利用导数证明不等式技巧.doc

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
趣题引入（主元法构造函数）
（2004年，全国卷）已知函数
设，证明：
分析：本题是2004年全国卷理科压轴题，主要考查利用导数证明不等式的能力。
技巧精髓
一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
1、利用题目所给函数证明
【例1】 已知函数，
求证：当时， 恒有
分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数
，从其导数入手即可证明。

2、直接作差构造函数证明
【例2】已知函数 求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；

3、换元后作差构造函数证明
【例3】（2007年，山东卷）
证明：对任意的正整数n，不等式 都成立.
4、从条件特征入手构造函数证明
【例4】若函数y=在R上可导且满足不等式x>－恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．a>b
【思维挑战】
1、（2007年，安徽卷） 设
求证：当时，恒有，

5、 构造二阶导数函数证明导数的单调性
例．已知函数
(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;
(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)>1+x.

6、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）
例：证明当

7、构造形似函数
例：证明当
练：已知m、n都是正整数，且证明：

例三完整版
设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．