315-空间向量运算的坐标表示.doc

3.1.5空间向量运算的坐标表示【选题明细表】 知识点、方法题号空间向量的坐标运算1,8平行问题3,10垂直问题2,6,11夹角与距离4,5,13综合问题7,9,12【基础巩固】1.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则pq等于(A)(A)-1 (B)1(C)0 (D)-2解析:因为p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),所以pq=10+03+(-1)1=-1.故选A.2.已知=(1,2,-1),=(x,-2,3),若,则x等于(B)(A)1 (B)7 (C)-1 (D)-4解析:由题,x-4-3=0,解得x=7,故选B.3.已知向量a=(x,2,4),b=(3,y,12),且ab,则x+y的值为(C)(A)1(B)6(C)7(D)15解析:因为ab,所以存在实数使得b=a,所以解得=3,x=1,y=6.所以x+y=7.故选C.4.若a=(2,-2,-2),b=(2,0,4),则sin等于(A)(A) (B) (C) (D)1解析:由题意得,cos=-,所以sin=.故选A.5.若ABC的顶点分别为A(1,-1,5),B(5,-1,2),C(1,3,-1),则AC边上的中线BM的长为(C)(A)3 (B)2(C)2 (D)5解析:因为ABC的顶点分别为A(1,-1,5),B(5,-1,2),C(1,3,-1),所以AC的中点M(1,1,2),所以AC边上的中线BM的长为|BM|=2.故选C.6.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|=解析:由题意得2a-b=(4,2n-1,2),因为2a-b与b垂直,所以(2a-b)b=0,所以-8+2n-1+4=0,解得n=,所以a=(1,2),所以|a|=.答案:7.(2019山东新市期末)已知点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为.解析:因为点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),所以|AB|=.所以当x=时,|AB|取最小值.答案:8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).是否存在实数,使得=+成立?若存在,求出,的值;若不存在,说明理由.解:存在.依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假设存在实数,使得=+成立,则有(-1,0,2)=(-1,1,0)+(0,-1,2)=(-,-,2),所以解得故存在=1,使得=+成立.【能力提升】9.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为(A)(A) (B) (C)4(D)8解析:因为cos=,所以sin=,所以面积S=|a|b| sin=,故选A.10.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则满足DBAC,DCAB的点D的坐标为.解析:设点D的坐标为(x,y,z),由已知易得=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0),因为DBAC,DCAB,所以存在实数,使得=,=,所以所以且所以解得=-1,x=-1,y=1,z=2,即D(-1,1,2).答案:(-1,1,2)11.若=(-4,6,-1),=(4,3,-2),|a|=1,且a,a,则a=解析:设a=(x,y,z),由题意有代入坐标可解得或答案:(,)或(-,-,-)12.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,DAB=60,对角线AC与BD相交于点O,PO平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解:(1)因为四边形ABCD是边长为2的菱形,且DAB=60,所以OA=OC=,OB=OD=1,S菱形ABCD=22=2.在RtPOB中,PBO=60,所以PO=OBtan 60=.所以=S菱形ABCDPO=2=2.(2)如图,以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,0),D(-1,0,0,),A(0,-,0),P(0,0,).所以E(,0,),所以=(,0,),=(0,-,-).所以=0+0+(-)=-,|=,|=.所以cos=-.因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.【探究创新】13.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则|的值为(A)(A)(B)2(C)(D)解析:设BD中点为O,连接OA,OC,则OC平面ABD,以O为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(,0,0),B(0,0),C(0,0,),D(0,-,0),所以=(,-,0),=(0,-,),=(0,-,0),所以=-+=(,-,0)-(0,-,)+(0,-,0)=(,-,-),所以|=.故选A.