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2019届高二理科数学自主学习资料(1)——数列
一、等差等比数列中档题
1.已知等比数列的前项和为,则实数的值为( )
A. B. C. D.
思路:非常数列的等比数列, 的形式,所以,即
2.等差数列有两项,满足,则该数列前项之和为( )
A. B. C. D.
解:
答案:C
3.已知等比数列中,则其前5项的和的取值范围是( )
A. B. C. D.
,再求出其值域即可
解:
,设,所以
4.设等差数列的前项和为,且满足,,则,,…,中最大的项为( )
A. B. C. D.
解析:,可得在中,且最大。
所以可知,从而最大
5.(2015,福建)若是函数的两不同零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于( )
A. B. C. D.
解析:由韦达定理可知,且由可知,因为可构成等比数列,所以必为等比中项,,即,所以构成等差数列,同样由判断出则等差中项只能是或,所以有或,解得或,则,所以
6.数列是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,则有( )
A. B.
C. D. 与的大小不确定
思路:比较大小的式子为和的形式,所以以为入手点,可得,从而作差比较,由为正项等比数列可得:,所以
二、数列中的奇偶分类题
7.已知等比数列的公比为,,且成等差数列;
(1)求的通项公式;(2)若,求的最大值
8.数列的前项和为,已知,,若数列为等差数列,则 .
9.已知等差数列的公差为,前项和为,且成等比数列
(1)求的通项公式;(2)令,求数列的的前项和
解:(1)成等比数列
即
解得:
(2)思路:由第(1)问可得:,考虑相邻项作和观察规律:为偶数时,
,然后再进行求和即可
解:为偶数时,
为奇数时:
综上所述:
10.在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为,且
(1)求;(2)设数列满足,求的前项和
8、解析:(1)设的公差和公比分别为
,所以解得:或(舍)
,
(2)
当时,
当时,
11.(2015,天津)已知数列满足,,且成等差数列
(1)求的值和的通项公式;(2)设,求数列的前项和
10、解析:(1)依题意可知:
成等差数列
即
或(舍)
当时,,,即
当时,,,即
综上所述:
(2)由(1)可得:
设的前项和为
两式相减可得:
12.定义数列,且时,
(1)当时,,求;(2)若,求证:
15、解析:(1)当时,
,
均为等比数列
由可得,
为偶数时
为奇数时,
(2)由可得:
为公比是2的等比数列
13解:(Ⅰ)用n元基本不等式 、构造数列、数学归纳法都可以证明
(Ⅱ)证:当时,由(Ⅰ)得,
于是,.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,当时,
,
.
即.即当时,不存在满足该等式的正整数.
故只需要讨论的情形:
当时,,等式不成立;
当时,,等式成立;
当时,,等式成立;
当时,为偶数,而为奇数,故,等式不成立;
当时,同的情形可分析出,等式不成立.
综上,所求的只有.
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