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资产定价理论介绍与评论

王庆石

资产定价的英文是asset pricing。广义来说，资产定价也可以理解为商品定价，如实物商品的定价、金融商品的定价及金融衍生商品的定价。商品的价格确定一直是经济学中研究的一个中心议题。
简单地说，在古典经济学以威廉.配第、大卫.李加图和卡尔.马克思那里，商品的价格是由其价值决定的。所谓价值即生产该商品所消耗的社会必要劳动，而生产某一商品所消耗的社会必要劳动量是由市场竞争来决定的。在近代的以Arrow-Debreu、Walras及Marshall等人创立的均衡经济学中，价格是由完全市场中供求双方的力量所决定的，从而创立了均衡市场和均衡价格的概念。可以说，价值定价论与供求关系定价论是一致的。
金融商品对于实物商品来说，它有以下几个特点：第一，金融产品一般都是虚拟的资产，如债券、股票、期货期权等；第二，金融产品中的金融衍生品一般是从金融商品中衍生而来，如期货、期权等，其价格决定受基础资产价格的影响；第三，金融产品的交易有特定的场所，交易技术复杂，一般都以现金结算；第四，可能也是最为重要的一点，金融商品的价格变化符合随机波动的特点；第五，金融商品交易的信息更通畅、市场更完全、竞争更激烈，更符合均衡市场和有效市场的假设环境。
对金融商品或金融资产的定价，在金融经济学或数理金融学中有两个重大创新：其一，金融资产定价在沿用均衡定价思想的基础上，创造了一套完善的无套利定价理论和模型，由于无套利定价思想和理论的提出，使得许多金融资产和金融衍生资产的定价得以实现，这就奠定了现代西方金融理论的基石。其二，金融资产的定价由古典的价值定价到近代的供求关系定价，进一步发展为一整套完善的风险定价理论，这也是现代金融理论的一个重大突破。

首先，我们回顾西方资产定价理论的发展脉路，从其发展当中把握其实质。

需要首先说明的是，本报告中关于资产定价历史发展的回顾，主要参照了以下资料：
1． Elroy Dimson and Massoud Mussavian, Three Centuries of Asset Pricing, Journal of Banking and Finance 23(1999) 1745-1767;
2． 史树中，《金融经济学》讲义（讲稿，尚未出版）；
3． Alan L. Tucker, Contemporary Portfolio Theory and Risk Management, West Publishing Company 1994;
4． [英]洛伦兹.格利兹著，唐旭等译，《金融工程学》，经济科学出版社 1998。

一、 资产定价理论发展图示

圣.彼得堡悖论的提出和解决

1738年
期权定价模型

Black-
Scholes
Merton
Model
1973
套利定价理论

APT

1976
均衡市场条件下的资本资产定价理论与模型1964
CAPM
资本结构理论(MM定理)中无风险套利假设的提出
1958年
投资组合选择理论

Portfolio
Selection

1952年
一般市场均衡理论、边际效用递减理论、期望效用理论的创立和应用
1940’s-1950’s

Daniel Arrow-debreu Markowitz Modigliani Sharpe Roll Black
Bernoulli Walras Miller Lintner Ross Scholes
Marshall Merton

二、 圣.彼得堡悖论（St. Petersberg Game or Paradox）

该悖论是1738年由Daniel bernoulli在瑞士皇家科学院提交的一篇论文中提出的。

1. 先看一个简单的例子：
如果有一个掷硬币的游戏，出现正面奖励你1元，出现反面惩罚你1元。假如这个游戏是一个投资工具，那么这个游戏应该怎样定价（即花多少前来买）？我们先看这个游戏
的期望收益（硬币出现正反面的概率相同，各为1/2）：

现在，如果出现正面奖励2元，出现反面奖励1元，问该项游戏如何定价？

对于一个风险厌恶型的投资者，而且又是理性投资者，投资的价格不能高于游戏的期望收益，即不能高于1.5元。如果低于1.5元，可能会赚钱；如果高于1.5元，就不太可能赚钱。如果价格定在1.5元，买卖双方来说就是一个公平游戏，按照公平游戏规则定价，就是一种均衡定价的思想。

