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二次函数复习知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次多项式。
（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2， ③二次项系数不为0.）
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. y＝ax2的性质：

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）

向上
（0，0）
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下
（0，0）
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2. y＝ax2＋k的性质： （k上加下减）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）

向上
（0，k）
y轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值k．

向下
（0，k）
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值k．

3. y＝a（x-h）2的性质： （h左加右减）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）

向上
（h，0）
直线x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下
（h，0）
直线x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4. y＝a (x－h)2＋k的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）

向上
（h，k）
直线x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下
（h，k）
直线x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
5. y＝ax2+bx+c的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）

向上

直线
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

直线
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a. (决定了抛物线开口的大小和方向)
二次函数中，a作为二次项系数，显然a≠0
① 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；
②的绝对值越大，开口越小，反之的绝对值越小，开口越大。
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数b （a和b共同决定抛物线对称轴的位置）
.抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；② （即、同号）时，对称轴在轴左侧；③ （即、异号）时，对称轴在轴右侧.
ab的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
3. 常数项c (决定了抛物线与轴交点的位置)
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
四、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
五、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
六、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
七、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．
八、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 一般式：（，，为常数，），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 顶点式：（，，为常数，），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 交点式（两根式）：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与轴的两个交点（，0），（，0），一般选用交点式；
九、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。
十、 掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系(以a>0为例，a<0请同学们自己补充)
判别式

二次函数a>0

对称轴：

交点式：

当x为全体实数时，y>0

二次函数a<0

一元二次方程

两根为

（有两个不相等的实数根）

（有两个相等的实数根）

无实根
▲抛物线上两点，则抛物线对称轴为直线
十一、函数的应用
二次函数应用
十二、二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值利用顶点坐标公式，即当时，；或先配方利用顶点式求最值。
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

二次函数考查重点与常见题型
1、 已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是 -1
2．写出一个开口向上，顶点坐标是（2，-3）的函数解析式 。
3. 将二次函数配成的形式是_____________________.
4．抛物线与x轴交点的坐标是__（2，0）、 (3,0) .
5. 已知函数，当x＝1时，y＝－5,则x＝－1时，y的值是___1____。
6．王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线相吻合，那么他能跳过的最大高度为 _________m．
7.将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ B ）。
A． B． C． D．
8．下列描述抛物线的开口方向及其最值情况正确的是（C）。
A．开口向上，y有最大值 B．开口向上，y有最小值
A
B
D
C
C．开口向下，y有最大值 D．开口向下，y有最小值
9．如图，一边靠墙（墙有足够长），其他三边用12米长的篱笆围成
一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ 18 ）平方米。
10、如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（ B ）
y y y y

1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
11、二次函数的图像如图1，则点在（ D ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

图（1） 图（2）

13、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正确结论的个数为(D )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个
14、已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为(C )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)
15、你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( B )
A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m

16、已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。

17、已知抛物线（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

18、已知抛物线y=x2+x-．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

19、如图，二次函数的图象经过A 、B、C三点.
（1）观察图象，写出A 、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式;
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴;
-1
4
y
x
A
B
5
O
（3）观察图象，当x取何值时，y＜0？y＝0？y＞0?

20、已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k
(1) 求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设A（x1，0）和B（x2，0）是此抛物线与x轴的两个交点，且满足x12+x22= -2k2+2k+1，①求抛物线的解析式
②此抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积等于3，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)∵△=(2k+1)²-4*1*（-k²+k)=8k²+1＞0 恒成立
∴此抛物线线与x轴总有两个不同的交点
（2）①∵x1²+x2²=-2k²+2k+1 x1+x2=-b/a=2k+1 x1*x2=c/a=-k²+k
∴x1²+x2²=（x1+x2）²-2x1x2=（2k+1）²-2（-k²+k）=6K²+2k+1=-2k²+2k+1
解得 k=0 ∴抛物线的解析式是y=x²+x
②∵点A和点B是抛物线y=x²+x与x轴的两个交点
∴由x²+x=0 ，得 x1=-1，x2=0则AB=1
又∵△PAB的面积等于3 设P（x，y）∴S=（1/2）*1*y=3 则y=6
∴由x²+x=6，得x1=2，x2=-3即P1（2，6） 或P2（-3，6）

21、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.

22、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
23. 如图，抛物线经过点A(1,0)，与
y轴交于点B。
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请
写出P点坐标。
解：（1）∵A（1，0）在抛物线上，∴可把A点坐标代入方程得-12+5×1+n=0，
解得n=-4， ∴抛物线的解析式为y=-x2+5x-4；
（2）把x=0代入抛物线方程得y=-4， ∴B点坐标为（0，-4）， 
∵△PAB是以AB为腰的等腰三角形，
∴可分两种情况：①PA=AB；②PB=AB，
若PA=AB，则P点和B点关于原点对称，
∴P点坐标为（0，4）；
若PB=AB，且，∴P点坐标为。