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概率统计题库

一．填空题
1. 设P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B︱A)=0.8，则P()=____ ___
2. 设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则P(A∪B)=
3. 设随机事件,互不相容，且，，则__ ___
4. 已知,,, 则　 　　.
5. 设为两随机事件，已知，则=________.
6. 设P(A)=p，P(B)=q，且事件A、B相互独立，则P()=__________________
7. 设A，B相互独立，且，则________________
8. 设，P()=0.5，若A、B互不相容，P(B)=______________
9. 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为__________.
10. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为　　　　　　
甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为________.
11. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________
12. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为__ ___
13. 设随机事件A, B及其和事件AÈB的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若表示B的对立事件, 则积事件的概率 = _______
14. 设连续型随机变量X的概率分布密度为，a为常数，则 =______
15. 设随机变量X～b(2,), Y～b(3, ), 若P(X ³ 1) =, 则 = 。
16. 设随机变量服从泊松分布，且，则______
17. 设离散型随机变量只能取3，4，5， …，17这15个值, 且取每个值的概率均相同, 则
18. 已知随机变量X只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为, 则c = _____

1
2
3
1

2

19．已知(k = 1, 2, 3), X与Y独立, 则a = ____, b = ____
20. 如果随机变量的联合概率分布为
则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ，

21. 设X~N（8,0.252），已知Φ (2.0)=0.9772，则P（7.5≤X≤8.5）= ___________________
22. 设X~N（2 , σ2），已知，则__________________
x
1.0
1.5
2.0
2.5
Φ(x)
0.841
0.933
0.977
0.994

23. 设随机变量X~N（72,σ2），已知，则P（60≤X≤84）= _________
24. 设随机变量X~N（10 , 0.022），则 =_ ___
25. 设X~N（6 , 0.252），已知Φ (2.0)=0.9772，则P（5.5≤X≤6.5）= ______________________
26. 设随机变量X~N(0,1), X的分布函数为，则P(| X |>2)的值可表示为
27. 已知标准正态分布的随机变量的分布函数是，若一个随机变量X~N(1，4)，则P{| X |>2}的值为 。
28. 随机变量相互独立且服从同一分布，，，则
29. 的分布函数为，则
30. 的分布函数为，则
31. 的分布函数为，则
32. X与Y相互独立，且，E(Y)=3，D(X)=D(Y)=1，则______________。
33. 设X~N(8,0.4)，Y~N(1,2)，且X与Y相互独立。则D(3X-Y)=_________________
34. 设，X与Y相互独立，则=_____________________
36. 设随机变量，则
37．随机变量的期望为，标准差为，则=___ ___
38. 设随机变量，则的数学期望为　　　　　　　.
39. 随机变量，相互独立，且，，则____________，____________
40. 设是来自总体分布的样本，是样本均值，则　 　　，　 　　.
41. 设X~b(5, 0.5)(二项分布), Y~N(2, 36), 则E(X+Y)=_______.
42. 设随机变量的概率密度函数为（），则_______________，_____________________。
43. 设为随机变量，已知，那么　 　
44．设X~N(8 , 0.4)，Y~N(1 , 2)，且X与Y相互独立。则D(3X-Y)=________________
45. 设Yn是n次伯努利试验中事件A出现的次数, p为A在每次试验中出现的概率, 则对任意 e > 0, 有__________
46. 设X是随机变量，且，则由切比雪夫不等式有_____________
47. 客观实际中，有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。这种随机变量往往近似地服从 分布
48. 设是独立同分布的随机变量序列,且，那么依概率收敛于______________
49. 设是n次独立实验中A发生的次数，p是事件A在每次实验中发生的概率，对于任意，依据 定理，有 。
50. 设（，，…，）是相互独立的随机变量，它们都服从参数的泊松分布，，则利用中心极限定理可求得概率的表达式为___ ___
51. 设有个相互独立的随机变量，它们均服从参数为1的泊松分布，为这个随机变量的算术平均，则由中心极限定理，当时，（______，______）
52. 在总体中随机抽一容量为5的样本，则样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率是_______________
53. 设是来自正态总体的一个样本，则 　 。
54.为总体中抽取的样本()的均值, 则＝ .
55．设服从正态分布，则
56. 设来自总体的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = ，样本方差 =
57.设为总体的一个样本，且服从分布，这里，，则
58.设是取自正态总体的简单随机样本，且，则 ，
时，统计量服从分布，其自由度为
二．选择题
1. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件为( )。
（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲种产品滞销”；
（C）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； （D）“乙种产品畅销”
2. 在随机事件A, B, C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为( )。
（A）； （B）； （C）； （D）
3. 打靶共射击3发，事件表示“击中i发”，i = 0， 1， 2， 3。 那么事件表示( )。
（A）全部击中； （B）击中3发； （C）必然击中； （D）至少有一发击中
4. 设A, B, C是三个事件, 与事件A互斥的事件是（ ）
(A) (B) (C) (D)
5. 设，则下面正确的等式是（ ）
（A）； （B）； （C）； （D）
6. 设A, B为任意二个事件, 且AÌB, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是（ ）
(A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) £ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ³ P(A|B)
7. 设事件A，B互不相容，且，则下列结论正确的是 ( )。
（A）； （B）； （C）； （D）
8．设，为随机事件，则下面等式中正确的是( )
(A)； (B) ； (C) ； (D)
9. 设事件A, B, 且，则下列式子正确的是( )。
（A）； （B）； （C）； （D）
10. 设事件A、B，且，则下列式子正确的是( )。
（A）； （B）； （C）； （D）
11. 设，为随机事件，则下面等式中正确的是( )。
（A）； （B）； （C） ； （D）
12. 设A，B为两个随机事件，且，，则必有( )。
（A）； （B）； （C）； （D）
13. 设、互为对立事件，则下列各式中不成立的是( )。
（A）； （B）； （C）； （D）
14. 设随机变量X的分布列为： 则（ ）
(A) ; (B) ; (C) ; (D)
15. 设随机变量X只能取3,4,5, …,17这15个值, 且取每个值的概率均相同, 则P(0<X2<17)=（ ）
(A) 2/15; (B) 7/15; (C) 4/15; (D) 14/15.
16. 若函数是一随机变量X的概率密度，则( )。
（A）的定义域为；（B）的值域为；（C）非负；（D）在内连续
17. 下面选项中符合概率分布要求的是( )。
（A） （B） （C） （D）
X
0
1
p
0.3
0.7
18. 设随机变量X与Y独立同分布，其分布律为：
则下列式子正确的是( )。
（A）； （B）； （C）； （D）