2. 现在我们来看圣.彼得堡悖论：

连续执硬币直至落在地上出现“正面”为止。如果第一次出现正面，奖励1元，第二次出现正面奖励2元，第三次出现正面奖励4元，第四次出现正面奖励8元，等等。每多一次抛掷出现正面，就加倍地偿付。

这个试验的可能结果可以总结如下：
第一次出现正面
结果描绘
结果的概率
奖励
1
2
3
4
.
.
.
n
H
TH
TTH
TTTH
.
.
.
((n-1)个T)H
1/2
1/4
1/8
1/16
.
.
.
1/2n
1
2
4
8
.
.
.
2n-1

（1） 求该游戏的期望收益

因为投掷的次数没有限制，因此游戏的数学期望值为无穷大。也就是说，根据最大期望报酬原理，理性投资者为玩这个游戏所支付的代价（价格）是无限的。但是，实际上无人会为玩此游戏而支付巨大成本。因此，理性人愿玩此游戏所支付的代价与无穷期望收益之间的矛盾就构成了所谓的圣.彼得堡悖论。这表明，用最大期望收益原则不可能解决一切非确定性（风险）投资决策问题。

瑞士数学家贝努里和克拉默等人，用期望效用最大化原理解决了这一问题。

贝努里解法是建立在下述概念的基础上：人们对奖励所关心的是效用而非货币价值，而额外货币增加所得的额外效用随着奖励的货币价值的增加而减少，也即货币边际效用递减原理。换句话说，初始货币可以满足人们更多的基本需求，因此当整个效用随个人财富的增加而增加时，它是以递减比率增加的。贝努里所做的特别假设是：货币效用是货币奖励大小的对数函数。即：

U(x)=b×log(x/a)＝b[logx-loga]=blogx-bloga

这里U(x)是由货币x导出的效用，a和b是正系数。

对数函数包含这样的思想：财富等比例增加，使效用等绝对额增加。比如考察初始财富为10美元和100美元的两个人，他们均具有相同的上述效用函数，现在让他们的财富分别增加90美元和900美元，则他们的财富变化和效用变化如下：

个体A
个体B
初始财富
初始效用
财富的增加
现实总财富
现实总效用

增加的财富所增加的效用
10
blog(10)-bloga=b-bloga
90
100
blog(100)-bloga
=2b-bloga
b
100
blog(100)-bloga=2b-bloga
900
1000
blog(1000)-bloga
=3b-bloga
b

贝努里认为：在确定圣彼得堡游戏的价值时，一个人会考虑由奖励所带来的效用，而非他们的货币价值数量。因此，他乐于为玩游戏所付的货币数量取决于游戏的期望望效用，而不取决于货币的期望报酬。
这样，用n表示第一次出现正面时共抛掷的次数（n=1,2,3,…），n次抛掷所得奖励的效用由U(x)表示。这样如果抛掷n次后才出现正面，那么货币奖励将是
x=2n-1。此奖励的效用函数为：
U(x)=blog(x/a)=blog(2n-1/a)=blog2n-1-bloga=b[(n-1)log2-loga]

根据期望效用原理，某人对参加此游戏所愿付出的最大代价是x，即期望收益。由此数量得到的效用U(x)等于游戏期望效用EU(x)。对游戏期望效用我们记为：

将前式代入此式，并记住n次抛掷首次出现正面的概率为（1/2n），我们得到：

这个方程说明，blog(2/a)就等于2美元的效用或EU(x)=EU(2)=U(2)。由此可见，具有贝努里效用函数所表示的偏好特性的人最多愿意付2美元来参加这项游戏。或者说，此人对确保营利2美元与参加游戏的计划表示无差异。这样，引进期望效用函数后就解决了圣彼得堡悖论。

