有理数的乘方及其科学计数法.doc

有理数的乘方及其科学计数法

本讲主要内容：有理数的乘方及其科学计数法
本讲说明：
一、【学习目标】
1．理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算；
2．培养观察、比较、分析、归纳、概括能力，以及探索精神；
3．渗透分类讨论思想．
4.了解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示比较大的数．
二、【知识梳理】
1.提出问题：
⑴.在小学我们已经学习过，记作，读作的平方(或的二次方)；，记作，读作的立方(或的三次方)；那么： (是正整数)呢？
⑵.在小学对于字母我们只能取正数．进入中学后，我们学习了有理数，那么还可以取哪些数呢？请举例说明．
2. 乘方： 求个相同因数的积的运算叫做乘方. 乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数．
，记作，读作的次幂（或的次方）.因此
一般地，在中，取任意有理数，取正整数．
点拨：应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．当看作的次方的结果时，也可以读作的n次幂．
3．我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，就是表示n个相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算．
4.计算：
(-1)2 (-2)3 (-3)4 (-4)5 (-5)6……
(+1)2 (+2)3 (+3)4 (+4)5 (+5)6……
(1)横向观察
正数的任何次幂都是 数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零．
(2)纵向观察
互为相反数的两个数的奇次幂仍 ，偶次幂 ．
(3)任何一个数的偶次幂是什么数？
5.计算：
(1)(-3)2， (-3)3， ［-(-3)］5；

(2)-32， -33， -(-3)5；
点拨：有理数乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零．任何一个数的偶次幂都是非负数．用符表示为：（是正整数）
①.当时，；②.当时，，；③.当时，；
④当是任意有理数时，.⑤
6.科学记数法：
⑴.口答： ①.说出103，-103，(-10)3的底数、指数、幂．
②.计算：101，102，103，104，105，106，1010
⑵.的特征：观察：， ，， ，
， ，……
点拨：中的n表示n个10相乘，它与运算结果中0的个数相同，比运算结果的数位少1.
练习(1)：把下面各数写成10的幂的形式．
1000 100000000 100000000000
练习(2)：指出下列各数是几位数．
103 105 1012 10100
⑶任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式．如：
100=1×100=1×102，
6000=6×1000=6×103，
7500=7.5×1000=7.5×103．
第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识，我们现在要做的就是把100，1000，变成10的n次幂的形式就行了．
⑷科学记数法定义
根据上面例子，我们把大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，n是自然数，这种记数法叫做科学记数法．现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法．说它科学，因为它简单明了，易读易记易判断大小，在自然科学中经常运用．
用字母表示数，则 ，这就是科学记数法．

三、【典例精析】
例1. 计算：(1)(-3)2， (-3)3， ［-(-3)］5； (2)-32， -33， -(-3)5；

例2.计算：(1).(-1)2001， 3×22， -42×(-4)2， -23÷(-2)3； (2).．

例3．当a=-3，b=-5，c=4时，求下列各代数式的值：
(1)(a+b)2； (2)a2-b2+c2；

(3)(-a+b-c)2； (4)a2+2ab+b2．

例4．当a是负数时，判断下列各式是否成立．
(1)a2=(-a)2； (2)a3=(-a)3；

例5*．平方得9的数有几个？是什么？有没有平方得-9的有理数？为什么？

例6．若(a+1)2+|b-2|=0，求的值．

例7.用科学记数法表示下列各数：
(1).1 000 000； (2).57 000 000； (3).696 000；
(4).300 000 000； (5).-78 000； (6).12 000 000 000．
例8．下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数？
1×107； 4×103； 8.5×106； 7.04×105； 3.96×104．

四、【过关精练】
1.⑴. 的底数是_______，结果是_______.
⑵.－32的底数是_______，结果是_______.
⑶.(－)4的底数是_____，结果是_____.
⑷.－()4的底数是_____，结果是_____，－的底数是_____，结 果是_____.
2. ⑴._______； ⑵. 48÷(－2)5=_______.
3. n为正整数，则（－1）2n=_______,(－1) 2n+1=_______.
4.一个数的平方等于这个数本身，则这个数为__ ___ __.
5.一个数的立方与这个数的差为0，则这个数是__ _____
6.如果a2=a,那么a的值为（ ）
A.1 B.0 C.1或0 D.－1
7.一个数的平方等于16，则这个数是（ ）
A.+4 B.－4 C.±4 D.±8[来源:学_科_网Z_X_X_K]
8.a为有理数，则下列说法正确的是（ ）
A.a2>0 B.a2－1>0 C.a2+1>0 D.a3+1>0
9.下列式子中，正确的是（ ）
A.－102=(－10)×(－10) B.32=3×2
C.(－)3=－×× D.23=32

10.判断：
⑴.若一个数的平方为正数，则这个数一定不为0. （ ）
⑵（－1）n=－n. （ ）
⑶一个数的平方一定大于这个数. （ ）
⑷.平方是8的数有2个，它们是±2. （ ）
11. |a+3|+|b－2|=0,求ab的值.

