《点到直线的距离》教学设计（黄益全201510）.doc

普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2（A）版
《点到直线的距离公式》教学案例
重庆复旦中学 黄益全
一、案例背景
(一)教材分析
“点到直线的距离公式”是人教版数学必修2第三章§3.3.3的教学内容，主要内容是点到直线距离公式的推导以及公式的应用.该内容是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算.在解析几何中再次提出这个问题，体现了研究同一个问题的不同方法，体现了坐标法的应用.点到直线的距离公式作为一个重要工具，广泛应用于今后很多解析几何问题的求解过程中.对本节的研究，既是两点间距离公式的继续,又为两条平行直线的距离的推导以及后面直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习做好铺垫，具有承上启下的重要作用，是本章的核心内容之一.
(二)教学重点与难点分析
教学重点：点到直线的距离公式及公式的简单应用．
教学难点：点到直线的距离公式的推导．
突破难点的关键：本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用类比归纳的思想，由浅入深，让学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同算法思路．同时，借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．
(三)教学目标分析
以学生熟悉的生活背景创设问题情境，从几何的角度探究点到直线的距离的求法，渗透数学源于生活的道理；从特殊点到特殊直线的距离不断拓展到一般的点到一般的直线的距离公式，渗透算法的思想，让学生体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，体会坐标法的应用，并使学生在经历反馈练习的过程中，进一步提高灵活运用公式，解决问题的能力；通过自学教材上利用直角三角形面积公式的推导过程，培养学生的数学阅读能力，进而理解点到直线的距离公式的推导过程；通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力；在以上过程中，培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质.
(四)学生学情分析
学生已经学习了两点之间的距离公式，具备直线的有关知识，如交点、垂直、三角形、两点间距离公式等.学生对坐标法解决几何问题有了初步的认识.高二学生尤其是文科生的解题能力特别是处理抽象问题的能力还有待提高.
点到直线的距离公式推导的方法很多，大致有两类，一类是容易想到的但不容易计算推导，另一类是计算相对容易却不容易想到.在教学中可能遇到的问题是，选择何种方法得到点到直线的距离公式？如何引导学生选择合适的方法得到公式？教学要兼顾这两方面，更要从中选择能较好体现解析法思想的方法.既不能为讲方法而讲方法，方法越多越好，也不能为了得到公式急于求成，将教师的方法强加给学生.因此，实际教学中既要给学生选择方法的机会，又要引导学生聚焦在既可行的又能较好体现解析法思想的方法上.
教学中还可能遇到的问题是即使采取了计算相对简便的方法，在推导公式的过程中，学生还是可能会在计算上遇到困难.教师应引导学生通过观察式子的特点，进行合理运算，鼓励学生耐心求解，帮助学生成功得到点到直线的距离公式.
(四)教法、学法分析
根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用类比发现式教学模式．从学生熟知的实际生活背景出发，通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，引导学生探索点到直线的距离的求法．让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的数学能力．
在实际教学中，教师要充分利用几何画板的作图功能，直观体现各种证明思路，提高课堂效率.必要时，对有关点、直线、线段长等进行代数表示，以启发学生的思考.
(五) 设计思想
依据新课程教学理念，确定本课的设计思路如下：情境创设（生活实例）→操作确认（学生作图）→特例奠基(四种方法)→推理论证（两种方法推导公式）→学以致用（自主演练）
在以上教学环节中，始终坚持两个原则，一是树立发展学生为本的思想，通过构建以学习者为中心，有利于学生主体精神，创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探索的机会，亲身参与公式的的探究过程；二是坚持协同创新原则，把教材创新、教法创新及学法创新有机地统一起来.
首先是教材创新，新课标下的教材执行赋予教师更大的创新空间。通过创设问题情景自然引入课题，降低教材难度.主要由学生去探究，去发现，去讨论，去归纳总结得到公式，再辅以适当的例题、习题帮助学生熟悉公式，学会运用.
其次是教法创新.采用多种教学方法的有机结合，既有启发式、类比发现式的教学方法，又有探究式及情感教学法.
最后是学法创新.在整个学习过程中，在问题的引导下，让学生保持强烈的好奇心和求知欲，通过观察、分析、归纳来获取知识，有意识地创造学生感兴趣的氛围，使学生全身心地投入到学习中去，成为学习的主人.
二、教学情境设计
结合教材知识内容和教学目标，本课分为以下四个教学环节．
公式应用