(2) 圣.彼得堡悖论对资产定价的启示

第一， 对理性市场中的资产定价，必须假定投资者都是风险回避型的，即风险回避型的理性投资者只有当预期收益大于投资成本时，才能进行投资；
第二， 对于某些投资资产的定价(如上例)，应用期望效用比应用期望收益更合理，期望效用是一个比期望收益更宽泛的概念，特别是在期望收益很高的不确定性投资中，风险回避和边际财富效用递减规律会起更大的作用；
第三， 圣.彼得堡悖论所给出的游戏定价的解，即2美元，实际上是一个公平游戏的价格，也即均衡价格，期望收益率为0的价格。均衡价格的计算给出了一种资产定价的思想，即市场均衡时的理论价格。这种思想和方法为金融资产的定价奠定了基础。因此我们说圣.彼得堡悖论的提出和解决是资产定价理论的起源。

三、 投资组合选择理论

随着1952年马可维兹发表“投资组合选择”一篇论文，金融理论便发生了很大的变化，金融资产定价理论也发生了很大的进展。
在贝努里那里，就已经提出投资者在最大化其财富的同时，也要求最消化其风险。但是财富的最大化和风险的最小化是什么关系，马可维兹给出了确切的回答。他明确指出：“the portfolio with maximum expected return is not necessarily the one with minimum variance. There is a rate at which the investor can gain expected return by taking one variance, or reduce variance by giving up expected return”.
马可维兹最重要的贡献是他把个别证券收益率的波动与它对投资组合风险大限的贡献区分开来。他指出：“in trying to make variance small it is not enough to invest in many securities. It is necessary to avoid investing in securities with high co-variances among themselves”。同时，马可维兹用个别资产的收益率和标准差两个变量（实际上是收益率一个变量），在一个直角坐标系中就描绘出了该资产的风险收益率关系。也就是在这个直角坐标系上，根据多项资产的组合，便构造出了投资组合的有效边界（efficient Frontier）。在这个有效边界上，每给定一个风险水平，便对应一个最大的期望收益率水平；每给定一个收益率水平，便对应一个最小的方差。这实际上也就是马可维兹的均值－方差理论或模型。
马可维兹的投资组合选择理论可以用一个模型和一个图形简要地表示出来。

投资组合期望收益率:

投资组合有效边界图形：

E(rp)

有效边界
E(ri)

无效边界

σp
σi

马可维兹的投资组合理论对资产定价的贡献在于：

第一， 单个资产的价格（收益率）大小由该资产的风险大小（标准差）决定；
第二， 组合资产价格的大小（收益率）由该组合的风险（标准差）大小来决定；
第三， 投资组合风险的大小，当组合中资产的数目很大时（一般大于30个），不取决于个别资产风险的大小，而取决于资产收益率间相关系数的大小；
第四， 在马可维兹有效投资组合即有效边界图上，首次揭示了风险对资产收益率的定价关系。风险是自变量，收益率是因变量。不同的风险水平都唯一对应一个最大收益率的投资组合；不同的收益率水平都唯一对应一个最小的方差。这是马可维兹资产定价思想的本质所在。
第五， 在马可维兹的有效边界图上，揭示出了风险对资产定价的关系是一个非线性关系。根据风险厌恶的假定，大的风险要求更高的收益率定价。定价关系式如下：

其中： ，，，，且为常量；表示个证券收益率的均值（期望）列向量，为资产组合协方差矩阵，1表示分量为1的维列向量，上标T表示向量（矩阵）转置。

马可维兹关于投资组合选择的理论和资产定价的理论非常完美，这个理论奠定了现代金融学、投资学乃至财务管理学的一个重要理论基础，当然也标志着现代资产定价理论的正式形成。
需要说明的是：马可维兹投资组合选择理论和资产定价理论的构建，只是假定投资者是风险规避型的，而且资产收益率的波动是平稳的而且符合正态分布，但并没有用到均衡市场的假定。

