奇解与包络.pptx

12.4 2.4 奇解与包络奇解与包络2.4.1 奇解2.4.2 不存在奇解的判别法2.4.3 包络线及奇解的求法2利用通解和特解可以构造解：利用通解和特解可以构造解：从图形可以看到，有无数从图形可以看到，有无数条积分曲线过初始点。条积分曲线过初始点。解：解：容易看到容易看到 y y=0=0是解，并且满足给定的初始条件是解，并且满足给定的初始条件例例例例 1 1得通解得通解由由2.4.1 奇解34xy5例例3 3：求解方程：求解方程解：令解：令 则原方程可写成则原方程可写成 两边对两边对x x求导得到求导得到整理化简后得方程整理化简后得方程 (*)6对对 积分得方程的通解为积分得方程的通解为 将其代入（将其代入（*）得原方程的一个解）得原方程的一个解 又从又从 得原方程的一个解得原方程的一个解 将其代入（将其代入（*）又得方程的一个解）又得方程的一个解 78 如何判定给定方程奇解的存在 性和不存在性？如何求奇解？问题的提出：问题的提出：9本节主要讨论一阶隐式方程本节主要讨论一阶隐式方程和一阶显式方程和一阶显式方程的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用10一般来说，若能解出几个显式方程那么对每一个方程，应用定理2.2即可。其次对于方程(1.8)，如果函数F(x,y,y)对所有变量连续且有连续偏导数，并且在的邻域内有一阶隐式微分方程一阶隐式微分方程11成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得其中函数f(x,y)是连续的且有连续偏导数，特别有这样一来，对方程这样一来，对方程(1.8)(1.8)初值解的存在唯一性初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。因此，我们可以就定理的条件也就清楚了。因此，我们可以就方程方程(1.8)(1.8)或或(1.9)(1.9)给出奇解的定义。给出奇解的定义。12定义定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的则称此解为微分方程的奇解奇解。奇解对应的积。奇解对应的积分曲线称为分曲线称为奇积分曲线奇积分曲线 13xy142.4.2 2.4.2 不存在奇解的判别法不存在奇解的判别法假设方程(1.9)的右端函数在区域上有定义，如果在D D上连续且在D D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D D内一定不存在奇解。有定义的区域D D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。如果存在唯一性定理条件不是在整个15162.4.3 2.4.3 包络线及奇解的求法包络线及奇解的求法17例如单参数曲线族：（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆.如图R从图形可见,此曲线族的包络显然为:18xy19注:并不是每个曲线族都有包络.例如:单参数曲线族:(其中c为参数)表示一族同心圆.如图从图形可见,此曲线族没有包络.20包包络的定的定义定定义2.4：对于给定的一个单参数曲线族：对于给定的一个单参数曲线族：曲线族(2.10)的包包络是指这样的曲线L,它本身不包含在曲线(2.10)中,但过这曲线的每一点有(2.10)中的一条曲线和它在这点相切.则称此曲线则称此曲线L L为曲线族为曲线族(C)(C)的包络线或的包络线或包络包络2122对于给定的一个单参数曲线族：对于给定的一个单参数曲线族：其中为参数.若存在一条曲线满足下列条件:(1)(2)对任意的 存在唯一的使得且与在有相同的切线.则称为曲线族的一条包络线,简称为包络.或定义：或定义：23定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线L是(1.9)的奇积分曲线。证明：证明：应用定理应用定理2.1积分曲线与线素场的积分曲线与线素场的关系的充要条件关系的充要条件24问题:对于给定的单参数曲线族对于给定的单参数曲线族:如何判断它是否有包如何判断它是否有包络?如果有包如果有包络,如何求如何求?25定理定理2.6 若L是曲线族(2.10)的包络线，则它满足如下的C-判别式 反之，若从(2.11)解得连续可微曲线(2.11)且满足：和（称为非退化条件），则是曲线族的包络线.26证明证明对L上任取一点p(x,y)，由包络线定义，有(C)中一条曲线l在p点与L相切，设l所对应的参数为C，故L上的点坐标x和y均是C的连续可微函数，设为又因为p(x,y)在l上，故有恒等式(2.12)L在p点的切线斜率为27l在p点的切线斜率为因为l与L在p点相切，故有即有关系式另一方面，在(2.12)式两端对C求导得(2.13)28因为不同时为零，所以对(2.10)在q点它在q点的斜率为利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线(2.16)29现在，由(2.15)的第一式对C求导得再利用(2.15)的第二式推出(2.18)另一方面，在q点的斜率为(2.17)30和分别不同时为零，所以，由(2.18)、(2.17)和(2.16)推出即曲线族(2.10)中有曲线在q点与曲线相切.因此，是曲线族(2.10)的包络线。因为31例例3:求直线族:的包络.这里是参数,是常数.解解:记则消去参数得的c-判别曲线:经验证是曲线族的包络.如图:32Oxy33例例4 4：求解方程：求解方程解：令解：令 则原方程可写成则原方程可写成 两边对两边对x x求导得到求导得到整理化简后得方程整理化简后得方程 对对 积分得方程的通解为积分得方程的通解为 代入得原方程的解代入得原方程的解 从从 得得 代入又得一个解代入又得一个解 34注意这个通解和特解的关系35由由C-C-判别式判别式解方程组：由于：由于：36几何意义:包络线37为求它的解,令得经化简,得例5.克莱罗(Clairaut)方程的求解这是y已解出的一阶微分方程.38如果则得到于是,Clairaut方程的通解为:如果它与等式联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的解:或其中c为参数.消去参数p便得方程的一个解.39结果果:Clairaut方程的通解是一直线族,此直线族的包络或是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.如果令则因此,求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.易验证,此参数曲线恰为通解的包络40例例5.1:求解方程解解:这是Clairaut方程,因而它有通解:其中因为所以从中消去参数c,得到原方程的奇解:41xyO如图:故,此方程的通解是直线族:而奇解是通解的包络:42例例6求一曲线,使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2.xyoA(a,0)B(0,b)43解 设所求的曲在(x,y)点切线方程为这是Clairaut方程,其通解为其中为任意常数.显然,此直线族中的每一条直线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2.它与x和y坐标轴的交点分别为由题意得 44直线族及其包络线4546利用利用Maple可以得到这个方程的解曲线如下可以得到这个方程的解曲线如下:注意注意:y=3x和和y=-3x是非常特殊的解是非常特殊的解,其它解与这两条直线相切其它解与这两条直线相切.restart:with(plots):for j from-5 to-1 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:for j from 1 to 5 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:plot(3*x,x=-3.3,y=-10.10,color=black):yy:=%:plot(-3*x,x=-3.3,y=-10.10,color=black):yyy:=%:display(y1,y2,y3,y4,y5,y-1,y-2,y-3,y-4,y-5,yy,yyy);47本节要点本节要点：1.奇解的定义。2.不存在奇解的判别方法。（1）全平面上解唯一（2）不满足解唯一的区域上没有方程的解3.求奇解的包络线求法。满足C判别式。在非蜕化条件下，从C 判别式解出的曲线48习题：习题：P109，1(2,3),2