类比化归

点到直线的距离公式的推导过程
（20分钟）
点到直线的距离公式的应用
（16分钟）

课堂小结
（2分钟）
创设情景
（2分钟）
新课引入

情境创设

共同小结

知识回顾

公路
超市
环节１　创设情境
如图右，在一条公路附近有一家大型超市,为了使超市到公路的运输费用最低,要求铺一条连接超市和公路的道路.同学们请你设计一下怎样铺路可以使运输的费用最低?
如果我们把超市和公路均放入同一坐标系，得知这个超市的坐标是（15，20），公路所在的直线方程为：3x- 4y–10=0, 那么，如何计算超市到公路的最近距离呢？
（设计意图：以学生熟悉的实际生活为问题情境，引入新课，还原学生的数学现实，诱发动机，使学生乐于参与，有效调动学生的学习兴趣，问题实例既可点燃数形结合的思想，又可唤醒两点间的距离公式.）
那么“应该如何求点到直线的距离呢？”带着这个问题，教学进入环节2．
环节２　点到直线的距离公式的推导过程
首先，由学生回答，初中有关“点到直线的距离”的定义：过点作直线的垂线，垂足为点，线段的长度叫做点到直线的距离．
（设计意图：引导学生复习旧知，为新课的学习打下基础．）
接着，师生共同探讨如何求点到直线的距离．由于公式的推导过程含有字母运算，比较抽象．为帮助学生更好地理解，可以补充两个由浅入深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫．
问题1 如何求点到直线的距离？
补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，应该鼓励学生利用多种解法解决本问．
方法① 利用定义
由于本课之前，学生已掌握了两条直线交点的求法等知识，所以容易通过定义，将点到直线的距离，转化为点、垂足两点之间距离来解决．（解决方法由学生提出）

·

·
解：过点作的垂线，设垂足为

·

·
·

方法② 利用直角三角形的面积公式
结合图形，学生也能利用面积构造法来解决，这一方法的难点是如何添作辅助线．教学时适时给予提示：由垂直条件，可以联想到三角形的高或直角三角形等相关知识．
解：过点作的垂线，交点为点
在Rt
方法③ 利用三角函数

·
·
由于直线方程较为特殊，根据定义作出图象后，由于涉及到Rt和直线倾斜角，学生容易联想利用三角函数知识解决问题．
解：过点作的垂线，垂足为

方法④ 利用函数的思想

·

·
·
在初中，学生已初步认识了点到直线的距离的几何特征：连接直线外一点与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．以此为背景，学生可能通过函数的思想转化成为二次函数求最值问题来解决．
解：设直线上的点，则

当时，取得等号，即此时点

·

·
·
·
对于问题1，学生可能提供的解法不完全，要适时引导学生补充完整．改变点和直线的位置，引出补充问题2．
问题2 如何求点到直线的距离？
组织学生类比问题1，独立思考本问的解决方法．
在课堂上只要求学生说明解法思路，而不要求解题过程．
（设计意图：为了推导点到直线的距离公式，学生会面临比较抽象的字母运算．通过补充两个由浅入深的具体问题，使学生能够类比思考，解决当点和直线处在一般位置时，点到直线的距离的求法．）
在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出问题3．
问题3 如何求点到直线（）的距离？
方法① 利用定义的推导方法

·
·
确定直线的斜率
求过点垂直于的直线的方程
求与垂直直线的斜率为

求与的交点
求点、的两点间距离
得到点到的距离
通过前面两个补充问题，学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方法，学生可能会类比考虑利用定义，将点到直线的距离转化为点与垂足，两点之间距离来处理．这种方法虽然思路自然，但运算较繁琐（可以作为课后练习布置）所以此时只要求学生结合教材，说明算法步骤、明确算法框图，而不要求推导过程．
尽管在前面的学习中，学生已掌握了两条直线垂直的充要条件，但学生仍然可能忽略，这一前提条件，而直接得到与垂直直线的斜率为．我要加以纠正，并强调对于的特殊情况，可以结合图象直接得出结论，所以在算法中暂不考虑．
方法② 利用直角三角形的面积公式的的推导方法
学生也可能类比补充问题1、2中，添作辅助线的方式，构造直角三角形，通过面积构造法解决问题．对于这种方法，由于教材已经给出了推导过程，所以学生代表可以只说明算法步骤．与传统教材相比，新教材更关注学生思维能力的培养，淡化形式、注重实质．由于新教材删减了一些同角三角函数的基本关系式，所以旧教材利用三角函数的方法推导公式就显得繁杂，教科书选择的借助直角三角形的面积公式推导公式的方法，简洁、明了．所以，可以让学生根据算法框图，自学教材的推导过程，培养学生的数学阅读能力．在此过程中，应该提醒学生注意Rt三边边长的求法．
过点作轴、轴的垂线交于点
用表示点的坐标