四、 资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，即CAPM）

尽管马可维兹的组合选择理论和资产定价理论很完美，但是它的一个重要缺陷是输入的数据太多，计算工作量太大（如当n=100时，N=(n2+3n+2)/2＝(10000+300+2)/2=5151）,特别是在五、六十年代计算机发展水平和普及水平下几乎是可望而不可及的。
Sharpe(1964)、Lintner(1965)和Mossin(1966)分别创立了均衡市场条件下的资本资产定价理论，这个理论对马可维兹的资产组合选择理论和资产定价理论做了大大的简化。其基本假定为：
（1） All assets are marketable;
（2） Capital markets are perfect:
A. all assets are infinitely divisible, that is, fractions of assets can be traded.
B. All investors are price takers, no one investor can influence the market by buying or selling actions;
C. Taxes and transaction costs do not exist or alternatively, do not affect the investment decision.
D. Unlimited buying and short selling are allowed, without margin requirements.
E. Information is costlessly available to every investor, and all investors possess the same information.
(3) A risk-free interest rate exist in the market at which all investors can undertake unlimited
borrowing or lending.
(4) All investors are risk averse and seek to maximize their expected utility over one period
horizons.
(5) Investors have homogenous expectations:
A. they possess the same investment time horizons, and their estimates of the expected returns, variances and covariances of risky assets are identical.
B. They all base their portfolio selection decisions on Markowitz mean-variance optimization. In other words, all investors perceive investment alternatives and arrive at portfolio decisions in exactly the same manner.

资本资产定价模型（CAPM）我们可以用两个图示和两个方程来概略地表示它：

（1） 资本市场线图示如下：

资本市场线
借入资金
期望收益E(rp)

m
E(rm)

贷出资金

0
σm 标准差 σp
资本市场线模型为：

资本市场线对资产定价理论的贡献在于：第一，均衡市场下资产价格仍由其风险来定价；第二，在前面的各种假定下，风险对资产价格（收益率）的定价是线性的关系，价格的高低出了受风险水平决定外，还受单位市场风险的溢价所影响；第三，对于风险为0的资产，其价格应为无风险资产收益率。
（2） 证券市场线图示如下：

攻击性股票
E(ri)
中性股票
b SML

E(rm) * m
防御性股票

市场证券组合

E(rm)-r
*A

rf
非均衡性股票

0 0.5 beta=1 1.5 Beta系数

证券市场线方程即资本资产定价模型为：

如果市场达到均衡，市场上的所有证券的风险收益定价关系都应在证券市场线上，一个风险只能对应一个价格，否则就会存在无风险的套利机会。
资本资产定价模型对资产定价理论的贡献：第一，资产价格仍然由风险来定价，不过这里的风险不再是总风险所概念，而是系统风险的概念beta，因此它提出并确立了另外一个风险的概念，与马可维兹的风险概念方差完全不同；第二，定价的关系仍然是线性的关系；资产的定价以市场为基准，即风险以市场风险为基准，以市场的beta为1，因此资产的beta风险越大，市场风险溢价越高，定价越高，收益率越大。第三，这种定价思想完全是在市场均衡的条件下得出的（同时用到了分离定理），因此只要市场达到均衡，全部资产的定价都应该按此关系进行，此时一个价格规则成立（one price rule），表明市场无套利机会。相反，均衡市场情况下的定价模型提供了非均衡市场中的交易策略。

五、 关于公司理财的(Modigliani-MillerTheorem) MMT定理

从1958年起，Modigliani和Miller发表了一系列的论文，探讨“公司的财务政策是否会影响公司的价值”这一主题。这里的财务政策是指分红政策、资本结构等。他们的结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与这些政策无关。后来他们的这些结论就被称为MMT定理，这个定理为公司理财即财务管理学奠定了新的基础。在他们的论文中，首次明确地提出了无套利假设(No Arbitrage Hypotheses)，而他们的结论也几乎完全是根据无套利假设推导出来的。
在MMT定理中用到了两个基本的假设，一个是完全市场假设。所谓完全市场，是指市场中有充分多的资产品种可供交易，因此任何风险资产（未定权益）都可通过某种其它资产的组合来实现或复制，但不管怎样组合或复制，风险相同的资产或资产组合其定价一定一样，否则就会存在无风险的套利机会。另一个是无套利假设。所谓无套利假设，严格说来就是一个价格法则(the law of one price)，风险相同的资产（也即取得的未来现金流即收益相同）在市场上一定以相同的价格定价，否则就会出现无风险的套利机会。
在完全市场和无套利假设下，Modigliani和Miller给出了他们定理的基本结论：
假设有两个公司A和B；当前他们有相同的股份数n；未来有同样的债务、投资以及同样的市值（即资本结构和市值相同）；