19. 已知随机变量X服从正态分布N(0,1), φ(x)为其分布函数，则P(X2<4)=（ ）
(A) 2φ(2)-1 ; (B) 1-2φ(2); (C) 2φ(4)-1; (D)1- 2φ(4);
20. 设两个随机变量X，Y，设，，则 ( )。
（A）对任意实数，都有；（B）对任意实数，都有； C）对任意实数，都有；D）都不是
21. 随机变量, 概率密度为,分布函数为，则( )
（A）； （B）
（C） （D）
22.设连续随机变量的密度函数满足，是的分布函数，则（ ）.
； ；
； .
23. 设X的概率密度函数为，分布函数为，且。那么对任意给定的都有( )。
（A）； （B）； （C）； （D）
24. 设随机变量相互独立，,，则（ ）。
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
25. X～N(1, 1), 概率密度为j(x), 则( )
(A) ；(B) ；(C) ； (D)
26. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度函数为f(x)，则= ( )。
（A）F(x)； （B）f(x)； （C）0； （D）都不是
27. 设～,那么当增大时，则 ( )。
（A）增大； （B）减小； （C）不变； （D）增减不定
28. 设是一个随机变量的概率密度函数，则C必满足( )。
（A）； （B） ； （C）； （D）任意实数
29. 设X, Y是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为, 则Z = max(X, Y)的分布函数是( )
(A) = max{} (B) = max{}
(C) = (D) 都不是
30. 设X, Y是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为, 则Z = min(X, Y)的分布函数是( )
(A) = (B) =
(C) = min{} (D) = 1－[1－][1－]
31. 设两个相互独立的随机变量X和 Y分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是( )
(A) P{X + Y £ 0} = 1/2 (B) P{X + Y £ 1} = 1/2 ； (C) P{X－Y £ 0} = 1/2 (D) P{X－Y £ 1} = 1/2
32. 已知随机变量X,Y相互独立，X~N(2,4)， Y~N(-2,1), 则( )
(A) X+Y~P(4) (B) X+Y~U(2,4) (C) X+Y~N(0,5) (D) X+Y~N(0,3)
33. 设随机变量与独立，且，则仍服从正态分布，且有
（A） ；(B) ； (C) ； (D)
34. 设二维随机变量（X, Y）的分布函数为，其边缘分布函数为，且对某一组有。则下列结论正确的是( )。
（A）X和Y相互独立； （B）X和Y不独立；（C）X和Y可能独立，也可能不独立；（D）X和Y在独立点处独立
35. 设随机变量，且X与Y相互独立，则~ ( )。
（A）； （B）； （C）； （D）Z不一定服从正态分布
36. 设随机变量，，且与相互独立，则( )。
（A）； （B）； （C）； （D）
37. 为2维随机变量，其分布函数为，设实数，，则概率为（ ）。
（A）； （B）；
（C）； （D）
38. 对任意两个随机变量X和Y，若，则( )。
（A）X和Y不相互独立； （B）X和Y相互独立； （C）； （D）
39. 设随机变量X服从参数为的指数分布，则( )。
（A）； （B）n/； （C）n； （D）n2
40. 设X的概率密度为，则（ ）
（A） （B） （C） （D）1
41. 设随机变量X的分布函数为，则X的数学期望是( )。
（A）1； （B）A； （C）2/3； （D）2
42. 设随机变量服从参数为1的指数分布，则数学期望（ ）。
（A）； （B）； （C）1； （D）
43. 已知随机变量服从正态分布， 则（ ）。
(A) (B) (C) (D)
44. 设，则数学期望（ ）。
（A）0； （B）1； （C）； （D）不存在
45. 设，则有（ ）。
（A） （B） （C） （D）
46. 设，为两个相互独立的随机变量，为一常数，则下列关于方差的说法中正确的是( )．
（A）； （B）； （C）； （D）
47. 已知随机变量X服从二项分布 (n, p), 则 D(X) / E(X)=（ ）
（A） n ; （B） 1-p; (C) p ; (D) 1/(1-p)
48. 已知随机变量X服从区间[a, b]上的均匀分布, 则D(X)= （ ）
（A）1/(b-a) ; （B）(a+b)/2; (C) (a-b)/2; (D) (b-a)2/12
49. 设是随机变量，存在，若，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
50. 已知，则 （ ）
（A）9 （B）6 （C）30 （D）36
51. 设服从参数为的泊松分布，，则（ ）
（A）；（B）；（C） ；（D）
52. 是同分布相互独立的随机变量，（），则下列不正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
53. 设为总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则有（ ）。
（A）； （B）；
（C）； （D）
54.已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2＋Y2服从 ( )
(A) 自由度为1的c2分布 (B) 自由度为2的2分布
(C) 自由度为1的F分布 (D) 自由度为2的F分布
55. 由中心极限定理，随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差，设，则近似地( )。
（A）； （B）； （C） ； （D）
56. 设是随机变量的样本，为X的期望，且，则( )。
(A)； (B) ； (C) ； (D)
57. 设总体，是来自总体的样本，为样本均值，则（ ）
； ； ；
58. 设总体服从0－1分布，是来自总体的样本，是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
59．设是正态总体的一个样本，其中已知而未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ ）
A． B． C． D．
60. 设,其中已知，未知，为样本，则下列选项中不是统计量的是( )。
（A）； （B）； （C）； （D）
61. 设X～N(μ, σ2)，其中μ已知，σ2未知，X1，X2，X3为样本，则下列选项中不是统计量的是（ ）。
（a）X1+X2+X3； （b）Max（X1，X2，X3）； （c）； （d）
三、证明题
1. 设随机变量序列X1, X2, …独立同分布，具有有限的数学期望和方差E(Xi)=μ, D(Xi)=(i=1,2,…)，作前n个变量的算术平均 ，则对于任意ε>0，利用切比雪夫不等式证明
2. 设，证明
3. 设是来自正态总体的样本，是样本均值，证明
4. 证明函数 是某一随机变量的概率密度函数。
5. 证明函数 （）是某一随机变量的概率密度函数。
6. 证明函数是某一随机变量的概率密度函数。
7. 设总体X（不管服从什么分布）的均值为，方差为，为来自X的一个样本，分别是样本均值和样本方差，证明。
8. 若，试证明
9. 设随机变量具有数学期望，方差。给出的标准化变量的表达式，并证明和
四、计算题