12.已知x2=(－2)2 ，y3=－1,求：
(1).x×y2003的值. (2).的值.

13.计算：
(1)(－)3 ； (2) ； ； (3)(－3)2×(－2)3 ； (4)－2×32

(5)(－2×3)2 (6)(－2)14×(－)15 (7)－(－2)4 (8)(－1)2001

(9)－23+(－3)2 (10)(－2)2·(－3)2 11)(-3)2-(-6)； (12)(-4×32)-(-4×3)2．

14．一天有8.64×104秒，一年如果按365天计算，一年有多少秒？(用科学记数法表示)

15．地球绕太阳转动(即地球的公转)每小时约通过1.1×105千米，声音在空气中传播，每小时约通过1.2×103千米．地球公转的速度与声音的速度哪个大？

课后作业：
【同步达纲练习】
1.填空题： (1)在(-1)4中，指数是 ，底数是 ，计算的结果等于 .
(2)在mn中， m叫 数， n叫 数，mn表示的是 .
(3)-0.12= 0.63= ;(-)4= -(-3)4= .
(4)把(-5)×(-5)×(-5)写成幂的形式是 ，把1×1×1×1写成幂的形式是 .
2.选择题：
(1)下列计算正确的是( )
A..-52×(-)=-1 　　B.25×(-0.5)5=-1
C.-24×(-3)2=144 D.()2÷(1÷2)=

(2)如果一个有理数的偶次幂是正数，那么这个有理数( ).
A..一定是正数; B.是正数或负数;
C.一定是负数; D.可以是任意有理数.
(3)下列结论正确的是( )
A..若a2=b2，则a=b; B.若a>b，则a2>b2;
C.若a，b不全为零，则a2+b2>0; D.若a≠b，则 a2≠b2.
(4)下列各数按从小到大的顺序排列正确的是( ).
A..（-0.2）3<0.54<(-0.3)4 B.-0.54<(0.3)4<(-0.2)3
C.-0.54<(-0.2)3<(-0.3)4 　　 D.(0.3)4<-0.54<(-0.2)3
(5)设n是一个正整数，则10n是( )
A..10个n相乘所得的积； 　　 B.是一个n位的整数；
C.10的后面有n个零的数； D.是一个(n+1)位的整数.
(6)式子-的意义是( ).
A..3与2商的相反数的平方； B.3的平方与2的商的相反数；
C.3除以2的平方的相反数； D.3的平方的相反数除2.
（7）下列各式中，计算结果得零的是（ ）.
A．-22+（-2）2 B．-22-22
C．-22-（-2）2 D．（-2）2-（-22）
（8）若x，y为有理数，下列各式成立的是（ ）.
A．（-x）3=x3 　　B．(-x)4=-x4
C．(x-y)3=(y-x)3 D．-x3=(-x)3
3.当a=3，b=-2，c=-1时，求下列代数式的值：（4′×2=8′）
（1）a2-b2-c2;

（2）c2-(a-b)2;

4.计算：（4′×10=40′）
（1）2×（-3）3； （2）-32×（-2）2；

（3）-22-（-3）2； （4）-23+（-3）3；

（5）-（1）3； 　　（6）

（7）（-1）1999-（-1）2000；　　 （8）-12-2·（-1）2；

（9）-（-2）3×（-3）2； （10）（-6）÷（-）2
5.用科学记数法表示下列各数：（2.5′×4=10′）

(1)100000; (2)3095; (3)32; (4)52000000;

【素质优化训练】
1.比较(-2)4与-24有何不同点?
2.a是什么数，a2<a;a是什么数时，a3>a2?
3.计算：
(1)-299·(-)100+8101·(-0.125100).
(2)[53-4×(-5)2-(-1)10] ÷[(-7)5-24+75];
(3)(-1)-(-1)2+(-1)3-(-1)4+…-（-1）100；
(4)（0.12）2-0.23-0.152-(0.3)3;
(5);
(6)
4.回答下列的数各是几位数?
(1)5×108 (2)1.4×107 (3)1019 (4)5.2×10n

5.用科学记数法记出下列各数：
(1)月球的质量约是73400000000亿吨;
(2)银河系中的恒星数约是1600000万个;
(3)地球绕太阳公转的轨道半径约是149000000千米.

6.求下列各式的值：
(1)当a=-2，b=-1时，求代数式-3(a-2b)3-2(2a+b)2的值.
(2)a=-，b=4 ，求代数式（）2- -（ab）3+a3b的值.
(3)当x=，y=-2时，求代数式的值.