(1)
(2)

(3)

上式的前两式相加可得（3）式。（1）式说明未来两个公司的市场价值相同；（2）式表明两个公司有与分红政策无关的相同的债务支出和投资支出；（3）式表明两个公司将有相同的当前股票价格。
这个定理说明两点重要的思想：第一，公司的分红政策不影响未来股价，从而不影响公司未来的市值；第二，如果两个公司未来的市场价值相同，那么在完全市场和无套利假设下市场对它们两个公司当前的市场定价也一定相同，否则不符合无套利假设。
上述两个公司的定价与市场上任意两个资产的定价道理是一样的。注意：无套利假设是针对个别资产而言的，而市场均衡是就市场整体而言的，因此个别资产的无套利并不一定表明市场的均衡，反之市场的均衡一定会有个别资产的无套利。

六、 Roll 和Ross的套利定价理论（APT）也即多因素定价模型

1976年及其以后，Ross和Roll先后发表了一系列文章，创立了套利定价理论(Arbitrage Pricing Theory, APT)。APT的核心思想和贡献在于它证明了有若干系统的因素（或风险）影响证券长期期望收益率的形成，而且这些系统因素对证券期望收益率的影响方式是线性的。根据完全市场假设，即一种证券或未定权益的投资收益可以通过其它证券的线性组合来表示，即：
(6.1)
这里， 是资产i的随机收益率，=；
是资产i的期望收益率；
是系统（共同）因子，（）；
是资产i对因子j的敏感性量度，捕捉的是模型当中的系统风险成分，；
是收益率的随机误差项，是一个干扰项，即非系统风险成分，它是对所有与其它资产不相关的信息的反应，对每一种资产而言都是唯一的。

用无套利假设推导APT模型的过程如下：

假定投资者目前持有一个由m种证券构成的0投入、0风险的投资组合P，其中每种证券的权重为()，也就是说投资者只是通过买空和卖空构造该投资组合，实际并未投入任何资本，于是有：
= 0
= 0 ,
根据完全市场假设下某个资产可由其它资产的线性组合来复制的思想和模型，有

如果我们选择的样本足够大，那么项可以被近似地忽略。于是有：

根据无风险套利理论，0投入、0风险只能获得0收益，所以有
= 0， = 0 ,
根据线性代数知识，得：
， 时；
， 时；
…
， 时。
将上述各式加总变形后得：

这就是所谓的套利定价模型。
这里，是0系统风险（）资产的期望收益率，也即无风险利率，（j=1,2,…,k）可以被解释为k个相互独立的因子风险溢价，反映的是第k个风险溢价和资产i之间的定价关系，或第k个风险因子。

套利定价模型对资产定价理论的贡献是：第一，引入多个系统风险的概念；第二，明确确定多个系统风险因子对资产价格（收益率）的影响是线性的关系；第三，在导出APT模型时，既应用了完善市场假设，也用到了无套利市场假设；第四，APT模型是在完善市场和无套利市场条件下导出的，如果市场的这两个条件成立，则APT模型就应该成立。具体来说，（1）市场上存在若干个对某项资产收益率产生显著影响的风险因子；（2）这种影响方式应该是线性的；（3）各个因素之间应该相互独立（或低相关）；（4）当各个风险因子都为0时的收益率（即）应该等于或接近无风险利率。如果偏高或偏低，都表明市场存在套利机会，实际上投资组合资产管理中的积极策略很多就是应用这种偏离也即资产被市场过低估价或过高估价来选择资产的。