1. 设随机变量的概率密度为， 求：（1）常数；（2）的分布函数；（3）
2．设随机变量的概率密度为，（1）确定常数；（2）求关于的方程有实根的概率。
3. 设连续型随机变量的分布函数为，1)求系数；2)求的概率密度；3）求落在（0.3，0.7）内的概率。
4. 某城市每天耗电量不超过100万度，城市每天耗电率服从的概率密度为，
1）确定常数
2）若城市发电厂每天供电量为80万度，求任一天供电量不够用的概率；
3）若城市发电厂每天供电量为90万度，求任一天供电量不够用的概率。
5. 设随机变量的概率密度为（），求：1）的分布函数；2）落在（0.3，0.7）内的概率。
6. 设随机变量在区间（1，2）上服从均匀分布，求1）随机变量的概率密度；2）随机变量的概率密度。
7．设随机变量的概率密度为，求：1）的分布函数；2）求关于的方程有实根的概率。
8. 设随机变量的概率密度为，求：1)系数；2）的分布函数。
9. 一种圆柱形零件，其横截面直径是一随机变量，且在区间上服从均匀分布，求零件的横截面面积的概率密度
10. 设随机变量X的概率密度函数为，求：(1) 常数；(2) P{X>1.5}；(3) 分布函数F(x) 。
11. 设随机变量X具有概率密度 ，（1）确定常数k；（2）求X的分布函数F（x）；（3）求P{1<X≤7/2}
12. 设随机变量，且，求随机变量（1）；（2）；（3）的概率密度函数
13. 设2维随机变量（，）的概率密度为，1）求常数；2)求关于和的边缘概率密度；3）讨论和的相互独立性。
14. 设2维随机变量（，）的概率密度为，1）求常数；2)求关于和的边缘概率密度；3）讨论和的相互独立性。
15. 设2维随机变量（，）的概率密度为，1）求常数；2)求关于和的边缘概率密度；3）求。
16. 设二维随机变量(X,Y）的概率密度。(1) 求随机变量和的边缘概率密度；(2)求
17. 已知2维随机变量(X, Y)概率密度为 , 求常数c及边缘概率密度。
18. 已知2维随机变量(X, Y)概率密度为 , 求常数c及边缘概率密度。
19. 设2维随机变量（，）的概率密度为，1）求常数；2)求关于和的边缘概率密度
20. 已知2维随机变量(X, Y)概率密度为 , 求：（1）边缘概率密度；（2）
21. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，求，
22. 设随机变量X服从参数为2的指数分布，，求，
23. 设长方形高，周长为20（m），求长方形面积的数学期望和方差
24. 设长方形高，周长为20（m），求长方形面积的数学期望和方差
25. 设随机变量X具有概率密度 ，求，
26. 两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命(以小时计)(=1 , 2)服从同一指数分布。其概率密度为
（θ>0），令，，求，，，
27. 设2维随机变量的概率密度为，求，，，
28. 设随机变量X的概率密度为，求：，，，
29. 设2维随机变量的联合密度函数为