利用勾股定理求出
根据面积相等知得到点到的距离
求出

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·
·
·

点到直线的距离公式
点到直线（其中）的距离
在学生通过多种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆公式（最好由学生来分析结构）．同时强调：当时，公式仍然适用，也可以结合图象直接求出结论．
在此基础上，要求学生利用公式计算补充问题1、2，并与前面的计算结果进行比较，前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性．点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点，为了强化学生对公式的记忆和运用，教学进入环节3．
环节３　点到直线的距离公式的应用
在本环节，我安排了三个典型例题．其中例1是引用教材，由于例题中所给直线的方程已经是一般式，所以学生容易忽略运用公式的前提：首先应将直线方程化为一般式，在确定了系数的值之后，再代入公式进行计算．这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．为了强调运用公式的这一前提条件，我在例1中补充设置(3)、(4)两个小问．
例1 求点到下列直线的距离：
⑴ ⑵ ⑶ 　　⑷
（设计意图：通过例题练习，强化学生对公式的记忆和应用．同时，“代入公式计算前，首先应将直线方程化为一般式，以便确定系数的值”是学生在应用公式中，容易忽略的环节．将这一薄弱环节设置在补充例题中，使学生在“错误体验”加深记忆，以期达到强化训练的目的．）
在解决了例1的基础上，由浅入深，补充了直线方程含有参数的例2，进一步提高学生灵活运用公式的能力．
例2 ⑴已知点到直线的距离为，求的值；
⑵已知点到直线的距离为，求的值．
本例既考察了学生对公式的掌握情况，又为下节课对称问题和直线系的研究设下伏笔，并由问题⑵中两平行线间距离为，引出教材的例题．
（设计意图：点到直线距离公式的应用，是本课的一个重点内容．在例1的基础上，增补直线方程含有参数的例2，进一步提高学生灵活运用公式的能力．）
例3 已知点，，.求的面积.
（设计意图：本题在公式推导完毕后进一步强化公式应用，提高学生灵活运用公式的能力．）
此时，本课教学任务已基本完成，为进一步巩固知识，教学进入环节4．
（设计意图：紧扣教材，让学生体会类比化归的思想方法，同时，为课后作业中推导两平行线之间的距离公式，设下伏笔．）
环节４　课堂小结，回味悠长
由学生自主归纳、补充、总结本节课所学习的主要内容，涉及的数学思想和数学方法以及课后还想继续探究的问题等，然后教师加以补充完善．
⑴通过本节课的学习，你学习了哪些数学知识？如何用？如何记？
点到直线的距离公式
⑵通过本节课的学习，你了解了哪些数学思想？
算法思想，数形结合思想，特殊到一般，具体到抽象，类比化归
⑶通过本节课的学习，你了解了哪些数学方法？
三角形面积法求距离，坐标法
(4)通过本节课的学习，你还想探究什么？
（设计意图：通过小结，使学生本节所学的知识系统化、条理化，进一步巩固知识，明确方法．对课堂的总结，主要围绕以上四个方面来进行，形成一种模式，初始阶段，由教师提问引导，学生代表回答和补充，教师完善，经适当训练后，形成模式，由学生自主提问并归纳总结，以加深学生对数学知识、数学方法、数学思想等的理解和掌握，体现出数学教学既要教知识，更要教思考，教表达，教体验，培养学生综合素养，促进学生全面发展。同时，问题4的设计是让学生“带着问题走进课堂，带着思考走出课堂”，课虽结束但意未尽.）
环节5 课后思考，努力前行
①教材B组2、4、5
②思考题
求证：两条平行直线与间的距离为
板书设计

课题：点到直线的距离 　 ㈠ 公式推导过程
1．问题1 如何求点到直线的距离？
2．问题2 如何求点到直线的距离？
3．问题3 如何求点到直线
的距离（）？
方法① 利用定义的算法框图
方法② 利用直角三角形的面积公式的算法框图
方法③ 利用平面向量的算法框图
㈡ 典型例题
例1 例2　　　　例3
㈢ 课后作业

◆运用公式的注意点

◆课堂小结

三、案例反思
解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础.
本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上．本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力．另外还要加强根据已知条件求直线方程的教学。在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力．向量是一种重要的运算工具，根据我班学生的实际，本课涉及了利用向量的数量积推导点到直线的距离公式的方法．实际上，在立体几何的学习中，还将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式．又由于这种方法在思维上有一定的难度，所以，我根据学生的实际情况，提出了分层要求：基本要求是能够理解教材所给的推导方法，并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法推导点到直线的距离公式.