七、 金融衍生品的定价：期权定价方法

1．所谓金融衍生品，就是指根据基础金融产品衍生而来的金融产品，比如远期利率协议、期货、期权等。由于金融衍生品的价格（或收益）主要取决于另一个作为基础资产的金融品价价值，因此金融衍生品是通过其基础资产的价格来定价的。
在金融衍生品的定价中，普遍地应用了无套利的假设。我们先看一个远期利率协议定价的例子，见下图。

is iF

iL

0 ts tF tL

根据无套利假设，两个短期投资的收益率与一个长期的投资收益率应该相等。即

这里的远期利率的价格就是一个无套利的市场价格。如果它偏离了这个无套利价格，在其它情况不变的情况下，投资者就可以进行套利活动，获取无风险收益。
同样道理，可以解出利率期货的价格决定公式：

2．期权定价
期权与期货及其它金融衍生品不同，期权的买卖双方的权利与义务不对称，期权的投资收益模式不是线性的，而其它的金融衍生品的收益模式都是线性的，再加上期权又分为欧式期权和美式期权、看涨期权和看跌期权等类型，这就使得期权的定价更加困难。
期货交易产生于1730年的日本。对于期权和远期定价问题的讨论早在1900年（Bachelieer），1930年(Keynes)和1934年(Hicks)就曾讨论过，但是一直没有得到很好的解决。1960年代以Samuelson为主的经济学家致力于对期权定价问题的研究，但是问题仍然没有得到最后的解决，他们的研究都是缺少了一个真知灼见，即风险相同的资产必须以相同的价格进行定价，这也就是无套利假设中的一个价格规律。但是，这个思想和概念被Samuelson在MIT的两个同事即Modigliani和Miller(1958)在研究资本结构问题时采用了，而且成功地解决了他们所要研究的问题。
Black-Scholes在1973年发表了著名的文章(“The pricing of options and corporate liabilities”, Journal of Political Economy, 81, 637-654)，同年Merton也发表了一篇著名的文章(“The theory of rational option pricing”, Bell Journal of Economics and Management Sciences, 4,141-183)，运用无套利假设，解决了期权的合理定价问题，从而大大地促进了期权交易的发展，特别是极大地推动了现代金融理论的创新和发展。至此，现代西方的金融理论体系已构建完成，并以此体系进一步改变了西方的金融学、投资学和财务管理学的内容和体系。
现代金融经济学研究的核心问题就是金融资产的定价，理论定价问题解决了，就会极大地促进交易的发展。实物资产的定价在经济学中利用马克思的劳动价值理论和Arrow-Debreu的供求均衡理论已经得到解决。但是作为现代出现的各种金融资产特别是各种复杂的衍生金融资产的出现，不仅其品种繁多、交易过程技术含量高，而且定价影响因素复杂。但是金融资产特别是金融衍生资产的定价如果不解决，就会大大限制金融衍生品交易市场的发展，从而影响整个资本市场的发展，影响金融市场管理水平的提高。由于最为复杂的金融产品――期权的定价问题已经解决，而期权又是金融工具中最为灵活、最具创新性和组合功能最强大的金融工具，因此西方的80年代和90年代是金融创新的年代，金融的创新为稳定全球的经济发展、控制全球的经济波动风险将做出应有的贡献。
在普通的商品定价中，假定消费者都追求最大消费效用，生产者则追求最大的生产利润，这样通过竞争经济中就会自然而言地形成一个均衡的价格体系，使得商品的供需达到均衡。金融资产的定价似乎也应沿着这条路子走，但是由于金融资产过于抽象，本身没有价值，而且它们价格的波动又是随机的，这就使得沿用“均衡定价理论”解决金融资产的定价问题步履艰难。著名经济学家Samuelson用了近10年的时间的研究也没有解决期权的定价问题，Black-Scholes-Merton用无套利假设便解决了期权定价的问题。显然在金融资产定价中“无套利假设”与普通商品定价中的“经济均衡论”一样是十分重要的研究方法。虽然无套利假设只是经济均衡的推论，即达到一般均衡的市场或价格体系一定是无套利的。但是把它单独列出来，可以脱离“均衡定价论”的复杂框架，直接对金融资产进行定价。套利定价论是一套微观的技术方法，APT模型以及几乎所有的金融衍生品都是用这个方法得出来的。不过“套利定价论”只能就事论事，由此建立不起来全市场的理论框架，因此它只能作为均衡定价论的补充。无套利假设的具体陈述方式是：“无投入就无产出”，或“无钱投入就无钱产出”，这几乎成了金融资产定价中的一条“公理”了。显然，这条公理并不意味着现实市场中就是这样，而现实市场中往往不是这样。这样无套利定价是否还有意义？

