第十课时：数列的性质及其应用.doc

第十课时：数列的概念、性质及其应用
一．高考要求：数列是高中数学的重要内容，更是高考的命题重点，等差、比数列均为C级要求，是高考题中有可能出现难题的知识点。
二．具体知识点
1、数列定义；通项公式的定义；数列分类：有穷数列和无穷数列，单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列；递推公式定义
2、①同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。②不是每个数列都有通项公式
③数列的函数特征与图象表示
3、数列{}的前项和与通项的关系：
4、等差数列定义：用递推公式表示为或。
5、等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）
的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。
6、等差中项；7、等差数列的前和的求和公式：。
8、等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是，
如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则；
说明：设数列是等差数列，且公差为，
（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶； ② ；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②。
9、数列和的最值
（1），时，有最大值；，时，有最小值；
（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
10、等比数列定义即：：（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）
11．等比数列通项公式为：。
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。
12、等比中项
13、等比数列前n项和公式：当时， 或；当q=1时，
说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。
14、等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；②对于等比数列，若，则③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如图所示：
⑤在等比数列中，若项数为，则。⑥若等比数列的公比为，则。
三．常见解题技巧：1、数列中的性质比较多，清晰的记忆是灵活应用的基础，在解题过程中要紧紧抓住概念进行适当变形求解。2、数列是一类特殊的函数，因此在解题时要能将函数中的有关性质应用在数列中，同时要注意数列的定义域一般是正整数。
四．例题分析
例题1、设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=____________；当时， （用表示）。
例题2、设是公差为正数的等差数列，若，，则
例题3、在等差数列中，若，是数列前项的和，则等于

例题4、已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，求使得为整数的正整数的个数

例题5、在数列中（是常数，），且成公比不为1的等比数列，（1）求的值，（2）求的通项.

例题6、已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，，（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前项和，求证：，.

例题7、已知等比数列满足，且，则当时，
例题8、等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和=

例题9、等比数列中，，则
例题10、等比数列中，则

例题11、已知一个项数为偶数，首项为1的等比数列，其奇数项的和为85，偶数项的和170，则这个等比数列的项数为多少？

例题12、在等比数列中，是其前项的和，若，且公比为2，求

例题13、已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值．

例题14、等比数列中，已知，
（1）求数列的通项公式;
（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前n项和.

例题15、已知数列的前项和
(1) 求数列的通项公式 ； (2) 求的最大或最小值.

例题16、在数列中，
（1）设，证明：数列是等差数列;
（2）求数列的前项和.