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(1)数列培优.doc

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2019届高二理科数学自主学习资料(1)——数列 一、等差等比数列中档题 1.已知等比数列的前项和为,则实数的值为( ) A. B. C. D. 思路:非常数列的等比数列, 的形式,所以,即 2.等差数列有两项,满足,则该数列前项之和为( ) A. B. C. D. 解: 答案:C 3.已知等比数列中,则其前5项的和的取值范围是( ) A. B. C. D. ,再求出其值域即可 解: ,设,所以 4.设等差数列的前项和为,且满足,,则,,…,中最大的项为( ) A. B. C. D. 解析:,可得在中,且最大。 所以可知,从而最大 5.(2015,福建)若是函数的两不同零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于( ) A. B. C. D. 解析:由韦达定理可知,且由可知,因为可构成等比数列,所以必为等比中项,,即,所以构成等差数列,同样由判断出则等差中项只能是或,所以有或,解得或,则,所以 6.数列是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,则有( ) A. B. C. D. 与的大小不确定 思路:比较大小的式子为和的形式,所以以为入手点,可得,从而作差比较,由为正项等比数列可得:,所以 二、数列中的奇偶分类题 7.已知等比数列的公比为,,且成等差数列; (1)求的通项公式;(2)若,求的最大值 8.数列的前项和为,已知,,若数列为等差数列,则 . 9.已知等差数列的公差为,前项和为,且成等比数列 (1)求的通项公式;(2)令,求数列的的前项和 解:(1)成等比数列 即 解得: (2)思路:由第(1)问可得:,考虑相邻项作和观察规律:为偶数时, ,然后再进行求和即可 解:为偶数时, 为奇数时: 综上所述: 10.在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为,且 (1)求;(2)设数列满足,求的前项和 8、解析:(1)设的公差和公比分别为 ,所以解得:或(舍) , (2) 当时, 当时, 11.(2015,天津)已知数列满足,,且成等差数列 (1)求的值和的通项公式;(2)设,求数列的前项和 10、解析:(1)依题意可知: 成等差数列 即 或(舍) 当时,,,即 当时,,,即 综上所述: (2)由(1)可得: 设的前项和为 两式相减可得: 12.定义数列,且时, (1)当时,,求;(2)若,求证: 15、解析:(1)当时, , 均为等比数列 由可得, 为偶数时 为奇数时, (2)由可得: 为公比是2的等比数列 13解:(Ⅰ)用n元基本不等式 、构造数列、数学归纳法都可以证明 (Ⅱ)证:当时,由(Ⅰ)得, 于是,. (Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,当时, , . 即.即当时,不存在满足该等式的正整数. 故只需要讨论的情形: 当时,,等式不成立; 当时,,等式成立; 当时,,等式成立; 当时,为偶数,而为奇数,故,等式不成立; 当时,同的情形可分析出,等式不成立. 综上,所求的只有.
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