调递减
当时，；
当时，.
当时，；
当时，.
（三） 反函数定义及其性质
1. 对数函数与指数函数互为反函数，其中，它们的图像关于轴对称.反函数也可记作：.
2. 反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域；存在反函数的条件是：该函数在定义域内是严格单调函数；眼函数与反函数具有相同的点调性
3. 求反函数的步骤：（1）求原函数的值域即反函数的定义域；（2）通过原函数反解用来表示；（3）将的位置对调得反函数；（4）写出反函数定义域即原函数值域.
典型例题
1. 函数的图像恒过定点 .

2. 求下列函数的定义域
（1） ；（2）；（3）；（4）.

3. 比较下列各组数的大小
（1） ；（2）；（3）；（4）.

4. 求下列函数的值域
（1） ；（2）；（3）；

（4） ；（5）；

（6） 若函数的定义域为，求实数的取值范围.

（7） 若函数的值域域为，求实数的取值范围.

5. 求函数的单调区间.

6. 若函数在区间上是怎函数，求实数的取值范围.

7. 若函数在区间为减函数，求实数的取值范围.

8. 已知函数.（I）求函数的定义域；（II）判断函数的奇偶性；（III）求使得的的取值范围.

9. 若函数为偶函数，则 .

10.判断下列函数的奇偶性
（1）； （2）

11.已知函数的图像恒过定点且点在函数的图享上.
（I）求的反函数；（II）若，求的取值.

12. 已知函数的图像过点，其反函数的图像过点，求的表达式.

13. 已知函数，则 .
14. 若函数，则 .
15. 若函数在上的最大值与最小值之和为，则 .
16. 已知函数，求的最大值，及取得最大值时的值.

17. 当时，，则实数的取值范围是 .
18. 已知，则方程的实根个数为 个.
19. 若方程的解为，方程的解为，则 .

20. 若满足方程，满足方程，则 .

21. 设偶函数在区间上单调递减，则的大小关系是 .
五、 幂函数
（一） 幂函数的概念：一般地，形如的函数叫做幂函数.
说明：（1）所有的幂函数在区间都有意义；（2）自变量是，系数为，指数是任意实数；（3）确定一个幂函数只需确定即可；（4）只讨论五个幂函数的图像和性质.

（二） 幂函数图像与性质

定
义
域

值
域

奇
偶
性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数
单
调
性

在为增函数
为减
为增

在为增
为增

为减
定
点

图
像

总结规律：（1）当时，恒过定点，且上为增函数.（2）当时，的图像恒过定点，且在上为减函数，其图像向右无限接近轴.
典型例题
1. 下列函数是幂函数的是 .
（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.
2. 函数为幂函数，则 .
3. 已知幂函数过点，则 .
4. 幂函数，当为减函数，求此幂函数的解析式，并求其定义域和值域.

5. 已知函数.（I）当为何值时，是幂函数？（II）在（I）的条件下，当为何值时，在上是增函数？

6. 若，则实数的取值范围是 .
7. 比较下列各组数的大小
（1） ； （2）； （3）.

8. 已知幂函数为偶函数，且在上是减函数.（I）求函数的解析式；（II）讨论的奇偶性.

第三章 ：函数与方程
一、 方程的根与函数的零点
1. 函数零点的概念：对于函数，我们把是的实数叫做函数的零点.
2. 函数零点与方程根的关系：方程有实数根函数的图像与轴有焦点函数有零点.
3. 函数零点的判断：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也是方程的根.（零点存在性定理）
说明：（1）零点不是一个点的坐标，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零；（2）函数的零点就是函数与函数的图像交点的横坐标；满足上述第3点（零点存在性定理）的条件，只能判断在区间内有零点，但不能确定有几个.若函数在区间内是单调的，则只有一个；若不是单调的，则个数不确定；（3）若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上就是这样，因此，在内有零点，不一定有；（4）证明函数在内只有一个零点的步骤：第一、证明函数在区间内是单调函数；第二、求证.
典型例题
1. 函数的零点所在的大致区间是（ ）
. . . .
2. 函数的零点是（ ）
. . . .
3. 函数的零点个数为 .

4. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
.

5. 已知函数.若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）

6. 已知二次函数，满足条件：①图像经过原点；②；③方程有等根.（I）求的解析式；（II）若函数有四个零点，求实数的取值范围.

二、 二次函数的实根分布
设二次函数，为二次方程的两个实数根则：
二次方程是实根分布（）

图像

满足条件

只有一根在之间

或者

说明：解决实根分布问题主要抓住：图像开口方向，判别式，对称轴方程，区间端点的函数值符号以及两根之和、两根之积.
典型例题
1. 若关于的方程有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实数的取值范围.

2. 关于的方程，并且一个实根小于，另一个实根大于，求实数的取值范围.

3. 关于的方程，且一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围.

4. 已知函数的两个不同零点是，且的倒数平方和为，求实数的取值.

5. 已知关于的方程（I）当为何值时：（1）方程有一个实数根？（2）有一正一负量根？（3）一根大于 ，一根小于？（II）是否存在实数，使得两根都大于？

三、 二分法求近似解
说明：以书本知识为准，知道其原理即可.