求：（1）随机变量边缘密度函数；（2） 方差

1
2
3

30. 设总体在区间（，）上服从均匀分布，，未知。X1 ,X2,……, Xn是来自X的样本，试求，的矩估计量和矩估计值。
31. 设总体的分布律为

其中，为未知参数，
，，为从总体中抽取的一个样本，且样本值（，，）=（1，2，1）求：1）的据估计量和矩估计值；2）的最大似然估计值
32. 设总体的概率密度为，其中，为已知参数；，为未知参数。，，，为来自总体的一个样本，，，，为对应的样本值，求的矩估计量和矩估计值。
33. 设总体，为未知参数。，，，为来自总体的一个样本，，，，为对应的样本值，求的矩估计量和矩估计值
34. 设总体，，为未知参数。，，，为来自总体的一个样本，，，，为对应的样本值，求，的最大似然估计值和最大似然估计量
35. 设总体，为未知参数。，，，为来自总体的一个样本，，，，为对应的样本值，求的最大似然估计值和最大似然估计量
36. 设总体的概率密度为（），为未知参数。，，，为来自总体的一个样本，，，，为对应的样本值，求的：1) 矩估计量和矩估计值;2) 最大似然估计值和最大似然估计量
37. 设总体的概率密度为，其中为未知参数，为已知参数。，，，为来自总体的一个样本，，，，为对应的样本值，求的最大似然估计值和最大似然估计量。
38. 设总体的概率密度为，其中为未知参数。，，，为来自总体的一个样本，，，，为对应的样本值，求的矩估计量和最大似然估计量
39. 设总体的概率密度为　其中未知参数。，，，为来自总体的一个样本，，，，为对应的样本值，求的矩估计量和最大似然估计量
40. 设总体的概率密度为 ，为未知参数。，，，为来自总体的一个样本，，，，为对应的样本值，求的：1) 矩估计量和矩估计值;2) 最大似然估计值和最大似然估计量
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