3．期权定价中无套利定价的几个简单模型

（1） Black-Scholes欧式看涨期权定价模型
根据无套利假设可以推出，任何资产当前的适当价格应该是其预期价值。比如一支股票有30％的可能达到40的价位，70％的可能性达到50的价位。那么其适当的当前价格应为：(40×30%+50×70%)=47。
同样的原理也适用于期权。期权到期日的适当价值等于它可能取得的任何价值乘以该价值可能实现的概率然后加总。根据看涨期权的定义，期权到期日的预期价值是：
E(Ct)=E[max(St-X，0)]

到期日时有两种可能情况发生。如果St>X，则看涨期权赛期时为价内，则
max(St-X,0)=St-X。如果St<X，看涨期权到期时为价外，则max(St-X,0)=0。如果p定义为St>X的概率，则上述等式可以改写为下式：
E(Ct)=p×(E[St/St>X]-X) + (1-p)×0
=p×(E[St/St>X] – X

这里，p代表St>X时的概率；E[St/St>X]代表在St>X条件下St的预期价值。上式给出了看涨期权到期日的预期价值。为了得到该期权当前的适当价格，根据“金融资产的适当价格是其预期价值”的规则，上式加以贴现后就得到了期权当前的适当价格。即

只要求出了上式中St>X时p的值和E[St/St>X]的值，便可得出Black-Scholes欧式看涨期权的定价公式。

（2）Black-Scholes欧式看跌期权的定价模型

有了看涨期权的定价公式，看跌期权的定价公式按以下无套利定价方式得出。考虑以下无风险套期保值操作：
A. 卖出看涨期权，到期日为t，交割价格为X，期权价格为C；
B. 买入看跌期权，到期日和交割价格相同，价格为P；
C. 买入对应资产，价格为S0；
D. 借入Xe-rt的一笔钱，这里r代表连续符合零风险利率。
则以上交易的初始现金流量为：
C-P-S0+ Xe-rt
到期日时，不管对应资产价格是多少，借款应归还，从而导致X的流出。下一步发生什么将取决于对应资产的价格。
若St>X。此时看涨期权到期时为价内，行使期权，卖方将对应资产卖给买方获得相当于交割价格X的款项。用此款正好支付当初的借款。看跌期权没有价值，下一步的现金流为0。
若St<X。看涨期权没有价值，看跌期权可以行使。买方有权利卖出对应资产，收到相当于交割价格X的款，正好归还当初的借款。此时净现金流为0。
若St=X，情况很少发生，此时两个期权都无价值。对应资产可以在市场上以当初的价格X卖出，归还借款。最后的净现金流仍然是0。
不管怎样，这个组合交易的最后净现金流都是0。如果资产组合最后的预期价值总是0，最初的价值也应该是0。如果小于0，获得0风险利润的机会增加。如果大于0，则可以进行相反的一组交易来保证0风险的利润。也就是说，
C-P-S0+ Xe-rt＝0
P=C-S0+ Xe-rt

(3) 期权定价－二项模型法

就欧式股票看涨期权来说，假定当前股价为S0，它是已知的。未来股价有两种可能的情况：或者是编程了aS0，或者是变成了bS0，其中a=/=b，a和b中必有一个大于1，另