315-空间向量运算的坐标表示.doc

3.1.5　空间向量运算的坐标表示
【选题明细表】
知识点、方法
题号
空间向量的坐标运算
1,8
平行问题
3,10
垂直问题
2,6,11
夹角与距离
4,5,13
综合问题
7,9,12
【基础巩固】
1.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q等于(　A　)
(A)-1 (B)1
(C)0 (D)-2
解析:因为p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),
所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1.故选A.
2.已知=(1,2,-1),=(x,-2,3),若⊥,则x等于(　B　)
(A)1 (B)7 (C)-1 (D)-4
解析:由题,x-4-3=0,解得x=7,
故选B.
3.已知向量a=(x,2,4),b=(3,y,12),且a∥b,则x+y的值为(　C　)
(A)1 (B)6 (C)7 (D)15
解析:因为a∥b,
所以存在实数λ使得b=λa,
所以
解得λ=3,x=1,y=6.
所以x+y=7.故选C.
4.若a=(2,-2,-2),b=(2,0,4),则sin<a,b>等于(　A　)
(A) (B)
(C) (D)1
解析:由题意得,cos<a,b>===-,
所以sin<a,b>==.故选A.
5.若△ABC的顶点分别为A(1,-1,5),B(5,-1,2),C(1,3,-1),则AC边上的中线BM的长为(　C　)
(A)3 (B)2
(C)2 (D)5
解析:因为△ABC的顶点分别为A(1,-1,5),B(5,-1,2),C(1,3,-1),
所以AC的中点M(1,1,2),
所以AC边上的中线BM的长为
|BM|==2.
故选C.
6.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|=　　
解析:由题意得2a-b=(4,2n-1,2),
因为2a-b与b垂直,
所以(2a-b)·b=0,
所以-8+2n-1+4=0,
解得n=,
所以a=(1,,2),
所以|a|==.
答案:
7.(2019·山东新市期末)已知点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为　　　　　. 
解析:因为点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),
所以|AB|=
=
=
≥.
所以当x=时,|AB|取最小值.
答案:
8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).是否存在实数α,β使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.
解:存在.
依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).
假设存在实数α,β使得=α+β成立,
则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),
所以
解得
故存在α=β=1,使得=α+β成立.
【能力提升】
9.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为(　A　)
(A) (B) (C)4 (D)8
解析:因为cos<a,b>===,
所以sin<a,b>=,
所以面积S=|a||b| sin<a,b>=,故选A.
10.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则满足DB∥AC,DC∥AB的点D的坐标为　　　　. 
解析:设点D的坐标为(x,y,z),
由已知易得=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),
=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0),
因为DB∥AC,DC∥AB,
所以存在实数λ,μ,使得=λ,=μ,
所以
所以且
所以解得λ=μ=-1,x=-1,y=1,z=2,
即D(-1,1,2).
答案:(-1,1,2)
11.若=(-4,6,-1),=(4,3,-2),|a|=1,且a⊥,a⊥,则a=　　　
解析:设a=(x,y,z),由题意有代入坐标可解得或
答案:(,,)或(-,-,-)
12.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
解:(1)因为四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠DAB=60°,
所以OA=OC=,OB=OD=1,
S菱形ABCD=×2×2=2.
在Rt△POB中,∠PBO=60°,
所以PO=OB·tan 60°=.
所以=S菱形ABCD·PO=×2×=2.
(2)如图,以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0),C(0,,0),
D(-1,0,0,),A(0,-,0),
P(0,0,).
所以E(,0,),
所以=(,0,),=(0,-,-).
所以·=0+0+×(-)=-,
||=,||=.
所以cos<,>===-.
因为异面直线所成的角为锐角或直角,
所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
【探究创新】
13.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则||的值为(　A　)
(A)
(B)2
(C)
(D)
解析:设BD中点为O,连接OA,OC,
则OC⊥平面ABD,
以O为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴建立空间直角坐标系,
则A(,0,0),B(0,,0),
C(0,0,),D(0,-,0),
所以=(,-,0),=(0,-,),
=(0,-,0),
所以=-+
=(,-,0)-(0,-,)+(0,-,0)
=(,-,-),
所以||==.故选A.